Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti, dovrei risolvere un semplice problema di fisica ma il dubbio che ho è puramente algebrico.
In particolare, dato un vettore $P = (4x,-5z,3y)$, ne dovrei fare il prodotto scalare con i versori della superficie base e laterale di un cilindro.
Per quanto riguarda il versore della superficie base, essendo esprimibile semplicemente in coordinate cartesiane come $(0,0,1)$, non ho problemi. Ho invece dei dubbi nel caso della superficie laterale. In questo caso il versore è ...
Buongiorno, avrei un dubbio da risolvere:
considero $ R^3 $ e tre vettori $ v_1, v_2, v_3 $; devo verificare che sono una base di $ R^3 $.
In base a cosa mi basta verificare che i tre vettori siano linearmente indipendenti, per poi poter dire che sono necessariamente generatori essendo vettori di $ R^3 $ ?
Non capisco che relazione ci sia tra l'essere linearmente indipendenti e l'essere generatori.
Se prendo tre vettori linearmente indipendenti, in uno spazio ...
Ho un dubbio forse stupido sulla formula di Baker-Campbell-Hausdorff. Si ha in generale: \[\exp(A)\exp(B)=\exp(A+B+Z),\] dove \(Z=\frac{1}{2}[A,B]+...\) è la serie dei commutatori annidati. Se invece dovessi partire da \(\exp(A+B)\) e volessi separare l'esponenziale individuando \(\exp A\) e \(\exp B\), qual è la formula corretta?
Ciao a tutti
il polinomio caratteristico di una matrice $AinM_n(F)$ lo abbiamo definito così:
$chi_A(X)=det(X*I_n-A)$
analogamente abbiamo definito il polinomio caratteristico di un endomorfismo $phiinEnd(V)$:
$chi_phi(X)=det(X*I_n-M_B(phi))$
dove $M_B(phi)$ è la matrice associata all'endomorfismo $phi$ rispetto a $B$ base ordinata di $V$. Ho due domande:
1) Da dove vengono queste definizioni? mi sembrano un po' piovute dal cielo e non riesco a farmi un ...
Buonasera,
Ho un dubbio a proposito della topologia compatta-aperta, io l'ho definita così su $C(X, Y) $, come la topologia che ha come prebase tutti i sottoinsiemi
$$W(K, U) =\{f\in C(X, Y) | f(K) \subset U\} $$
al variare di $K$ tra i compatti di $X$ e di $U$ tra gli aperti di $Y$.
A questo punto vorrei definire la topologia compatta-aperta su $C^n(X, Y) $... basta che prendo le ...
Ciao!
E' corretto dire che ad un autovalore corrispondono 1 o più autovettori, mentre ad un autovettore corrisponde uno ed un solo autovalore?
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Studente Anonimo
15 ago 2020, 16:42
Avrei una domanda, ho l'esame a breve, e non capisco come mai questi tre ragionamenti che mi sembrano corretti tutti e tre mi portano a conclusioni differenti. Il ragionamento 3 penso sia errato gli altri penso siano corretti.
Allora volevo calcolarmi il gruppo fondamentale del piano proiettivo meno un punto \(X= \mathbb{R}P^2 \setminus \{ x \} \).
Ragionamento uno: Seifert Van Kampen
Prendo la presentazione poligonale del quadrato \(I^2/\sim \), dove i lati sono partendo dal vertice in basso ...
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Studente Anonimo
10 ago 2020, 21:19
1) Dimostra che il sottospazio del quadrato \(I\times I \) munito della topologia prodotto, formato dai sei segmenti \( \{a\} \times I \) e \( I \times \{ a \} \) con \( a \in \{ 0,1/2,1\} \) è una retrazione di deformazione forte del quadrato privato di 4 punti interni.
Descrivi esplicitamente la retrazione e l'omotopia.
2) Identifica il tipo di omotopia del quadrato privato di quattro punti interni. Non è necessario di dare l'omootpia esplicitamente, ma giustifica le affermazioni basandoti ...
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Studente Anonimo
24 lug 2020, 16:08
Mi si chiede di dimostrare che la sospensione \( \Sigma S^n \approx S^{n+1} \) e che la sospensione iterata \( \Sigma^n S^0 \approx S^n \).
Dimostrato \( \Sigma S^n \approx S^{n+1} \) è immediato che \( \Sigma^n S^0 \approx S^n \).
Le soluzioni mi dicono questa roba qui ma secondo me è sbagliata perché l'applicazione che definisce non passa al quoziente, come invece dice.
Definiamo un'applicazione \( S^n \times I \to S^{n+1} \) definita da \[ (x_0,\ldots, x_n;t) \mapsto ( x_0 \sqrt{1-t^2}, ...
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Studente Anonimo
8 apr 2020, 16:15
Ho letto che dividendo una sfera solida piena in 5 parti queste ultime si possono rimettere insieme per formare due sfere di ugual volume di quella divisa. Come è possibile? Volendo dare una dimostrazione-interpretazione fisico-matematica che cosa devo immaginare? Nel senso: posso prendere un palloncino sferico e riempirlo d'acqua che è omogenea ed incompressibile, ma quando vado a rimettere insieme le parti di acqua non
ottengo proprio il volume iniziale della sfera non divisa? Dunque il ...
Ciaoooo a tutti,
non so se questa è la sezione giusta per questa domanda, spero di sì
ho un problema con una dimostrazione e non so come andare avanti, vi spiego il problema:
Teorema di Steinitz
Sia $X\subset\mathbb{R}^n$ e $p\in\text{int(conv}X)$. Esistono $k\le2n$ punti $x_1,..., x_k\in X$ tali che $p\in\text{int(conv}\{x_1,...,x_k\})$.
E il Lemma:
Sia $P\subset\mathbb{R}^n$ un politopo convesso di vertici $v_1,...,v_k$, allora esistono delle funzioni continue $\phi_i: P\rightarrow\mathbb{R}$ per $i=1,...,k$ tali che ...
Ciao a tutti!
Sto avendo qualche difficoltà col seguente esercizio:
Dimostra che per un endomorfismo \(\displaystyle \Pi : V\rightarrow V \) tale che \(\displaystyle \Pi^2=\Pi \) (proiezione),
\(\displaystyle \text{Ker}(\Pi)\oplus\text{Im}(\Pi)=V \), dove\(\displaystyle \oplus \) indica la somma diretta tra sottospazi.
Cominciamo:
Dalla formula di Grassmann
\(\displaystyle dim(\text{Ker})+dim(\text{Im})=dim(\text{Ker+Im})+dim(\text{Ker}\cap\text{Im}) \).
D'altronde, dal teorema ...
Data l'equazione
$sqrt[(2 + 3 x)^2 (47 - x + x^2)]-sqrt[(-5 + 3 x)^2 (47 - x + x^2)]=7*(2*y+1)$
grafico 1
Come faccio a trovare il punto tangente passante per il punto $x=5/3$ e $y=sqrt(433)/6-1/2$
Nel grafico 2 ho provato per tentativi e dovrebbe essere la retta passante per ($x=5/3$ , $y=sqrt(433)/6-1/2$) ed ($x=2$ , $y=3$)
grafico 2
$sqrt[(2 + 3 x)^2 (47 - x + x^2)]-sqrt[(-5 + 3 x)^2 (47 - x + x^2)]=7*(2*y+1)$
,
$y-(sqrt(433)/6-1/2)=(3-(sqrt(433)/6-1/2))/(2-(5/3))*(x-(5/3))$
Mi aiutereste gentimente?
Salve,vedendo il mio prof di algebra lineare svolgere un esercizio mi è venuto un dubbio atroce.Ma quando consideriamo una matrice che identica uno spazio di applicazioni lineari,piuttosto che considerarla come matrice associata ad un'applicazione lineare,cambia la sua dimensione?Almeno così pare a quanto ho visto
ciao,
ho un dubbio di carattere generale: consideriamo lo spazio affine di dimensione 4 che denotiamo con $A^4$ e confrontiamolo formalmente con lo spazio prodotto cartesiano $A^1$x$A^3$ dove $A^1$ e $A^3$ sono essi stessi spazi affini di dimensione 1 e 3.
Ovviamente $A^4$ e $A^1$x$A^3$ sono isomorfi ma possiamo concludere che sono formalmente lo stesso spazio ?
Secondo me no: ad es se prendo un ...
La domanda è:
Vettori non nulli del nucleo di f, dove f è un endomorfismo sono autovettori di f?
Dalla definizione di autovettore, io direi che l’affermazione è falsa, in quanto un autovettore è un cettore non nullo tale che $f(v)=lambda (v)$.
Autovettori sono vettori non nulli del nucleo di $A- lambda I$, cin A matrice associata a f.
È corretto?
Buonasera a tutti!
Avrei bisogno di qualche idea su come poter risolvere questo esercizio, premetto che ultimamente mi sto orientando verso l'Analisi e sono un po' arrugginita in geometria, quindi perdonate i possibili sfondoni
Siano $p_1,...,p_n$ punti distinti di una superficie di Riemann compatta $X$ e $z_1,...,z_n$ punti distinti di $\mathbb{C}$, mostrare che esiste una funzione meromorfa su $X$ che mappa $p_i$ in ...
Salve! Vorrei chiedervi un chiarimento per un dubbio da cui non riesco a sfuggire.
Un esercizio di geometria euclidea mi chiede di verificare che due rette $\alpha$ e $\beta$ sono sghembe e di calcolare la perpendicolare comune.
Per calcolare la perpendicolare comune ho pensato:
dato che la retta deve essere ortogonale a tutte e due le rette $\alpha$ e $\beta$, deve essere parallela a un vettore che è ortogonale a tutte e due le rette(ho calcolato questo ...
Se considero un’applicazione lineare da $RR^n $ in $RR^m$, la matrice associata ad essa, $f(x)=Ax$ è la matrice le cui colonne sono date dalle immagini dei vettori della base di $RR^n$ scritti rispetto alla base di $RR^m$?
È corretto?
Grazie
Salve a tutti! Ho bisogno nuovamente del vostro aiuto sullo svolgimento di una richiesta di un esercizio:
Si consideri nello spazio vettoriale $\RR^4$
il sottospazio vettoriale $\U$ generato dai
vettori $\u = (1, 1, 0, 1), v = (−1, 0, 0, −1)$ e$\w = (0, 2, 0, 0)$.
Sia $\V$ il sottospazio
vettoriale di equazione:
$\{(x+t=0),(y+t=0):}$
1. Stabilire se i vettori $\u, v$ e $\w$ sono linearmente indipendenti.
2. Calcolare la dimensione di $\U$ e ...
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