Parametri essenziali: richiesta spiegazione

[Sk_Anonymous]

Non ho ben capito una parte di questo passaggio che riporto per intero:

Una trasformazione proiettiva cambia le coordinate omogenee $x_1,x_2,x_3,x_4$ secondo le equazioni seguenti

[tex]$
x_1^{'} = A_1 x_1+B_1 x_2 + C_1 x_3 + D_1 x_4 \\
x_2^{'} = A_2 x_1+B_2 x_2 + C_2 x_3 + D_2 x_4 \\
x_3^{'} = A_3 x_1+B_3 x_2 + C_3 x_3 + D_3 x_4 \\
x_4^{'} = A_4 x_1+B_4 x_2 + C_4 x_3 + D_4 x_4
$[/tex]

Una tale trasformazione dipende pertanto da 16 parametri, definiti a meno di una costante di proporzionalità non nulla, e quindi abbiamo 15 parametri essenziali

La mia domanda (che probabilmente sarà banalissima) è: come mai i parametri essenziali sono 15?
Supponiamo che io sappia che un parametro sia non nullo, diciamo $A_1$, e divido per quel parametro, a destra avrò [tex]x_1^{'} / A_1, x_2^{'} / A_1[/tex], ecc.. e quindi mi serve comunque sapere quanto vale $A_1$ per trovare le coordinate esatte ...

Insomma, potreste spiegarmi quel passaggio, per favore? Come faccio dal punto di vista analitico a eliminare un coefficente?

[Sk_Anonymous]

e dai raga .... sono sicuro che c'è qualcuno che lo sa ... un aiutino non chiedo altro

[dissonance]

Il punto è che $[A, B, C, D]$ individua lo stesso punto di $[A/D, B/D, C/D, 1]$: quindi operando il cambiamento di variabili $a=A/D, b=B/D, c=C/D$ ci si riconduce ad una descrizione del sistema in termini di $(a, b, c)$. Aggiungi tutti i vari pedici e ottieni la risposta alla tua domanda.

[Sk_Anonymous]

Ma se io divido per esempio per $D_1$ ottengo:

[tex]\begin{cases}
\frac{x_1^{'}}{D_1} = \frac{A_1}{D_1} x_1 + \frac{B_1}{D_1} x_2 + \frac{C_1}{D_1} x_3 + x_4 \\
\frac{x_2^{'}}{D_1} = \frac{A_2}{D_1} x_1 + \frac{B_2}{D_1} x_2 + \frac{C_2}{D_1} x_3 + \frac{D_2}{D_1} x_4 \\
\frac{x_3^{'}}{D_1} = \frac{A_3}{D_1} x_1 +\frac{B_3}{D_1} x_2 + \frac{C_3}{D_1} x_3 + \frac{D_3}{D_1} x_4 \\
\frac{x_4^{'}}{D_1} = \frac{A_4}{D_1} x_1 +\frac{B_4}{D_1} x_2 + \frac{C_4}{D_1} x_3 +\frac{D_4}{D_1} x_4
\end{cases}[/tex]


Il coefficente di $x_4$ nella prima equazione viene $1$, ma $D_1$ mi compare anche a sinistra, quindi cambiando le variabili devo introdurre una variabile $k=1/D_1$ (o lasciare tale coefficente invariato, che ai fini della nostra trattazione è la stessa cosa). E quindi le variabili che mi servono per descrivere il sistema sono comunque $16$, perchè comunque devo conoscere $D_1$. questo discorso andava bene se a sinistra (o a destra) ci fosse stato $0$, allora potevo dividere e ridurre il numero di coefficenti necessari. Oppure se le variabili a sinistra avessero avuto un loro coefficente.

[Sk_Anonymous]

UP! Se potete dirmi come devo operare in quel sistema, poi da la capisco come le variabili si riducono di numero!

[dissonance]

Le coordinate $x_1, x_2, x_3, x_4$ sono omogenee, quindi $[x_1, x_2, x_3, x_4]=[(x_1)/(D), (x_2)/(D), (x_3)/(D),(x_4)/(D)]$.