Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ho un dubbio forse stupido sulla formula di Baker-Campbell-Hausdorff. Si ha in generale: \[\exp(A)\exp(B)=\exp(A+B+Z),\] dove \(Z=\frac{1}{2}[A,B]+...\) è la serie dei commutatori annidati. Se invece dovessi partire da \(\exp(A+B)\) e volessi separare l'esponenziale individuando \(\exp A\) e \(\exp B\), qual è la formula corretta?
Ciao a tutti
il polinomio caratteristico di una matrice $AinM_n(F)$ lo abbiamo definito così:
$chi_A(X)=det(X*I_n-A)$
analogamente abbiamo definito il polinomio caratteristico di un endomorfismo $phiinEnd(V)$:
$chi_phi(X)=det(X*I_n-M_B(phi))$
dove $M_B(phi)$ è la matrice associata all'endomorfismo $phi$ rispetto a $B$ base ordinata di $V$. Ho due domande:
1) Da dove vengono queste definizioni? mi sembrano un po' piovute dal cielo e non riesco a farmi un ...
Buonasera,
Ho un dubbio a proposito della topologia compatta-aperta, io l'ho definita così su $C(X, Y) $, come la topologia che ha come prebase tutti i sottoinsiemi
$$W(K, U) =\{f\in C(X, Y) | f(K) \subset U\} $$
al variare di $K$ tra i compatti di $X$ e di $U$ tra gli aperti di $Y$.
A questo punto vorrei definire la topologia compatta-aperta su $C^n(X, Y) $... basta che prendo le ...
Ciao!
E' corretto dire che ad un autovalore corrispondono 1 o più autovettori, mentre ad un autovettore corrisponde uno ed un solo autovalore?
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Studente Anonimo
15 ago 2020, 16:42
Avrei una domanda, ho l'esame a breve, e non capisco come mai questi tre ragionamenti che mi sembrano corretti tutti e tre mi portano a conclusioni differenti. Il ragionamento 3 penso sia errato gli altri penso siano corretti.
Allora volevo calcolarmi il gruppo fondamentale del piano proiettivo meno un punto \(X= \mathbb{R}P^2 \setminus \{ x \} \).
Ragionamento uno: Seifert Van Kampen
Prendo la presentazione poligonale del quadrato \(I^2/\sim \), dove i lati sono partendo dal vertice in basso ...
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Studente Anonimo
10 ago 2020, 21:19
1) Dimostra che il sottospazio del quadrato \(I\times I \) munito della topologia prodotto, formato dai sei segmenti \( \{a\} \times I \) e \( I \times \{ a \} \) con \( a \in \{ 0,1/2,1\} \) è una retrazione di deformazione forte del quadrato privato di 4 punti interni.
Descrivi esplicitamente la retrazione e l'omotopia.
2) Identifica il tipo di omotopia del quadrato privato di quattro punti interni. Non è necessario di dare l'omootpia esplicitamente, ma giustifica le affermazioni basandoti ...
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Studente Anonimo
24 lug 2020, 16:08
Mi si chiede di dimostrare che la sospensione \( \Sigma S^n \approx S^{n+1} \) e che la sospensione iterata \( \Sigma^n S^0 \approx S^n \).
Dimostrato \( \Sigma S^n \approx S^{n+1} \) è immediato che \( \Sigma^n S^0 \approx S^n \).
Le soluzioni mi dicono questa roba qui ma secondo me è sbagliata perché l'applicazione che definisce non passa al quoziente, come invece dice.
Definiamo un'applicazione \( S^n \times I \to S^{n+1} \) definita da \[ (x_0,\ldots, x_n;t) \mapsto ( x_0 \sqrt{1-t^2}, ...
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Studente Anonimo
8 apr 2020, 16:15
Ho letto che dividendo una sfera solida piena in 5 parti queste ultime si possono rimettere insieme per formare due sfere di ugual volume di quella divisa. Come è possibile? Volendo dare una dimostrazione-interpretazione fisico-matematica che cosa devo immaginare? Nel senso: posso prendere un palloncino sferico e riempirlo d'acqua che è omogenea ed incompressibile, ma quando vado a rimettere insieme le parti di acqua non
ottengo proprio il volume iniziale della sfera non divisa? Dunque il ...
Ciaoooo a tutti,
non so se questa è la sezione giusta per questa domanda, spero di sì
ho un problema con una dimostrazione e non so come andare avanti, vi spiego il problema:
Teorema di Steinitz
Sia $X\subset\mathbb{R}^n$ e $p\in\text{int(conv}X)$. Esistono $k\le2n$ punti $x_1,..., x_k\in X$ tali che $p\in\text{int(conv}\{x_1,...,x_k\})$.
E il Lemma:
Sia $P\subset\mathbb{R}^n$ un politopo convesso di vertici $v_1,...,v_k$, allora esistono delle funzioni continue $\phi_i: P\rightarrow\mathbb{R}$ per $i=1,...,k$ tali che ...
Ciao a tutti!
Sto avendo qualche difficoltà col seguente esercizio:
Dimostra che per un endomorfismo \(\displaystyle \Pi : V\rightarrow V \) tale che \(\displaystyle \Pi^2=\Pi \) (proiezione),
\(\displaystyle \text{Ker}(\Pi)\oplus\text{Im}(\Pi)=V \), dove\(\displaystyle \oplus \) indica la somma diretta tra sottospazi.
Cominciamo:
Dalla formula di Grassmann
\(\displaystyle dim(\text{Ker})+dim(\text{Im})=dim(\text{Ker+Im})+dim(\text{Ker}\cap\text{Im}) \).
D'altronde, dal teorema ...
Data l'equazione
$sqrt[(2 + 3 x)^2 (47 - x + x^2)]-sqrt[(-5 + 3 x)^2 (47 - x + x^2)]=7*(2*y+1)$
grafico 1
Come faccio a trovare il punto tangente passante per il punto $x=5/3$ e $y=sqrt(433)/6-1/2$
Nel grafico 2 ho provato per tentativi e dovrebbe essere la retta passante per ($x=5/3$ , $y=sqrt(433)/6-1/2$) ed ($x=2$ , $y=3$)
grafico 2
$sqrt[(2 + 3 x)^2 (47 - x + x^2)]-sqrt[(-5 + 3 x)^2 (47 - x + x^2)]=7*(2*y+1)$
,
$y-(sqrt(433)/6-1/2)=(3-(sqrt(433)/6-1/2))/(2-(5/3))*(x-(5/3))$
Mi aiutereste gentimente?
Salve,vedendo il mio prof di algebra lineare svolgere un esercizio mi è venuto un dubbio atroce.Ma quando consideriamo una matrice che identica uno spazio di applicazioni lineari,piuttosto che considerarla come matrice associata ad un'applicazione lineare,cambia la sua dimensione?Almeno così pare a quanto ho visto
ciao,
ho un dubbio di carattere generale: consideriamo lo spazio affine di dimensione 4 che denotiamo con $A^4$ e confrontiamolo formalmente con lo spazio prodotto cartesiano $A^1$x$A^3$ dove $A^1$ e $A^3$ sono essi stessi spazi affini di dimensione 1 e 3.
Ovviamente $A^4$ e $A^1$x$A^3$ sono isomorfi ma possiamo concludere che sono formalmente lo stesso spazio ?
Secondo me no: ad es se prendo un ...
La domanda è:
Vettori non nulli del nucleo di f, dove f è un endomorfismo sono autovettori di f?
Dalla definizione di autovettore, io direi che l’affermazione è falsa, in quanto un autovettore è un cettore non nullo tale che $f(v)=lambda (v)$.
Autovettori sono vettori non nulli del nucleo di $A- lambda I$, cin A matrice associata a f.
È corretto?
Buonasera a tutti!
Avrei bisogno di qualche idea su come poter risolvere questo esercizio, premetto che ultimamente mi sto orientando verso l'Analisi e sono un po' arrugginita in geometria, quindi perdonate i possibili sfondoni
Siano $p_1,...,p_n$ punti distinti di una superficie di Riemann compatta $X$ e $z_1,...,z_n$ punti distinti di $\mathbb{C}$, mostrare che esiste una funzione meromorfa su $X$ che mappa $p_i$ in ...
Salve! Vorrei chiedervi un chiarimento per un dubbio da cui non riesco a sfuggire.
Un esercizio di geometria euclidea mi chiede di verificare che due rette $\alpha$ e $\beta$ sono sghembe e di calcolare la perpendicolare comune.
Per calcolare la perpendicolare comune ho pensato:
dato che la retta deve essere ortogonale a tutte e due le rette $\alpha$ e $\beta$, deve essere parallela a un vettore che è ortogonale a tutte e due le rette(ho calcolato questo ...
Se considero un’applicazione lineare da $RR^n $ in $RR^m$, la matrice associata ad essa, $f(x)=Ax$ è la matrice le cui colonne sono date dalle immagini dei vettori della base di $RR^n$ scritti rispetto alla base di $RR^m$?
È corretto?
Grazie
Salve a tutti! Ho bisogno nuovamente del vostro aiuto sullo svolgimento di una richiesta di un esercizio:
Si consideri nello spazio vettoriale $\RR^4$
il sottospazio vettoriale $\U$ generato dai
vettori $\u = (1, 1, 0, 1), v = (−1, 0, 0, −1)$ e$\w = (0, 2, 0, 0)$.
Sia $\V$ il sottospazio
vettoriale di equazione:
$\{(x+t=0),(y+t=0):}$
1. Stabilire se i vettori $\u, v$ e $\w$ sono linearmente indipendenti.
2. Calcolare la dimensione di $\U$ e ...
Salve, ho un sistema lineare quadrato triangolare superiore, del tipo $Ax=b$, che ammette soluzione unica $(v_1,...,v_n)$ e come esercizio (di cui non ho lo svolgimento) devo dimostrare, usando la dimostrazione per assurdo, che tutti gli elementi della diagonale principale sono diversi da zero.
Quindi, per assurdo suppongo che sulla diagonale principale ci sia almeno un elemento uguale a zero. Considero $k$ come il minimo indice per cui $a_(k,k)=0$, per cui ...
Salve a tutti!
Avrei un problema nel determinare la forma canonica per la forma quadratica presente in questo esericizio:
Sia data rispetto alla base canonica la forma quadratica $\Q: RR^2->RR$ definita
da
$\Q(X= (x, y)) = 6xy$.
1. Determinare la forma bilineare $\beta$ associata a $\Q$.
2. Scrivere la matrice di $\Q$ e calcolarne il rango.
3. Determinare una forma canonica di $\Q$ e scriverne la segnatura.
Per determinare la forma canonica il ...
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