Esercizio su una conica non chiaro

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12 lug 2011, 17:50

Ciao. Sto facendo un esercizio su una conica ma mi sono bloccato:
"Si consideri la conica C di equazione
$7x^2-12xy-2y^2=1$
a) Verificare che C è una iperbole e scriverne l'equazione canonica.
b) Determinare le equazioni della trasformazione che riduce C in forma canonica."
Allora per il primo punto ho calcolato gli invarianti e scoperto che effettivamente C è un'iperbole! Come faccio a scrivere l'eq. canonica? Ho fatto qualche esercizio a tal proposito, ma non ho ancora capito bene come fare!
Mentre il secondo punto non so proprio dove iniziare!

Risposte

zavo91

12 lug 2011, 16:02

Allora per l'equazione canonica sai che è nella forma $alphax^2+betay^2+gamma=0$.Ti trovi i tre invarianti di questa equazione e li poni uguali agli invarianti della conica che ti da nel testo risolvi questo sistema e trovi $alpha,beta,gamma$ nel caso in cui hai in questo sistema 3 equazioni di cui una è di secondo grado trovi le due soluzioni di secondo grado di solito è $beta$ di secondo grado e quindi avrai di conseguenza due soluzioni di $alpha$.supponi che $alpha$ sia maggiore di $beta$ e prendi questi vaolri di $alpha,beta,gamma$ e li metti nell'eqauzione $alphax^2+betay^2+gamma=0$ così ottieni l'equazione della forma canonica.
Per il punto b
trovi gli autovalori della quadrica usando la matrice dell'invariante quadratico, poi trvi gli autovettori associati a questi autovalori e otterrai una matrice le cui colonne sono proprio questi autovettori associati agli autovalori e poi l'equazione della trasformazione è $x'=a11+a12$ e $y'=a21+a22$

Superandri91

12 lug 2011, 16:10

grazie mille zavo! però ho ancora qualche dubbio! perchè nel primo punto mi dici che $α$ deve essere maggiore di $β$? è un caso? E l'equazione canonica che hai postato, vale per tutte le coniche?
Stessa cosa per il secondo punto? valeva anche se fosse stata un'iperbole o un'ellisse?

zavo91

12 lug 2011, 16:17

la professoressa mi ha spiegato così non ho capito il motivo del perchè $alpha$ deve essere maggiore di $beta$ so solo che lei le vuole così.No non è per tutte solo per ellissi e iperboli per la parabola usi questa $betay^2+deltax=0$
si dovrebbe essere lo stesso procedimento per tutte le coniche quello di trovare gli autovalori gli autovettore e le equazioni della trasformazione...

Superandri91

13 lug 2011, 13:54

ma l'equazione della trasformazione non è x'=a11+a12 e y'=a12 + a22 ? sei sicuro che è come l'hai scritta tu?

zavo91

13 lug 2011, 14:04

scusami ma l'equazione di una trasformazione ci arrivi passando per una matrice 2x2.Gli elementi della riga 1 cioè a11 e a12 saranno per la trasformazione di x' e gli elementi della riga 2 cioè a21 e a 22 per la trasformazione di y'

Superandri91

13 lug 2011, 14:08

scusa ma se la matrice è $((a11,a12),(a21,a22))$ dobbiamo fare la matrice per X= $(x'),(y')$ (x' e y' in colonna) quindi riga per colonna... e viene come ho detto io, no?

zavo91

13 lug 2011, 14:14

io ho sempre usato le righe della matrice per fare le trasformazioni

Superandri91

13 lug 2011, 15:53

in che senso?

zavo91

13 lug 2011, 15:58

che ho sempre preso le righe non le colonne

Superandri91

13 lug 2011, 16:09

e invece bisogna prendere le colonne! se noti negli appunti di Norma quando ci sono le formule e parla della matrice X, dove x ha come elementi x e y, c'è sempre il segno della trasversa il che vuol dire che devi metterli in colonna!