Geometria e Algebra Lineare

Non ho capito bene il concetto di nucleo di una matrice. Dice che è l' insieme dei vettori la cui immagine è il vettore nullo, non capisco bene. Mi potete dare una definizione migliore?

Ho un problema, qui a pag. 33 primo esercizio: http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... emente.pdf Se al posto di avere la funzione espressa come [tex]f(v1)=.......,f(v2)=....[/tex] volessi la forma generica [tex]f(x,y,z)=....[/tex] cosa dovrei fare?

ho $<,>:R_(2[t])*R_(2[t]) -> R, <p,q> =p(0)q(0)+p(1)q(-1)+p(-1)q(1)+3p'(0)q'(0)$ dove l'apice sta per derivata e devo trovare la matrice $S$ che lo rappresenta rispetto a $B={1,t,t^2}$ mi servirebbe anche un modo per capire come è definito il prodotto io ho provato cosi $p(0)=a_0+a_1*0+a_2*0^2=a_0$ stessa cosa per $q$ poi $p(1)=a_0+a_1*1+a_2*1^2=a_0+a_1+a_2$ $p(-1)=a_0+a_1*(-1)+a_2*(-1)^2=a_0-a_1+a_2$ $p'(0)=(a_0+a_1*t+a_2*t^2)'=a_1+a_2*0=a_1$ cosi posso esprimerlo come $<a,b> =(a_0b_0)+(a_0+a_1+a_2)(b_0-b_1+b_2)+(b_0+b_1+b_2)(a_0-a_1+a_2)+3(a_1b_1)=(a_0b_0)+2(a_0b_0)+2(a_0b_2)+2(a_2b_0)+2(a_2b_2)-2(a_1b_1)+3(a_1b_1)$ $=3(a_0b_0)+2(a_0b_2)+2(a_2b_0)+2(a_2b_2)+(a_1b_1)$da qui ricavo $S$ rispetto la base canonica che è semplice da vedere ...

Salve, come da titolo vorrei sapere se esiste una via 'rapida' per identificare, data una lista di vettori, quali sono quelli linearmente indipendenti. Ad esempio: ho una matrice $ A=( ( 1 , 0 , -1 , -1 ),( -1 , 1 , 0 , -1 ),( -1 , -1 , 2 , -3 ) ) $ e voglio sapere quali colonne sono linearmente indipendenti. Sò che un metodo è quello di mettere a sistema ogni vettore per vedere se è combinazione lineare degli altri, ma questo procedimento mi fà perdere un sacco di tempo all'esame... Sò che è possibile trovare il NUMERO dei vettori ...

Ho un problema che nn riesco a risolvere... Nello spazio affine reale $ A^3(RR) $ si considerino le rette $r:2x+y-z=x-y+1=0$ ,$t:x-y+z=x+2z-2=0$ e $t:3x-y+z=y+z-2=0$ a)Dire giustificando la risposta se le rette r,s,t individuano un sistema di riferimento affine.In caso di risp poaitiva determinare l'origine di tale riferimento. b) Sia $f: A^3(RR )rarr A^3(RR ) $ l'affinità che manda gli assi x,y,z nelle rette r,s,t rispettivamente.Scrivere le equazioni di tale affinità. Il primo punto bene o ...

dunque mi viene chiesto di trovare la matrice che rappresenta il prodotto scalare canonico rispetto alla base $ B={(( 1 ),( 1 ))( ( 1 ),( 2 ) )} $ io ho seguito questi passaggi -trovato matrice di cambiamento di base da $E$ (base canonica) a $B$: $ M=B^-1E=( ( 2 , -1 ),( -1 , 1 ) ) $ -trovo la matrice che rappresenta il prodotto scalare canonico rispetto $B$ $ S_B=M^TS_EM=( ( 5 , -3 ),( -3 , 2 ) ) $ mentre la soluzione dovrebbe essere $ ( ( 2 , 3 ),( 3, 5 ) ) $

Buongiorno a tutti, ho alcune difficoltà con questo es. Sia $V = RR[X]_(<=2)$ lo spazio vettoriale reale dei polinomi di grado minore o uguale a 2. Denotiamo con $B$ la base canonica $B:={1,X,X^2}$ di $V$. Sia $q: V \to RR$ la forma quadratica definita da: $q(a+bX+cX^2) := 2a^2+2ab+b^2+c^2$ Si trovi la matrice rappresentativa del prodotto scalare associato a q rispetto alla base B. Io so che la matrice associata al prodotto scalare, fissata una base ...

siano a,b appartenenti R, e sia S l'insieme delle soluzioni del sistema lineare: 2x+2y+z-2w=b x+10y+2z-7w=a -3x-z+6w=2a allora: a) dimS=2 se b=-a b) dimS=0 se a=b=0 c) dimS=1 qualunque a,b d) nessuna delle altre risposte ho considerato la matrice dei coefficienti e ne ho calcolato il rango poichè dimS=n-rg(a) ho ottenuto rg(a)=3 quindi dimS=4-3=1 non ho capito però come vanno a influire quei parametri a,b nel mio calcolo sono alle prime armi con questa robaccia e sto facendo ...

Allora ragazzi il quesito è questo: si determinino i versori ortogonali al piano di equazione 3x-4z-2=0 io ho trovato il vettore V(3,0,-4); ho trovato il modulo che è 5 e ho trovato le soluzioni ovvero 3/5, 0, 4/5 giusto? ora mi dovete far capire solo una cosa i segni come si alternano? e perchè? tra le soluzioni ho: A. (-o+3/5,0,+o-4/5) B.(+o-3/5, 0, +o-4/5) C. (+o-4/5, 0, +o-3/5) D. (-o+4/5, 0, +o-3/5)

cosa si dve fare per risolvere esercizi di questo tipo?? Ad esempio l'esercizio scrivere il vettore (5, 2, 3, 12)T (T sta per trasposta, quindi è un vettore colonna) come combinazione lieare dei vettori (1,2,-1,4)T ; (2,4,-2,8)T ; (-1,3,-4,1)T Come si risolve questo esercizio???

L'esercizio chiede: si determini la dimensione del sottospazio vettoriale U= $ V nn W $ di $ RR ^4 $ ove : V={(x,y,z,t)|x+y+z=0,x-t=0} W={(x,y,z,t)|y+z+t=0,t=0} Vorrei sapere se il procedimento che ho usato è corretto: ho messo a sistema le equazioni dei due sottospazi. dopo di che, ho ricavato la seguente matrice: $ ( ( 1 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , -1),( 0 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $ il determinante è pari a zero, quindi il rango no è 4 ho preso tutti i minori del terzo ordine e sono tutti pari a zero, di conseguenza ...

Ho bisogno di un aiuto per questo esercizio, grazie: fissato nello spazio un riferimento metrico, si determini l'equazione della retta per P(1,0,1) ortogonale al piano di equazione 2x-y+3z+1=0 potreste aiutarmi? vi ringrazio anticipatamente in attesa di un vostra risposta

se conosco i vettori che generano il sottospazio basta metterli in una matrice e calcolare il rango per sapere la dimensione del sottospazio? poi il rango dovrebbe essere la dimensione giusto? tipo sottospazio V di $ RR^(5) $ generato dai vettori u (2,2,0,2,4) v (2,0,1,1,0) w (1,-1,1,0,-2) basta calcolare il rango di questa matrice? e tale rango sarà la dimensione del sottospazio? $ ( ( 2 , 2 , 0 , 2 , 4 ),( 2 , 0 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 , 0 , -2 ) ) $

Scusate per questo esercizio parto proprio da zero! Fissato nello spazio un riferimento metrico Oxyz, si consideri il piano $ ttdel $ di equazione: $ ttdel $ : 2x - y -z -7 = 0 e si stabilisca quali fra i seguenti vettori è un versore ortogonale a $ ttdel $ A($ 3root(2)(6/6) $ , $ root(2)(6/6) $ , $ root(2)(6/6) $ ) B( $ 2root(2)(6/6) $ , $ root(2)(6/6) $ , $ root(2)(6/6) $ ) C( $ -2root(2)(6/6) $ , $ -root(2)(6/6) $ , $ root(2)(6/6) $ ) D( ...

Salve a tutti, Ho risolto il seguente esercizio (sulla soluzione non sono sicuro). Mi potete dare un mano. Grazie in anticipo. Siano dati $I_1=\{(x,y) \in R^2|y=0, 0\leq x\leq 1\}$ $I_2=\{(x,y)\in R^2|x=1, 0\leq y\leq 1\}$ $I_3=\{(x,y)\in R^2|y=x; x,y in [0 1]\}$ $Q=I_1 \cup I_2 \cup I_3$ ove si definisce la relazione di equivalenza seguente: [tex]\A (x,y), (x',y') \in Q[/tex], [tex](x,y)\sim (x',y')[/tex] se [tex](x,y)=(x',y')[/tex] oppure [tex](x, y), (x', y')\in I_1[/tex], [tex](x,y),(x',y')\in I_2[/tex] Si provi che $\pi : Q\rightarrow Q/\sim$ è ...

Ciao, se ho $f: V->W$ con Basi rispettivamente $B={v1,...,vn}$ e $C={w1,...,wn}$ so che la matrice associata è $A=(aij)$ e calcolo le $aij$ in questo modo: $ f(v1)=a11*(w1)+...+an1*(wn) $ ... $f(vn)=an1*(w1)+...+ann*(wn) $ Non riesco a sbrigarmela nel caso dei polinomi. Ad esempio: trovare la matrice associata a $f:[cc(R)[t]: deg=2]->[cc(R)[t]: deg=2]$ con $f(p(t))=p(1)+(p'(-1)+p(-1))*t+2*t*p'(t)$ Qualcuno sa darmi qualche indicazione??? Grazieee!!!

Salve a tutti, sono un nuovo utente e quindi mi scuso anticipatamente se dovessi commettere qualche sregolatezze! Detto questo vorrei sapere se il procedimento che ho usato per risolvere il seguente esercizio e giusto! ho due sottospazi di vettori di $ R^4 $ : V = {(x,y,z,t) : x + y=z+t, y + z=0} W={((1,0,0,1),(0,1,1,0))} Il procedimento che ho usato è il seguente: Ho posto le equazioni di V a sistema... { x+y-z-t=0 { y+z=0 per ottenere la matrice: ...

come faccio a verificare geometricamente che facendo partire dal fuoco F della parabola un raggio di luce che colpisce un punto P di questa esso si riflette parallelo all'asse x? (supponendo la parabola con vertice nell'origine con fuoco in asse x)

Salve, ho un'applicazione lineare $ f : cc(R)^3 rarr cc(R)^3 $ rappresentata dalla seguente matrice $ A = ( ( 0 , 1 , 2 ),( 1, 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ rispetto alla sua base canonica L'esercizio chiede di determinare le equazioni dell'immagine e del nucleo di f. La cosa che non mi è chiara è il procedimento per arrivare a determinare le equazioni: sò che per prima cosa bisogna trovare i vettori che 'generano' lo spazio dell'immagine, quindi ho trovato: $ Im f=Span (( 1 ),( 1 ),( 1 )), (( 2 ),( 1 ),( 1 )) $ poi per trovare le equazioni cartesiane, (da come ...

Sia dato nello spazio, il piano [tex]\alpha)x+y-z=3[/tex] la retta: [tex]\left\{\begin{matrix} x-y=1\\ x+z=0\end{matrix}\right.[/tex] e il punto [tex]A(0,0,2)[/tex] -Determinare la retta passante per A, parallela ad [tex]\alpha[/tex] e ortogonale ad r. L' equazione di questa retta dovrebbe essere data da due piani, uno è quello contenente A e parallelo ad [tex]\alpha[/tex], l' altro è quello contenente r, passante per A e ortogonale ad [tex]\alpha[/tex] Per l' equazione del primo ...