Problema Applicazione Lineare (base & matrice associata)

[sawyerized]

Salve ragazzi, è la prima volta che scrivo su questo forum, anche se mi avete veramente già risolto mille problemi

Veniamo al dunque, io ho il seguente problema che non riesco a capire come risolvere.

Si considerino i seguenti vettori di $ R^4 $

$ v1 := (0,1,0, -1) $
$ v2 := (0,0,-1,2) $
$ v3 := (1,0,0,-1) $

a) stabilire se i vettori sono linearmente indipendenti;
b) nel caso in cui i vettori siano linearmente indipendenti, trovare una base di $ R^4 $ che li contenga;
c) trovare una applicazione lineare $ f: R^4 -> R^3 $ non nulla tale che
$ f(v1) = f(v2) = f(v3) = (0,0,0) $
e scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche di $R^4$ ed $R^3$

La verifica dei vettori linearmente indipendenti l'ho già fatta io (credo correttamente), calcolando il determinante della sottomatrice 3x3 ed i 3 vettori mi vengono appunto linearmente indipendenti.
Ora se potete aiutarmi con gli altri due punti del quesito, perché non so veramente come risolverli...

[Seneca1]

"sawyerized":b) nel caso in cui i vettori siano linearmente indipendenti, trovare una base di $ R^4 $ che li contenga;

Se i tre vettori sono linearmente indipendenti, questi si possono completare ad una base.

Una base di [tex]$\mathbb{R}^4$[/tex] è [tex]$B = ( (1 , 0 , 0 , 0 ) , (0 , 1 , 0 , 0 ) , (0 , 0 , 1 , 0 ) , (0 , 0 , 0 , 1 ) )$[/tex]. Sicuramente esiste un vettore di [tex]$B$[/tex], il quale, affiancato ai vettori che ti vengono forniti dall'esercizio, forma una base di [tex]$\mathbb{R}^4$[/tex]. Ti è chiaro il perché?

[sawyerized]

"Seneca":[quote="sawyerized"]b) nel caso in cui i vettori siano linearmente indipendenti, trovare una base di $ R^4 $ che li contenga;

Se i tre vettori sono linearmente indipendenti, questi si possono completare ad una base.

Una base di [tex]$\mathbb{R}^4$[/tex] è [tex]$B = ( (1 , 0 , 0 , 0 ) , (0 , 1 , 0 , 0 ) , (0 , 0 , 1 , 0 ) , (0 , 0 , 0 , 1 ) )$[/tex]. Sicuramente esiste un vettore di [tex]$B$[/tex], il quale, affiancato ai vettori che ti vengono forniti dall'esercizio, forma una base di [tex]$\mathbb{R}^4$[/tex]. Ti è chiaro il perché?[/quote]

Praticamente ho capito che basta prendere un vettore della base canonica e "aggiungerlo" ai miei vettori e quella quindi diventa la mia base associata ai vettori.
Se potessi spiegarmi invece in via teorica, il perché di questa cosa, te ne sarei grato perché non mi è molto chiaro a dire il vero

[Seneca1]

Non ho controllato l'esattezza di quanto c'è scritto qui http://it.wikipedia.org/wiki/Completamento_a_base, ciononostante dovrebbe darti un'idea di cosa succede.