Equazioni parametriche e cartesiane

[Riscica]

Buonasera a tutti;
Stamattina, mentre studiavo geometria, mi sono un attimo impanicato su queste equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi.

Dunque... risolvere un esercizio del genere dovrebbe essere facile:

"...Determinare delle equazioni parametriche dei seguenti sottospazi di R3...":
$ { ( x-z=0 ),( x+2y+3z=0 ):} $

Io nel mio ragionamento dico: Siamo in R3 perchè ci sono 3 variabili, è un sistema a due equazioni e a tre incognite e quindi devo risolverlo in funzione di un parametro.
Quindi: Posso porre x=t o y=t... a seconda di chi fisso come parametro posso avere più equazioni parametriche (ed in effetti il testo dell'esercizio afferma di determinare DELLE equazioni parametriche e non L'EQUAZIONE parametrica).
Quindi: Esistono più eq. parametriche di sottospazi (o sistemi) a seconda del parametro (ovvero a seconda di chi fisso come parametro). Esatto?

Il problema arriva con le equazioni cartesiane.

Esempio: "...Determinare delle equazioni cartesiane del sottospazio di R4...":

W:= Span{b1;b2}

con $ b1 =( ( 8,6,9,4 ) ) $ $ b2=( ( 3,2,11,5 ) ) $

Quindi: Prima cosa verifico che entrambi i vettori sono una base di W ma dopo non ho capito cosa devo fare.
Sul libro c'è scritto di impostare questo sistema:
$ { ( x1=8t1+3t2 ),( x2=6t1+2t2 ),( x3=9t1+11t2 ),( x4=4t1+5t2 ):} $

Ma non capisco da dove esca fuori, cioè, perchè si procede in questo modo?
E poi cosa devo fare? Non ho molto chiaro questo concetto.

[Camillo]

Esprime il generico vettore $w in W sub RR^4 $ come combinazione lineare di $b_1 $ e di $b_2 $ rispettivamente coi coefficienti $t_1 , t_2 $ .Scrive cioè $w=(x_1,x_2,x_3,x_4 )= t_1*b_1+t_2*b_2 = (8t_1+3t_2,6t_1+2t_2,9t_1+11t_2, 4t_1+5t_2) $ ottenendo cosi il sistema indicato nel tuo post.
Tale sistema va risolto trovando le relazioni che legano $x_1, x_2, x_3,x_4 $ eliminando le variabili $t_1,t_2 $.
Avrai così la forma cartesiana del sottospazio $W$ .
Troverai due relazioni tra loro indipendenti ; infatti essendo $dim W = 2 $ si ha che $ 4 -2 =2 $ cioè numero di variabili - numero di relazioni = dim del sottospazio.

Ricavando $t_1,t_2 $ dalle prime due equazioni e sostituendo i valori nella terza e quarta equazione si ottengono ( controlla i conti )
$2x_3-48x_1+61x_2=0 ; 11x_1-14x_2-x_4=0 $.
Pertanto la forma cartesiana del sottospazio è $W =( (x_1,x_2,x_3,x_4 ) in RR^4 | 2x_3-48x_1+61x_2=0 ; 11x_1-14x_2-x_4=0 )$.