Trovare base per ker e autovettori

[neutrino1]

Salve a tutti, in un esercizio si chiede, data l'applicazione $ f: R3 -> R3 $ lineare associata alla matrice A mediante la base canonica
$ ( ( 1 , 0, -1),( 0, 1, 0),( 0, 0, 3) ) $
determinare una base per kerf;
determinare una base di R3 costituita da autovettori per f.

Per trovare la base per kerf, devo porre Ax=0 (giusto??):

$ x-z=0 $
$ y=0 $
$ 3z=0 $
quindi la soluzione è (0,0,0)

Per trovare gli autovettori, prima calcolo gli autovalori ponendo

$ det(A-XI)=0 $ da cui x1=0, x2=1
Quindi per l'autovettore relativo a x1=0, risulta il sistema precedente con soluzione (0,0,0)
mentre per l'autovettore relativo a x2=1 risulta:

$ A2=( ( 0 , 0, -1),( 0, 0, 0),( 0, 0, 3) ) $

nel risolvere A2*x=0 trovo di nuovo la soluzione (0,0,0)

chi mi da una mano gentilmente?? grazie!!

[ciampax]

Ma il polinomio caratteristico non è [tex](1-x)^2(3-x)[/tex] ?

[neutrino1]

oopsss...hai ragione! avevo dimenticato 3-x nella matrice!
quindi le soluzioni sono x1=1 e x2=3
per l'autovalore 1 si trova (0,0,0)
mentre per l'autovalore 3:

A= $ ( ( -2 , 0, -1),( 0, -2, 0),( 0, 0, 1) ) $

dunque il sistema diventa:
-2x-z=0
z=o
-2y=0

e a questo punto??? i calcoli che ho fatto per il ker invece sono giusti??

[alle.fabbri]

In realtà
[tex]$A - 3I = \left( \begin{matrix} -2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)$[/tex]
quindi hai una soluzione non nulla.

[neutrino1]

giusto....quindi l'autovettore è (-2k,0,k) posto z=k
ma qual'è una base di autovettori, come chiedeva la traccia?
mentre la base per Kerf?
grazie!

[ciampax]

Dunque, se usi l'autovalore 1 ottieni l'equazione $z=0$ e quindi l'autospazio $A_1=<(1,0,0),\ (0,1,0)>$. Se invece usi l'autovalore 3 ottieni il sistema $2x+z=0,\ 2y=0$ e quindi l'autospazio $A_3=<(1,0,-2)>$. Non capisco come facciate ad ottenre soluzioni nulle! In ogni caso la base del nucleo è inesistente in quando il nucleo è banale, mentre la base di $RR^3$ è datta dai tre vettori che ti ho scritto (sono linearmente indipendenti).