Aiuto per un esercizio di combinazione lineare

[gennarodeluca18]

Salve ragazzi, l'esercizio testualmente è questo:
Esprimere, se è possibile, il vettore (1; 0; 0; 3)T come combinazione lin-
eare dei vettori (1; 0; 3; 4)T , (2; 2; 1; 5)T , (3; 0; 1; 4)T , (2; 1; 0; 3)T .
Allora io innanzitutto ho costruita la matrice relativa al sistema e con il metodo di eliminazione di Gauss ho cercato di trangolarizzarla in modo da risolvere il sistema. Ma sono arrivato a questo punto e mi sono bloccato:
Matrice:
12 3 2 1
02 0 1 0
00-8 -7/2 -3
00 0 0 2
Come faccio a risolvere il sistema. Grazie

[mistake89]

Hai verificato che quella sia una base? Se i quattro vettori sono base allora sicuramente puoi scrivere il tuo vettore come loro combinazione lineare altrimenti no.

L'hai fatto in maniera inconsapevole (o forse non ho capito io per bene) ma è la cosa principale dell'esercizio secondo me.

E questo punto basta applicare la definizione, cioè $(1,0,0,3)=av_1+bv_2+cv_3+dv_4$ e ponendo uguali i vettori, componente per componente, otterrai un sistema di $4$ equazioni in $4$ incognite.

[gennarodeluca18]

si l'ho fatto questo e proprio successivamente mi sono estratto la radice del sistema a cui ti riferisci in modo da poter triangolarizzare il sistema, ma arrivo al risultato che ho postato sopra. Mi viene un dubbio ma è possibile che il sistema sia impossibile? Scusa il gioco di parole. Grazie

[mistake89]

Beh no, sicuro, altrimenti che senso avrebbe la nozione di base

Ti consiglio di scriverti il sistema per esteso, senza triangolarizzare alcuna matrice e verificare lì i calcoli.

[gennarodeluca18]

Bhe il sistema per esteso è:
+x1+2x2+3x3+2x4=1
+2x2+ x4=0
+3x1+x2+x3=0
+4x1+5x2+4x3+3x4=3
quali calcoli devo verificare?
Grazie

[mistake89]

Svolgendo i calcoli (che non sono il mio forte, quindi ricontrollali) dovresti ottenere $x_1=-3/4$ da cui $x_2=1,x_3=5/4,x_4=-2$.

[gennarodeluca18]

scusami ma come sei arrivato a queste soluzioni?

[mistake89]

Risolvendo il sistema come insegnano alle scuole medie

Dalla seconda ho ricavato $x_4=-2x_2$, dalla terza $x_3=-3x_1 -x_2$ e così via.