Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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ciao a tutti, ho dei piccoli dubbi su degli esercizi di geometria 1...spero possiate aiutarmi
1) sia $X=uuu_{i in I} A_i$, ovvero $uuu_{i in I} A_i$ è un ricoprimento aperto di $X$ e sia $i_0$ un indice tale che $X/A_(i_0)$ (indica il complementare) è finito, cioè $X/A_(i_0)={x_1,....,x_m}$.
ciò che non capisco è la seguente affermazione: per ogni $j$ da $1$ a $m$ esiste $(ij) in I$ tale che $x_i in I$: perchè esiste ...
Ciao a tutti, non riesco a capire come si risolve questo esercizio:
Per quali valori di k i vettori
u = (-2, k, -1)
v = (k+3, -2, 2)
w = (2, 1, -k)
sono linearmente indipendenti?
Grazie mille!
Buonasera a tutti,
apro una nuova discussione sull'argomento per non intasarne troppo un'altra già aperta ma avente un titolo più specifico.
Vorrei cominciare chiedendo una conferma: è vero che ogni superficie $S\subset \mathbb{R}^n$ di classe $C^1$ è sempre orientabile?
Io credo che la risposta sia sì, poiché ho tentato la seguente dimostrazione che mi sembra pulita pulita.
Prendiamo in considerazione una generica carta \(\displaystyle \phi:I^k_t\to U_1\subset S \) (\(\displaystyle ...
Buon giorno a tutti, considero un superficie parametrizzata come segue
$x=x(u,v)$
$y=y(u,v)$
$z=z(u,v)$
Preso un punto P della superficie considero i vettori $del_u$ e $del_v$ che formano un base sullo spazio tangente alla superficie in P.
Mediante il prodotto scalare $<del_u,del_v>$ posso costruire il tensore metrico:
$g$=$((<del_u,del_u>,<del_u,del_v>),(<del_v,del_u>,<del_v,del_v>))$.
Da quello che ho capito il tensore metrico cambia in ogni punto della superficie ma resta sempre ...
Buonasera devo calcolare la dimensione della somma dei seguenti spazi vettoriali in $RR^5$:
$U1:{\(x_1+x_3-x_4=0), (x_1-x_2-x_3+x_5=0), (x_2+2x_3-x_4-x_5=0):}$
$U2:{\(x_1-2x_2-2x_4+2x_5=0), (x_1-x_2-x_4+x_5=0), (x_2+x_4-x_5=0):}$
Io ho ragionato così: siccome ci troviamo in $RR^5$ vuol dire che al più ci sono 5 vettori linearmente indipendenti. Sono quindi passato dal sistema lineare alla matrice e le ho ridotte entrambe a scala.
$U1$ $((1,0,1,-1,0),(0,-1,-2,-1,1),(0,0,0,-2,0))$
Il rango della matrice è quindi 3 perché ci sono 3 pivot (e in una matrice a scala pivot e rango ...
Ciao , vado cercando un aiuto per capire un dubbio nato dallo studio di alcune entità fisiche di cui non riesco bene a capire formalmente il concetto. Si tratta, in primis, dei vettori e pseudovettori (e di conseguenza dei concetti di scalare e pseudoscalare).
Ho letto varie fonti ma sul mio libro non ne parla, quindi purtroppo mi limito al web, perché non so bene dove cercare. Ad ogni modo:
da quanto ho capito il problema nasce quando faccio una riflessione degli assi e tengo l'entità ...
Ciao a tutti.
Vorrei sapere se la seguente proposizione è vera o falsa e conoscere la conseguente dimostrazione della sua verità/falsità.
Siano $S$ e $S'$ spazi topologici di Haussdorf, $A$ un aperto di $S$ e $f: A \to S$ iniettiva e continua. L'inversa $f^{- 1}: f(A) \to A$ di $f$ è pure continua.
Grazie per un eventuale aiuto...
Rodolfo
Sia $f:M\to N$ una mappa tra SdR, $\phi:U\subset\mathbb{C}\to \tilde{U}\subset M$ e $\psi:W\subset\mathbb{C}\to \tilde{W}\subset N$ funzione coordinate. Diciamo che $f$ è olomorfa se $\psi^{-1} \cdot f \cdot \phi$ è olomorfa. A lezione, però, abbiamo introdotto come notazione equivalente a questa la seguente: $\psi=f \cdot \phi$. Ma che significato ha? Non sembrerebbe essere un'uguaglianza in senso classico, poichè le funzioni sono definite su aperti non necessariamente uguali di $\mathbb{C}$, e in generale direi che non dovrebbe valere ...
Ciao. Siano \( V \) e \( W \) due spazi vettoriali su \( k \), di dimensione finita. Voglio provare che
\[
\hom_k(V,W)\cong\hom_k(W^*,V^*)
\] senza usare le basi.
La funzione \( \Psi\colon \phi\mapsto\phi^* \) che mappa un'applicazione lineare \( V\to W \) nella sua trasposta \( W^*\to V^* \) è lineare, quindi devo solo trovarne un'inversa.
È un fatto generale che un diagramma di spazi vettoriali e applicazioni lineari
\begin{tikzcd}
A\ar[d] & ...
salve a tutti, studiando le slide di geometria 1 mi è sorto un dubbio:
il testo riporta:
"$U sube X$ è un sottoinsieme chiuso superiormente rispetto all'ordine $<=$ se $AA a,b$ se $a<=b$ e $ a in U$ allora $ b in U$ "
"Inoltre gli aperti della topologia di Alexandrof sono proprio gli insiemi chiusi superiormente"
perdonatemi la domanda banale, ma sono io che sto sbagliando o quella è la definizione di insieme chiuso inferiormente e non ...
Vorrei mostrare che se una k-superficie $S\subset\mathbb{R}^n$ di classe $C^{(1)}$ è orientabile, allora esiste un field of frames continuo su di essa.
Innanzitutto, per me orientabilità significa che esiste almeno un atlante di carte a coppie consistenti, dove due carte sono consistenti se i loro domini d'azione sono disgiunti oppure, in caso non lo siano, se le transizioni mutue tra esse avvengono a Jacobiano positivo in ogni punto di $S$.
Con field of frames intendo invece ...
Ciao a tutti, ho due 2 dubbi (forse banali)su questo argomento:
"distanza da un sottoinsieme in uno spazio topologico $(X,d)$
sia $Z sube X$ sottoinsieme: definiamo $d_Z: X->RR$ come $x-> Inf{d(x,z)| z in Z}$
ciò che non mi è chiaro, nonostante la dimostrazione già fatta a lezione, è perchè si posso dire ( quasi ad occhio) che $d_Z(x)=0 <=> x in \bar{Z}$.
infatti ho pensato che $Z sube \bar{Z}$ e dunque ogni $z in Z$ appartiene anche a $\bar{Z}$ (corretto?); ma poi ...
Il testo dell'esercizio è:
Scrivere l'equazione della conica iperosculatrice in $O(0,0)$ alla conica $x^2+3xy-y^2+4x-y=0$ e passante per $A(-2,1)$.
Vorrei risolvere tale esercizio senza utilizzare i fasci di coniche (sarebbe quasi immediato utilizzandoli).
La mia idea è quella di considerare l'equazione generale di una conica $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$ e imporre tutte le condizioni dettate dal testo.
1) Il passaggio per il punto $O(0,0)$ indica la condizione lineare ...
Carissimi, riguardando un esercizio svolto, ho trovato difficoltà nel capire una conclusione.
Siano dati due endomorfismi $ T_a $ e $ T_b $ entrambi di $ RR^n $.
Essi sono individuati dalle matrici quadrate $ A $ e $ B $ di ordine $ n $.
Si suppone che ogni autovettore di $ T_a $ lo è anche per $ T_b ° T_a $.
Domande:
1) Che legame hanno gli autovettori di $ T_a $ e $ T_b $
2) Se è ...
Ciao a tutti !
Oggi mi rivolgo a voi per chiarire il dubbio che ho espresso nel titolo. Riferendomi alla "grande formula" (non so se abbia anche altri nomi) per il calcolo del determinante, cioè: $det(A)=sum_(P) (a_(1alpha)a_(2beta)...a_(n nu))det(P)$ essendo $(1,...n)$ e $(alpha,...nu)$ rispettivamente le righe e le colonne della matrice A ed essendo P la matrice di permutazione, in un esercizio tratto dallo Strang mi viene chiesto di trovare il numero di moltiplicazioni necessario per calcolare il determinante ...
Volevo aprire un argomento di cui ho iniziato ad occuparmi da meno di una settimana e che nonostante l'impegno nel seguire le lezioni, mi rimane profondamente oscuro.
Considerato uno spazio proiettivo $P(V):=((V^*)/~) = {\[v]_~ \|\ vinV^*}$ intendendo quindi l'insieme di tutte le classi di equivalenza tali che: $[v]_~:={yinV^* | EElambdainK^*\:\ y=lambdax}$
Mi è stato detto che gli elementi di $P(V)$ si chiamano "punti" e che questi "punti" vengono rappresentati da $v$. Cioè chiamato $Q$ un generico ...
Ciao a tutti, non riesco a venirne a una con questa dimostrazione lasciata all'inizio del corso (dopo aver fatto solo la nozione di spazio topologico e qualche definizione basilare su funzioni continue) e che sul mio libro di testo(Manetti) non trovo
Sia ${X_i | i in I}$ una famiglia di spazi topologici e si consideri il diagramma (l'ho riportato in foto). Dimostrare che $AA {f_i:X_i->Y}$, $f_i$ continue, esiste un'unica $f$ che fa commutare tutti i triangoli, cioè ...
Ciao ragazzi, scusate se canno la sezione in cui postare la domanda. Sto approcciando un'appendice di Teoria dei Gruppi su un libro di RR e leggo "Le rappresentazioni continue di un gruppo topologico semolicemente connesso sono sempre ad un solo valore". Ho capito cosa sia una rappresentazione lineare, immagino che quando si dice "continua" si intenda che l'omomorfismo associato sia continuo, ditemi se sbaglio. La cosa che però mi turba di più è quel "ad un solo valore"... Che intende? (è la ...
Buongiorno,
ecco un altro problema di cui non sono sicuro:
Si consideri il sottospazio W={M $\in\quad Mat_{2x2}$ (R) | M*$((0,1),(1,1))$ =$((0,1),(1,1))$*M}.
Scegli un'alternativa:
a) dimW=2
b) W è isomorfo a $R^4$
c) dimW= 0
d) W è isomorfo allo spazio dei polinomi $R_2$[x] a coefficienti reali di grado al più due.
La mia soluzione:
scrivo i due prodotti matriciali:
$((a,b),(c,d))$ $((0,1),(1,1))$=$((b,a+b),(d,c+d))$
...
Salve, un esercizio mi chiede di scrivere la matrice associata ad un endomorfismo f: R^3 --> R^3 definito da
f(1,1,0) = (1,0,1)
f(0,1,-1) = (0,k,-k)
f(1,1,1) = (2,2,2)
rispetto alla base B=((1,1,0),(0,1,-1),(1,1,1))
Come faccio a scrivere la matrice associata? Grazie
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