Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia $alpha=xdy^^dz+ydx^^dz+zdx^^dy$ una 2-forma su $RR^3$. Siano $X=(xyz, sin(x+y),y^2-z^2)$ e $Y=(1,1,1)$ due campi di vettori, calcolare $alpha(X,Y)$. Successivamente data $beta=dx+dy+dz$ calcolare $alpha^^beta$ e dire se definisce un'orientazione su $RR^3$.
Il mio primo dubbio consiste nel capire cosa si intende per calcolare una 2-forma lungo dei campi. Cioè so che posso identificare ogni 2-forma differenziabile con una funzione $F:chi(RR^3)xxchi(RR^3)rarrC^{infty}(RR^3)$ multilineale e alternata ...

Buongiorno e buon Santo Stefano!
Dovrei riuscire a risolvere questo esercizio:
Data la matrice simmetrica:
$A= ((0,2,-1),(2,0,-1),(-1,-1,2))$
trovare una matrice ortogonale $M$ tale che $M^(-1)AM$ sia diagonale.
Io so che per determinare una matrice $M$ ortogonale tale che $M^(-1)AM$ sia diagonale devo:
1) Determinare gli autovettori di $A$;
2) Determinare una base ortonormale a partire dagli autovettori linearmente indipendenti appena trovati ...

Ciao a tutti dovrei calcolare il piano osculatore della cubica gobba $x(t)=(t,t^2,t^3)$.
La mia idea era di trovare i versori tangenti e normale e trovare l'equazione del piano generato, o in alternativa arrivare a trovare il binormale e considerare lo spazio a lui ortogonale.
Ora questi calcoli vengono inutilizzabili perchè la norma della derivata prima dipende da t.
La soluzione afferma che il binormale è parallelo a $x'\times x''$ ma non riesco a spiegarmi questa formula: il vettore ...

Su $RR^{n+1}$ si fissi $0<v<n+1$ e si definisca il prodotto $ <<x,y>> =-sum_{k=1}^v x_i y_i + sum_{k=v+1}^{n+1}x_i y_i$ e si consideri $M_v={x in RR^{n+1}:<x,x>$$=1}$
Provare che: $M_v$ è un'ipersuperficie diffeomorfa a $RR^v xx S^{n-v}$ dove $S^{n-v}$ è la sfera unità n-v-dimensionale
Nel caso in cui $v=n$ provare che $M_v$ ha 2 componenti connesse diffeomorfe tra loro.
Ho provato che è una ipersuperficie, ho un po' di difficoltà a provare i diffeomorfismi. come potrei ...

Buonasera, ho difficolta nel provare la seguente relazione $V+W=RR^3$, dove
$V=<(1,0,1)^T,(-1,2-1)^T>,$
$W={(x,y,z)^T in RR^3|x+z=y+2z=0}.$
ho determinato la $dim V, dimW, dim(VcapW)$ rispettivamente $2, 1, 0$ quindi, dalla formula di Grassmann mi ricavo la $dim(V+W)=2+1-0=3.$
Fatta questa osservazione, per provare la suddetta relazione mi ricordo che $dim(V+W)=dimRR^3 to V+W=RR^3$ in tal caso avrei terminato l'esercizio oppure, devo verificare la doppia inclusione ?
Buona serata.

Volevo fare un paio di domande a proposito di alcuni esercizi che mi sono ritrovata ad affrontare, ad esempio:
1.Scrivere una matrice 4x4 diagonalizzabile ma non diagonale avente 0 come autovalore di molteplicità algebrica 2
(In questo caso ho pensato al fatto che una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile e quindi ho scritto una matrice che nella diagonale principale ha gli autovalori richiesti e simmetricamente ho aggiunto due numeri per renderla non diagonale. Potevo anche usare una ...

Buongiorno, scrivo qui perchè mentre risolvevo un esercizio sul calcolo degli autovettori mi è sorto un dubbio. In pratica dopo aver trovato gli autovalori, risolvendo il sistema per trovare gli autovettori in base alle operazioni effettuate sulla matrice ottengo un autovettore diverso dal risultato del libro. Mi chiedevo se fosse possibile oppure mi è sfuggito qualcosa.

Buon pomeriggio! Ho un dubbio che non riesco a risolvere.
Se considero una varietà proiettiva liscia di dimensione $n$ ed indico con $\omega_X$ il suo fascio canonico, perché $Ext^n (\mathcal{O}_X, \omega_X) \cong Hom(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)^{\vee}$?
Ho capito che devo usare la dualità di Serre, ma perché il fascio canonico si "confonde" col fascio strutturale?

Questo teorema riguarda quaterne \(p_1,p_2,p_3,p_4\) di polinomi a coefficienti reali, considerati come funzioni da \(\mathbb R\) in sé, che si annullano in \(x=0\) e tali che \(p_1(x) < p_2(x) < p_3(x) < p_4(x)\) per tutti gli \(x\in ]u,0]\), con \(u

Buonasera,
Sul pdf consigliato dalla prof. viene enunciato e dimostrato il teorema dello scambio dopodiché, vengono riportati i seguenti corollari:
A) In uno spazio vettoriale generato da $n$ vettori esistono al più $n$ vettori linearmente dipendenti.
B) Uno spazio vettoriale $V$ è di dimensione infinita se e solo se per ogni intero positivo $m$ esistono $m$ vettori linearmente indipendenti in $V$
C) Ogni ...

Notoriamente, l'insieme di Cantor $C$ è il sottoinsieme di \([0,1]\) costruito a questa maniera: dall'intervallo si rimuove il terzo centrale, ossia il segmento \(\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right]\); a ciascuno dei due pezzi rimanenti si rimuove il terzo centrale, ossia si resta con l'unione
\[\textstyle\left[0,\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac29,\frac13\right] \cup \left[\frac23,\frac79\right] \cup \left[\frac89,1\right]\] e così via, induttivamente, su ogni segmento del ...

Ciao,
vi pongo una questione per me non completamente chiara.
Prendiamo \(\displaystyle \mathbb R^n \) e \(\displaystyle \mathbb R^m \), \(\displaystyle n > m \) quali varieta' differenziabili e consideriamo la mappa differenziabile \(\displaystyle f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m \). Consideriamo il level set \(\displaystyle f^{-1} (q) \) , \(\displaystyle q \in f(\mathbb R^n) \) e assumiamo che \(\displaystyle f \) sia submersion solo su un subset del level set (ovvero la mappa ...

Scrivere la matrice associata, rispetto alla base canonica, alla proiezione ortogonale di $RR^3$ sul sottospazio vettoriale $U$ di equazione $x-y+2z=0$.
Per determinare una base del sottospazio di $RR^3$ devo calcolare una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo formato dalle equazioni del sottospazio. In questo caso l'unica equazione è $x-y+2z=0$.
Risolvo il sistema e trovo che una base del sottospazio è: ...

Ciao a tutti,
premetto che si tratta di domande stupide ma non riesco a capire cosa mi sfugge.
Lavorando nello spazio affine reale $A^4$
1) perché è ovvio che una retta è definita da 3 equazioni?
2) date due rette sghembe allora la dimensione del loro spazio affine congiungente è 3 (questo è perché lo spazio di ogni retta ha dimensione 1 e poi va aggiunto quello che appunto le congiunge, giusto?), perché da questo consegue che lo spazio affine congiungente è definito da una sola ...

Salve a tutti,
a breve avrò l'esame di algebra lineare e facendo alcuni esercizi ho incontrato questo problema che non so come risolvere.
L'esercizio chiede di discutere al variare di a la diagonalizzabilità della matrice, per prima cosa ho trovato il polinomio caratteristico ma svolgendo i calcoli il parametro a scompare.
Quindi negli autovalori trovati non ho a, come dovrei concludere l'esercizio?
Lascio la matrice in questione.
A=$((-a-x,a+1,0),(-a-1,a+2-x,0),(1,-1,2-x))$
Grazie a chi risponderà.

Buonasera, ho dei dubbi su questo esercizio:
sia $A=$$((4,0,0,0),(1,4,0,0),(1,0,4,0),(0,2,1,1))$ una matrice a coefficienti in un campo $F$
Determinare la forma canonica di Jordan di $A$ al variare della caratteristica di $F$.
Non ho ben compreso cosa sia la caratteristica $Char(F)$ e come si fa a determinarla: in particolare, calcolato il polinomio caratteristico $(x-4)^3(x-1)$, non mi è chiaro perchè gli autovalori $1$ e ...

Buonasera, ho un dubbio sul seguente esercizio.
Mi viene chiesto di provare che ogni punto, linea e piano che passi per l'origine in $RR^3$ è uno spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni di $RR^3$.
Mi viene proposto un suggerimento cioè, viene specificato che :
ogni insieme di quel tipo ha la forma $X={a*v+b*w\:\ a,b in R}$ con $v,w in RR^3.$
Osservo che il vettore nullo di $RR^3$ è $0_(RR^3)=(0,0,0)^T.$
Ora si dovrebbero far variare opportunamente i vettori ...

[size=85]Buonasera, avrei un dubbio inerente al sottospazio generato, in particolare quando i vettori sono funzioni.
Mi spiego meglio, considerando lo spazio vettoriale delle funzioni da $RR$ in $RR$ il quale lo indico con $F_(RR)$ inoltre, considero lo $Span(f_1, f_2)$ dove $f_1, f_2, f in F_(RR)$.
Ora chiedere $f in Span(f_1, f_2)$ equivale a risolvere $f=af_1+bf_2, forall x in RR ,$ cioè occorre determinare gli scalari $a,b$ per cui viene verificata l'equazione ...

Ciao a tutti, tra poco ho l'esame di geometria su applicazioni lineari e spazi affini . Mi sono imbattuta in questo esercizio e avrei bisogno di una mano perché non ne vengo proprio a capo:
"Nello spazio affine reale sono assegnati i punti A(1,0,0) B(0,1,0) e C(0,0,1). Definire l'equazione del piano π per il punto C parallelo al piano xy, l'equazione della retta r=AB , l'equazione del piano
β=r U C "
Grazie mille se riuscite a darmi una mano, più che altro sono confusa su come trovare ...
Salve a tutti,
Mi chiedevo quali potessero essere le applicazioni sia teoriche che pratiche di questi bellissimi spazi vettoriali dove non funziona niente di mentalmente sano. Io ho potuto osservarne le applicazioni solo in termini di esempi/controesempi solo nella matematica. Però sarei veramente curioso di capire come può essere utile in qualche branca scientifica il fatto che si possano costruire forme bilineari non degeneri e non definite che non ammettono vettori isotropi o che non sia ...