Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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ho $<,>:R_(2[t])*R_(2[t]) -> R, <p,q> =p(0)q(0)+p(1)q(-1)+p(-1)q(1)+3p'(0)q'(0)$ dove l'apice sta per derivata e devo trovare la matrice $S$ che lo rappresenta rispetto a $B={1,t,t^2}$ mi servirebbe anche un modo per capire come è definito il prodotto
io ho provato cosi $p(0)=a_0+a_1*0+a_2*0^2=a_0$ stessa cosa per $q$ poi
$p(1)=a_0+a_1*1+a_2*1^2=a_0+a_1+a_2$
$p(-1)=a_0+a_1*(-1)+a_2*(-1)^2=a_0-a_1+a_2$
$p'(0)=(a_0+a_1*t+a_2*t^2)'=a_1+a_2*0=a_1$
cosi posso esprimerlo come $<a,b> =(a_0b_0)+(a_0+a_1+a_2)(b_0-b_1+b_2)+(b_0+b_1+b_2)(a_0-a_1+a_2)+3(a_1b_1)=(a_0b_0)+2(a_0b_0)+2(a_0b_2)+2(a_2b_0)+2(a_2b_2)-2(a_1b_1)+3(a_1b_1)$
$=3(a_0b_0)+2(a_0b_2)+2(a_2b_0)+2(a_2b_2)+(a_1b_1)$da qui ricavo $S$ rispetto la base canonica che è semplice da vedere ...
Salve,
come da titolo vorrei sapere se esiste una via 'rapida' per identificare, data una lista di vettori, quali sono quelli linearmente indipendenti.
Ad esempio: ho una matrice $ A=( ( 1 , 0 , -1 , -1 ),( -1 , 1 , 0 , -1 ),( -1 , -1 , 2 , -3 ) ) $ e voglio sapere quali colonne sono linearmente indipendenti.
Sò che un metodo è quello di mettere a sistema ogni vettore per vedere se è combinazione lineare degli altri, ma questo procedimento mi fà perdere un sacco di tempo all'esame...
Sò che è possibile trovare il NUMERO dei vettori ...
Ho un problema che nn riesco a risolvere...
Nello spazio affine reale $ A^3(RR) $ si considerino le rette $r:2x+y-z=x-y+1=0$ ,$t:x-y+z=x+2z-2=0$ e $t:3x-y+z=y+z-2=0$
a)Dire giustificando la risposta se le rette r,s,t individuano un sistema di riferimento affine.In caso di risp poaitiva determinare l'origine di tale riferimento.
b) Sia $f: A^3(RR )rarr A^3(RR ) $ l'affinità che manda gli assi x,y,z nelle rette r,s,t rispettivamente.Scrivere le equazioni di tale affinità.
Il primo punto bene o ...
dunque mi viene chiesto di trovare la matrice che rappresenta il prodotto scalare canonico rispetto alla base $ B={(( 1 ),( 1 ))( ( 1 ),( 2 ) )} $ io ho seguito questi passaggi
-trovato matrice di cambiamento di base da $E$ (base canonica) a $B$:
$ M=B^-1E=( ( 2 , -1 ),( -1 , 1 ) ) $
-trovo la matrice che rappresenta il prodotto scalare canonico rispetto $B$
$ S_B=M^TS_EM=( ( 5 , -3 ),( -3 , 2 ) ) $
mentre la soluzione dovrebbe essere $ ( ( 2 , 3 ),( 3, 5 ) ) $
Buongiorno a tutti, ho alcune difficoltà con questo es.
Sia $V = RR[X]_(<=2)$ lo spazio vettoriale reale dei polinomi di grado minore o uguale a 2. Denotiamo con $B$ la base canonica $B:={1,X,X^2}$ di $V$. Sia $q: V \to RR$ la forma quadratica definita da:
$q(a+bX+cX^2) := 2a^2+2ab+b^2+c^2$
Si trovi la matrice rappresentativa del prodotto scalare associato a q rispetto alla base B.
Io so che la matrice associata al prodotto scalare, fissata una base ...
siano a,b appartenenti R, e sia S l'insieme delle soluzioni del sistema lineare:
2x+2y+z-2w=b
x+10y+2z-7w=a
-3x-z+6w=2a
allora:
a) dimS=2 se b=-a
b) dimS=0 se a=b=0
c) dimS=1 qualunque a,b
d) nessuna delle altre risposte
ho considerato la matrice dei coefficienti e ne ho calcolato il rango poichè dimS=n-rg(a)
ho ottenuto rg(a)=3 quindi dimS=4-3=1
non ho capito però come vanno a influire quei parametri a,b nel mio calcolo
sono alle prime armi con questa robaccia e sto facendo ...
Allora ragazzi il quesito è questo:
si determinino i versori ortogonali al piano di equazione 3x-4z-2=0
io ho trovato il vettore V(3,0,-4);
ho trovato il modulo che è 5
e ho trovato le soluzioni
ovvero 3/5, 0, 4/5 giusto? ora mi dovete far capire solo una cosa i segni come si alternano? e perchè?
tra le soluzioni ho:
A. (-o+3/5,0,+o-4/5)
B.(+o-3/5, 0, +o-4/5)
C. (+o-4/5, 0, +o-3/5)
D. (-o+4/5, 0, +o-3/5)
cosa si dve fare per risolvere esercizi di questo tipo??
Ad esempio l'esercizio
scrivere il vettore (5, 2, 3, 12)T (T sta per trasposta, quindi è un vettore colonna) come combinazione lieare dei vettori
(1,2,-1,4)T ; (2,4,-2,8)T ; (-1,3,-4,1)T
Come si risolve questo esercizio???
L'esercizio chiede:
si determini la dimensione del sottospazio vettoriale U= $ V nn W $ di $ RR ^4 $ ove :
V={(x,y,z,t)|x+y+z=0,x-t=0} W={(x,y,z,t)|y+z+t=0,t=0}
Vorrei sapere se il procedimento che ho usato è corretto:
ho messo a sistema le equazioni dei due sottospazi.
dopo di che, ho ricavato la seguente matrice:
$ ( ( 1 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , -1),( 0 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $
il determinante è pari a zero, quindi il rango no è 4
ho preso tutti i minori del terzo ordine e sono tutti pari a zero, di conseguenza ...
Ho bisogno di un aiuto per questo esercizio, grazie:
fissato nello spazio un riferimento metrico, si determini l'equazione della retta per P(1,0,1) ortogonale al piano di equazione 2x-y+3z+1=0
potreste aiutarmi?
vi ringrazio anticipatamente in attesa di un vostra risposta
se conosco i vettori che generano il sottospazio basta metterli in una matrice e calcolare il rango per sapere la dimensione del sottospazio? poi il rango dovrebbe essere la dimensione giusto?
tipo sottospazio V di $ RR^(5) $ generato dai vettori u (2,2,0,2,4) v (2,0,1,1,0) w (1,-1,1,0,-2)
basta calcolare il rango di questa matrice? e tale rango sarà la dimensione del sottospazio? $ ( ( 2 , 2 , 0 , 2 , 4 ),( 2 , 0 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 , 0 , -2 ) ) $
Scusate per questo esercizio parto proprio da zero!
Fissato nello spazio un riferimento metrico Oxyz, si consideri il piano $ ttdel $ di equazione:
$ ttdel $ : 2x - y -z -7 = 0
e si stabilisca quali fra i seguenti vettori è un versore ortogonale a $ ttdel $
A($ 3root(2)(6/6) $ , $ root(2)(6/6) $ , $ root(2)(6/6) $ ) B( $ 2root(2)(6/6) $ , $ root(2)(6/6) $ , $ root(2)(6/6) $ ) C( $ -2root(2)(6/6) $ , $ -root(2)(6/6) $ , $ root(2)(6/6) $ ) D( ...
Salve a tutti,
Ho risolto il seguente esercizio (sulla soluzione non sono sicuro).
Mi potete dare un mano. Grazie in anticipo.
Siano dati
$I_1=\{(x,y) \in R^2|y=0, 0\leq x\leq 1\}$
$I_2=\{(x,y)\in R^2|x=1, 0\leq y\leq 1\}$
$I_3=\{(x,y)\in R^2|y=x; x,y in [0 1]\}$
$Q=I_1 \cup I_2 \cup I_3$
ove si definisce la relazione di equivalenza seguente:
[tex]\A (x,y), (x',y') \in Q[/tex], [tex](x,y)\sim (x',y')[/tex] se [tex](x,y)=(x',y')[/tex] oppure [tex](x, y), (x', y')\in I_1[/tex],
[tex](x,y),(x',y')\in I_2[/tex]
Si provi che $\pi : Q\rightarrow Q/\sim$ è ...
Ciao,
se ho $f: V->W$ con Basi rispettivamente $B={v1,...,vn}$ e $C={w1,...,wn}$
so che la matrice associata è $A=(aij)$
e calcolo le $aij$ in questo modo:
$ f(v1)=a11*(w1)+...+an1*(wn) $
...
$f(vn)=an1*(w1)+...+ann*(wn) $
Non riesco a sbrigarmela nel caso dei polinomi.
Ad esempio:
trovare la matrice associata a $f:[cc(R)[t]: deg=2]->[cc(R)[t]: deg=2]$
con $f(p(t))=p(1)+(p'(-1)+p(-1))*t+2*t*p'(t)$
Qualcuno sa darmi qualche indicazione???
Grazieee!!!
Salve a tutti, sono un nuovo utente e quindi mi scuso anticipatamente se dovessi commettere qualche sregolatezze!
Detto questo vorrei sapere se il procedimento che ho usato per risolvere il seguente esercizio e giusto!
ho due sottospazi di vettori di $ R^4 $ :
V = {(x,y,z,t) : x + y=z+t, y + z=0} W={((1,0,0,1),(0,1,1,0))}
Il procedimento che ho usato è il seguente:
Ho posto le equazioni di V a sistema...
{ x+y-z-t=0
{ y+z=0
per ottenere la matrice:
...
come faccio a verificare geometricamente che facendo partire dal fuoco F della parabola un raggio di luce che colpisce un punto P di questa esso si riflette parallelo all'asse x? (supponendo la parabola con vertice nell'origine con fuoco in asse x)
Salve,
ho un'applicazione lineare $ f : cc(R)^3 rarr cc(R)^3 $ rappresentata dalla seguente matrice $ A = ( ( 0 , 1 , 2 ),( 1, 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ rispetto alla sua base canonica
L'esercizio chiede di determinare le equazioni dell'immagine e del nucleo di f.
La cosa che non mi è chiara è il procedimento per arrivare a determinare le equazioni:
sò che per prima cosa bisogna trovare i vettori che 'generano' lo spazio dell'immagine, quindi ho trovato: $ Im f=Span (( 1 ),( 1 ),( 1 )), (( 2 ),( 1 ),( 1 )) $
poi per trovare le equazioni cartesiane, (da come ...
Sia dato nello spazio, il piano [tex]\alpha)x+y-z=3[/tex] la retta: [tex]\left\{\begin{matrix}
x-y=1\\
x+z=0\end{matrix}\right.[/tex] e il punto [tex]A(0,0,2)[/tex]
-Determinare la retta passante per A, parallela ad [tex]\alpha[/tex] e ortogonale ad r.
L' equazione di questa retta dovrebbe essere data da due piani, uno è quello contenente A e parallelo ad [tex]\alpha[/tex], l' altro è quello contenente r, passante per A e ortogonale ad [tex]\alpha[/tex]
Per l' equazione del primo ...
sto cercando di dimostrare che $(V^(\bot))^(\bot)=V$ dove V è uno spazio vettoriale e $V^(\bot)$ è l'ortogonale di V.
in un passaggio della dimostrazione di farebbe comodo sapere se $V^(\bot)\subseteqV$ o meglio ancora $(V^(\bot))^(\bot)\subseteqV$
non ho idea se possa essere vero...e tanto meno come dimostrarla! mi potreste dare una mano?
grazie mille in anticipo a chi mi risponderà seriamente
Vi prego è davvero importante avere il vostro aiuto.
Ho questa applicazione, pagina 38 primo esercizio:
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... emente.pdf
La matrice associata alla f dovrebbe essere:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &2 \\
h+2&h &h+2 \\
h+2& 0 &h+1
\end{pmatrix}[/tex]
Effettuo le seguenti riduzioni:
[tex]R_3=R_2-R_3[/tex]
[tex]R_2=(h+2)R_1-R_2[/tex]
[tex]R_3=R_2+R_3[/tex] ottenendo:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &2 \\
0&-h &h+2 \\
0& 0 &h+3
\end{pmatrix}[/tex]
Dovrei studiare 3 casi: ...
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