Piano tangente ad una quadrica
Si consideri il paraboloide iperbolico dato dalle seguenti equazioni: $x^2-y^2+z$, Il piano tangente nell'origine è $z=0$. Entrambi i luoghi geometrici sono rappresentati nella seguente immagine:
Domanda: un piano tangente ad una quadrica non dovrebbe intersecare la quadrica in un solo punto? Per esempio un piano tangente ad una sfera, non dovrebbe intersecare la sfera solo in un punto? Nella figura si vede che invece il piano "taglia" completamente la quadrica. Insomma, mi servirebbe una definizione precisa di "piano tangente ad una quadrica".
Domanda: un piano tangente ad una quadrica non dovrebbe intersecare la quadrica in un solo punto? Per esempio un piano tangente ad una sfera, non dovrebbe intersecare la sfera solo in un punto? Nella figura si vede che invece il piano "taglia" completamente la quadrica. Insomma, mi servirebbe una definizione precisa di "piano tangente ad una quadrica".
Risposte
Non c'è niente di strano:
la quadrica [tex]z=x^2-y^2[/tex] è un paraboloide iperbolico:
tutti i suoi punti sono iperbolici e, se intersechi la quadrica con
il piano tangente in un punto P, trovi due rette distinte passanti per P.
la quadrica [tex]z=x^2-y^2[/tex] è un paraboloide iperbolico:
tutti i suoi punti sono iperbolici e, se intersechi la quadrica con
il piano tangente in un punto P, trovi due rette distinte passanti per P.
Ti ringrazio per la risposta 
E' che sono abituato alla geometria piana in cui una retta è tangente se tocca la figura in un solo punto (almeno è così che l'avevo imparata io), e quindi ora mi devo "riabituare" Vorrei fare due domande.
La prima domanda è: So già (anche grazie alla dispensa da te indicatami) che, se un piano è tangente ad una quadrica in un punto, il sistema tra la quadrica e il piano deve avere delta nullo. Ma dal punto di vista geometrico/intuitivo la condizione "avere il delta nullo" come si traduce? Non credo che sia sufficiente che il piano "tocchi" la quadrica in quel punto, perchè altrimenti qualsiasi rotazione del piano che ha per centro il punto di tangenza darebbe un piano ancora tangente. E, a quanto pare, non è necessario che il piano tocchi la quadrica solo in quel punto punto.
Un'altra domandina: come esempio di punto parabolico, prendendo l'intersezione tra un cilindro e un piano ad esso tangente, tutti i punti della retta che ottengo sono punti parabolici per il cilindro?
E' che sono abituato alla geometria piana in cui una retta è tangente se tocca la figura in un solo punto (almeno è così che l'avevo imparata io), e quindi ora mi devo "riabituare" Vorrei fare due domande. La prima domanda è: So già (anche grazie alla dispensa da te indicatami) che, se un piano è tangente ad una quadrica in un punto, il sistema tra la quadrica e il piano deve avere delta nullo. Ma dal punto di vista geometrico/intuitivo la condizione "avere il delta nullo" come si traduce? Non credo che sia sufficiente che il piano "tocchi" la quadrica in quel punto, perchè altrimenti qualsiasi rotazione del piano che ha per centro il punto di tangenza darebbe un piano ancora tangente. E, a quanto pare, non è necessario che il piano tocchi la quadrica solo in quel punto punto.
Un'altra domandina: come esempio di punto parabolico, prendendo l'intersezione tra un cilindro e un piano ad esso tangente, tutti i punti della retta che ottengo sono punti parabolici per il cilindro?
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