Piano parallelo a una retta e perpendicolare a un piano...

[Shylock1]

Salve ragazzi, mentre facevo alcuni esercizi di matematica mi son imbattuto in un esercizio che, da vari giorni, mi tormenta poiché non riesco a capire alcune cose. In pratica l'esercizio chiede di trovare prima il piano $ pi $ passante per il punto $ P (2,-3,1) $ e ortogonale alla retta $ r $ passante per $ Q (1,0,4) R (-3,2,2) $ e poi le equazioni parametriche del piano $ pi_0 $ parallelo a $ r $ passante per $ S (2,-1,3) $ .
La prima parte dell'esercizio l'ho svolta in questo modo: impongo alla retta $ r $ il passaggio per i due punti Q e R sfruttando l'allineamento di tre punti e la retta ha equazione $ (x-1)/-4=(y)/2=(z-4)/-2 $ che in forma parametrica sarebbe $ {(x=1-4t),(y=2t),(z=4-2t):} $ ora, visto che i parametri direttori della retta rappresenterebbero il vettore perpendicolare al piano $ pi $ uso i parametri direttori della retta e impongo il passaggio per il punto P e l'equazione cartesiana sarebbe $ -4x+2y-2z+16 $ , fin qui credo di aver fatto tutto correttamente, giusto? Ora mi blocco, non so più come procedere, ho provato a mettere a sistema le due condizioni di parallelismo tra piano-retta e di perpendicolarità tra piano-piano tipo così $ {(al+bm+cn=0),(aA+bB+cC=0):} $ dove $ l,m,n $ sono i parametri della retta e $ A,B,C $ sono i coefficenti del piano $ pi $ , in questo modo però, per risolvere il sistema impostato dalla condizione di parallelismo e di perpendicolarità, dovrei scegliere a mio piacere due delle tre variabili, so che il vettore $ vec v (-4,2,-2) $ è il vettore perpendicolare alla retta $ r $ , teoricamente dovrebbe essere perpendicolare a $ pi_0 $ visto che è parallelo a $ r $ però non so proprio da dove partire per determinare il piano $ pi_0 $ , chi sa darmi qualche spunto o qualche suggerimento per risolvere l'esercizio?

[_prime_number]

Ricorda che il piano $ax+by+cz+d=0$ è sempre perpendicolare al vettore $(a,b,c)$. Sapendo questo puoi usare il vettore direzione di $r$ e in un attimo è fatta.

Paola

[Shylock1]

Quindi avendo il vettore $ vec v (-4,2,-2) $ che è il vettore normale alla retta $ r $ di equazione $ {(x=1-4t),(y=2t),(z=4-2t):} $ ,quindi anche al piano $ pi_0 $ visto che è parallelo alla retta, impongo al piano di passare per il punto $ S(2,-1,3) $ e uso il vettore per scrivere l'equazione del piano $ pi_0 $ parallelo alla retta e perpendicolare a $ pi $ che verrebbe $ -4(x-2)+2(y+1)-2(z-3)=0 $ che però, alla fine, ha la stessa equazione di $ pi $ , forse non ho capito il tuo suggerimento prime_number oppure ho sbagliato qualcosa nella risoluzione della prima parte dell'esercizio, ma son sicuro che la prima parte vada bene poiché disegnando il piano $ pi $ e la retta $ r $ su un programma di disegno 3D sono perpendicolari

[Shylock1]

No, mi sono confuso e ho fatto un gran pasticcio... in pratica io ho il vettore $ vecv(-4,2,-2) $ che è perpendicolare al piano $ pi $ $ -4x+2y-2z+16=0 $ e la retta $ r $ : $ {(x=1-4t),(y=2t),(z=4-2t):} $ alla quale il vettore $ vecv $ è parallelo, giusto? Ora per trovare l'equazione del piano $ pi_0 $ che è parallelo alla retta $ r $ e passa per il punto $ S(2,-1,3) $ dovrei avere un vettore ortogonale a $ pi_0 $ , ma come lo trovo? Una volta trovato questo vettore poi potrei trovare l'equazione del piano $ pi_0 $ che passa per il punto $ S $. Scusate la confusione ma è più di qualche giorno che penso a come risolvere questo problema sfogliando qualsiasi dispensa/appunto trovi sul web e con l'agitazione sto facendo un gran caos...