Equazioni Assi e Asintoti di una conica
Ho questo esercizio:
data la conica H $x^2+4xy+y^2=1$ è una iperbole; determinare la trasformazione che porta H in forma canonica e scrivere le equazioni degli assi e degli asintoti.
primo pezzo fatto trovato che è un'iperbole con gli invarianti poi gli autovalori della forma quadratica, gli autovettori associata a questi autovalori trovando i sistemi della trasformazione dati dalla relazione $X=PX'$ che sono $\{(x = 1/sqrt(2)(x'+y')),(y = 1/sqrt(2)(x'-y')):}$ oppure essendo P simmetrica uso la relazione $X'=PX$ $\{(x' = 1/sqrt(2)(x+y)),(y' = 1/sqrt(2)(x-y)):}$ dove la matrice P è la matrice degli autovettori associati agli autovalori della quadrica. Uso il primo sistema lo sostituisco in $x^2+4xy+y^2=1$ e trovo l'equazione che porta H in forma canonica ovvero $3x'^2-y'^2=1$ ora come porcedo per trovare le equazioni degli assi e degli asintoti di questa conica?
data la conica H $x^2+4xy+y^2=1$ è una iperbole; determinare la trasformazione che porta H in forma canonica e scrivere le equazioni degli assi e degli asintoti.
primo pezzo fatto trovato che è un'iperbole con gli invarianti poi gli autovalori della forma quadratica, gli autovettori associata a questi autovalori trovando i sistemi della trasformazione dati dalla relazione $X=PX'$ che sono $\{(x = 1/sqrt(2)(x'+y')),(y = 1/sqrt(2)(x'-y')):}$ oppure essendo P simmetrica uso la relazione $X'=PX$ $\{(x' = 1/sqrt(2)(x+y)),(y' = 1/sqrt(2)(x-y)):}$ dove la matrice P è la matrice degli autovettori associati agli autovalori della quadrica. Uso il primo sistema lo sostituisco in $x^2+4xy+y^2=1$ e trovo l'equazione che porta H in forma canonica ovvero $3x'^2-y'^2=1$ ora come porcedo per trovare le equazioni degli assi e degli asintoti di questa conica?
Risposte
costretto ad un up
per gli assi sono riuscito a capire come calcolarli....ma gli asintoti in caso di iperbole come li calcolo?
Gli asintoti possono essere determinati con le polari nei due punti impropri.
Un altro metodo è questo. Sia $S$ la trasformazione che porta l'iperbole in forma canonica. Gli asintoti di una iperbole in forma canonica sono dati da $y=+- b/a x$. Se alle due equazioni così trovate applichi la trasformazione $S^{-1}$, trovi gli asintoti dell'iperbole originaria
"raffamaiden":
Un altro metodo è questo. Sia $S$ la trasformazione che porta l'iperbole in forma canonica. Gli asintoti di una iperbole in forma canonica sono dati da $y=+- b/a x$. Se alle due equazioni così trovate applichi la trasformazione $S^{-1}$, trovi gli asintoti dell'iperbole originaria
la trasformazione $S^(-1)$ sarebbe?
Se $S$ è la trasformazione che porta l'iperbole in forma canonica (ovvero porta l'iperbole "rototraslata" originaria nella forma canonica, con centro di simmetria nell'origine), allora $S^{-1}$ è la trasformazione inversa, che porta l'iperbole dalla forma canonica nella forma rototraslata. Poichè una rototraslazione è una isometria (*), gli asintoti della forma rototraslata posso essere calcolati da quelli della forma canonica applicando $S^{-1}$.
In parole spicciole, trovi gli asintoti della forma canonica e poi li roto-trasli trovando gli asintoti della conica "originaria", e la rototraslazione che applichi è l'inversa della rototraslazione che hai applicato per portare l'iperbole in forma canonica
(*) sinceramente non mi sono mai chiesto se questo vale anche per le similitudini, dal punto di vista intuitivo penso di si, perchè la similitudine inversa dovrebbe "allargare" anche gli asintoti, ma ci affidiamo a franced per questo
In parole spicciole, trovi gli asintoti della forma canonica e poi li roto-trasli trovando gli asintoti della conica "originaria", e la rototraslazione che applichi è l'inversa della rototraslazione che hai applicato per portare l'iperbole in forma canonica
(*) sinceramente non mi sono mai chiesto se questo vale anche per le similitudini, dal punto di vista intuitivo penso di si, perchè la similitudine inversa dovrebbe "allargare" anche gli asintoti, ma ci affidiamo a franced per questo
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