Equazione piana dell'intersezione tra quadrica e piano

[Sk_Anonymous]

Ho il seguente sistema:

[tex]$\begin{cases}
x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+2y-8z+20=0 \hspace{7 mm} (1)\\
x+y+z-4=0 \hspace{7 mm} (2)
\end{cases}$[/tex]

Come vedete, il sistema rappresenta l'intersezione tra un sfera ($(1)$) e un piano ($(2)$), ovvero una circonferenza. Ora io avevo pensato di fare questo:

1) Ricavo $z$ da $(2)$
2) Sostituisco l'espressione così trovata in ($(1)$)

Dovrei ottenere un'equazione di un luogo di punti che soddisfi contemporaneamente entrambe le condizioni, ovvero quella di appartenere al piano e di appartenere alla quadrica, ovvero l'equazione della circonferenza sul piano (e non più nello spazio). Invece mi viene fuori una ellisse. Le mie domande sono

I) Dove sbaglio nel mio ragionamento?
II) L'ellisse che mi è saltata fuori cosa rappresenta invece? Cos'è?
III) Come faccio a trovare l'equazione della circonferenza sul piano (in pratica nel sistema di riferimento $xy$ costruito sul piano secante) ?

[franced]

Se tu prendi z e la metti nella prima equazione trovi l'equazione
di un cilindro ellittico, parallelo all'asse z, che interseca il piano z=0 lungo,
appunto, un'ellisse.