Scomposizione di un vettore
Ciao, ho questo esercizio da risolvere.
Dati i vettori $u = i - j - k , v= i - 2j + k$ , decomporre $v$ nella somma di un vettore parallelo e uno perpendicolare ad $u$.
Chiamo $w_1$=il vettore parallelo ad u e $w_2$= vettore perpendicolare a u.
$w=ai+bj+ck$
$w=ai+bj+ck=lambda(i-j-k)$ Se do al valore $lambda$ un valore arbitrario 2, trovo che $w_1=2i-2j-2k$
$u*w_2=0 -> a-b-c=0 -> w_2(b+c, b, c)$ Per cui, $w_2$ può essere il vettore $(1,0,1)
Dopodiché ho scritto: $i-2j+k=i(2a+b)+j(-2a)+k(-2a+b)$ Quando ora vado ad impostare il sitema, questo non mi dà nessuna soluzione. Dove sbaglio?
Grazie, ciao!
Dati i vettori $u = i - j - k , v= i - 2j + k$ , decomporre $v$ nella somma di un vettore parallelo e uno perpendicolare ad $u$.
Chiamo $w_1$=il vettore parallelo ad u e $w_2$= vettore perpendicolare a u.
$w=ai+bj+ck$
$w=ai+bj+ck=lambda(i-j-k)$ Se do al valore $lambda$ un valore arbitrario 2, trovo che $w_1=2i-2j-2k$
$u*w_2=0 -> a-b-c=0 -> w_2(b+c, b, c)$ Per cui, $w_2$ può essere il vettore $(1,0,1)
Dopodiché ho scritto: $i-2j+k=i(2a+b)+j(-2a)+k(-2a+b)$ Quando ora vado ad impostare il sitema, questo non mi dà nessuna soluzione. Dove sbaglio?
Grazie, ciao!
Risposte
Non puoi dare un valore arbitrario a $ lambda $ ; il problema non ha gradi di libertà.Devi tenere $lambda $ come incognita scrivendo le equazioni che danno la perpendicolarità dei vettori e la somma dei vettori. Otterrai un sistema che ha una soola soluzione.
Mettendo a sistema $\{(a\lambda+b=1),(-a\lambda=-1),(-a\lambda+b=-1):}$ ottengo come soluzione $a=1/lambda$. È corretto? Grazie, ciao!
Non so come hai ottenuto quel sistema, certo che ottenere una incognita in funzione di un'altra non va bene , vorrebbe dire che il sistema avrebbe $oo $ soluzioni il che non è .Ne ha una sola.
Riscrivo così per comodità:
$u =(1,-1,-1 ) $ ; $v=(1,-2,1) $ .
Si deve decomporre il vettore $v $ nella somma di un vettore parallelo ad $u $ e di uno perpendicolare a $u $.
Pongo
$ w_1= lambda *u =(lambda,-lambda,-lambda) $ il vettore parallelo
$w_2= (a,b,c) $ vettore perpendicolare ad $u $ .Il loro prodotto scalare deve essere nullo e quindi : $a-b-c=0 $ da cui $a=b+c$.
Deve essere $v=(1,-2,1) = lambda*u+w_2= ( lambda,-lambda,-lambda)+ (b+c,b,c)=(lambda+b+c,b-lambda,c-lambda)$ e quindi si ottiene il sistema
$a=b+c $
$lambda+b+c=1 $
$b-lambda=-2 $
$ c-lambda=1 $
sistema di 4 equazioni in 4 incognite con unica soluzione.
Si trova facilmente $ a=1/3 ; b= -4/3;c = 5/3 ; lambda= 2/3 $.
Quindi $w_1 =( 2/3,-2/3,-2/3) ; w_2=( 1/3,-4/3,5/3) $ .
Riscrivo così per comodità:
$u =(1,-1,-1 ) $ ; $v=(1,-2,1) $ .
Si deve decomporre il vettore $v $ nella somma di un vettore parallelo ad $u $ e di uno perpendicolare a $u $.
Pongo
$ w_1= lambda *u =(lambda,-lambda,-lambda) $ il vettore parallelo
$w_2= (a,b,c) $ vettore perpendicolare ad $u $ .Il loro prodotto scalare deve essere nullo e quindi : $a-b-c=0 $ da cui $a=b+c$.
Deve essere $v=(1,-2,1) = lambda*u+w_2= ( lambda,-lambda,-lambda)+ (b+c,b,c)=(lambda+b+c,b-lambda,c-lambda)$ e quindi si ottiene il sistema
$a=b+c $
$lambda+b+c=1 $
$b-lambda=-2 $
$ c-lambda=1 $
sistema di 4 equazioni in 4 incognite con unica soluzione.
Si trova facilmente $ a=1/3 ; b= -4/3;c = 5/3 ; lambda= 2/3 $.
Quindi $w_1 =( 2/3,-2/3,-2/3) ; w_2=( 1/3,-4/3,5/3) $ .
Grazie mille!
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