Vettori e pseudovettori, scalari e pseudoscalari.
Ciao 
, vado cercando un aiuto per capire un dubbio nato dallo studio di alcune entità fisiche di cui non riesco bene a capire formalmente il concetto. Si tratta, in primis, dei vettori e pseudovettori (e di conseguenza dei concetti di scalare e pseudoscalare).
Ho letto varie fonti ma sul mio libro non ne parla, quindi purtroppo mi limito al web, perché non so bene dove cercare. Ad ogni modo:
da quanto ho capito il problema nasce quando faccio una riflessione degli assi e tengo l'entità "vettore" in studio fissa (cioè cambio sdr per riflessione e non semlice traslazione e rotazione). Non capisco però in che senso cambino o non cambino segno le due entità sotto questi cambiamenti degli assi.
Poi ho trovato questo link: https://library.****.com/domanda/fi ... 15587.html e noto che qui, invece, non riflette gli assi ma riflette proprio l'entità vettore e mostra come per riflessione di esso esca ed entri dallo specchio.
Insomma il dubbio è su due piani
1) cosa diamine sono vettori e pseudovettori
2) come si uniscono i due concetti di riflettere il sdr e non il vettore e invece poter riflettere il vettore mantenendo gli assi fissi prima e dopo riflessione? Capisco che in qualche modo sono problemi simmetrici, ma non riesco bene a unirli.
Grazie a chi mi aiuterà a trovar la retta via
, vado cercando un aiuto per capire un dubbio nato dallo studio di alcune entità fisiche di cui non riesco bene a capire formalmente il concetto. Si tratta, in primis, dei vettori e pseudovettori (e di conseguenza dei concetti di scalare e pseudoscalare).Ho letto varie fonti ma sul mio libro non ne parla, quindi purtroppo mi limito al web, perché non so bene dove cercare. Ad ogni modo:
da quanto ho capito il problema nasce quando faccio una riflessione degli assi e tengo l'entità "vettore" in studio fissa (cioè cambio sdr per riflessione e non semlice traslazione e rotazione). Non capisco però in che senso cambino o non cambino segno le due entità sotto questi cambiamenti degli assi.
Poi ho trovato questo link: https://library.****.com/domanda/fi ... 15587.html e noto che qui, invece, non riflette gli assi ma riflette proprio l'entità vettore e mostra come per riflessione di esso esca ed entri dallo specchio.
Insomma il dubbio è su due piani
1) cosa diamine sono vettori e pseudovettori
2) come si uniscono i due concetti di riflettere il sdr e non il vettore e invece poter riflettere il vettore mantenendo gli assi fissi prima e dopo riflessione? Capisco che in qualche modo sono problemi simmetrici, ma non riesco bene a unirli.
Grazie a chi mi aiuterà a trovar la retta via
Risposte
Se $V$ è uno spazio vettoriale euclideo esiste un isomorfismo \(\lceil-\rceil : V\cong \bigwedge^1V\cong \bigwedge^{d-1}V\) se $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione $d$. L'immagine di un vettore \(v\in V\) mediante questo isomorfismo si chiama uno "pseudovettore".
Questa identificazione è quella che ti permette di fare il prodotto esterno di due vettori \(u,v\in V\), ottenendo un elemento \(u\land v \in \bigwedge^2 V\), e di identificarlo però a un altro vettore \(\lceil u\land v\rceil \in V\) mediante un isomorfismo.
Il motivo per cui questo è uno pseudovettore e non un vettore è la maniera in cui trasforma sotto un cambio di coordinate (che chiaramente, se $V$ è euclideo, va preso nel gruppo ortogonale): se \(R \in O(V)\), si ha
\[
\lceil Ru\land Rv\rceil = (\det R)\cdot R(\lceil u\land v\rceil)
\] e come vedi bene, questo è uguale a \(R(\lceil u\land v\rceil)\) se (e solo se) $R$ è ortogonale speciale.
Questa identificazione è quella che ti permette di fare il prodotto esterno di due vettori \(u,v\in V\), ottenendo un elemento \(u\land v \in \bigwedge^2 V\), e di identificarlo però a un altro vettore \(\lceil u\land v\rceil \in V\) mediante un isomorfismo.
Il motivo per cui questo è uno pseudovettore e non un vettore è la maniera in cui trasforma sotto un cambio di coordinate (che chiaramente, se $V$ è euclideo, va preso nel gruppo ortogonale): se \(R \in O(V)\), si ha
\[
\lceil Ru\land Rv\rceil = (\det R)\cdot R(\lceil u\land v\rceil)
\] e come vedi bene, questo è uguale a \(R(\lceil u\land v\rceil)\) se (e solo se) $R$ è ortogonale speciale.
Ciao, grazie per il tuo chiaro intervento. Non avrei mai capito formalmente senza leggerti perché ho sempre trovato spiegazioni raffazzonate.
Vorrei chiederti solo due cosette, fermo restando che formalmente mi torna vorrei cercare di mettere a posto l'intuizione.
1) Non riesco bene a capire tramite la spiegazione formale come mostrare che un vettore guardato allo specchio se diretto verso lo specchio allora esce nella sua immagine riflessa. Mentre uno pseudovettore guardato allo specchio mantiene la sua diezione. Questo perché guardare allo specchio non è propriamente invertire gli assi, ad esempio nel link che indicavo prende l'asse x ortogonale allo specchio ed uscente, se il vettore è diretto verso x negative, nel momento in cui lo guardo allo specchio esce ed è diretto verso x positive. Prende cioè il SDR non riflesso e guarda il vettore riflesso in qeusto SDR, mentre formalmente mi pare che io inverto il sistema di riferimento e non il vettore.
Il tutto associato alla frase: i pseudovettori sono quantità che si comportano in questo modo (cioè come un vettore per rotazioni, in modo opposto per inversioni)
Insomma ad intuizione non ci sono proprio!
2) Vorrei approfondire questi concetti non solo nel caso specifico in esame e vorrei chiederti in che corso è affrontato nella LT in matematica questo argomento. Così posso approfondire, che se ho ben capito è algebra esterna, ma spulciando nel piano studi triennale non l'ho trovata come argomento e in questi giorni ho cercato molto per capire quanto mi hai spiegato prima.
Vorrei chiederti solo due cosette, fermo restando che formalmente mi torna vorrei cercare di mettere a posto l'intuizione.
1) Non riesco bene a capire tramite la spiegazione formale come mostrare che un vettore guardato allo specchio se diretto verso lo specchio allora esce nella sua immagine riflessa. Mentre uno pseudovettore guardato allo specchio mantiene la sua diezione. Questo perché guardare allo specchio non è propriamente invertire gli assi, ad esempio nel link che indicavo prende l'asse x ortogonale allo specchio ed uscente, se il vettore è diretto verso x negative, nel momento in cui lo guardo allo specchio esce ed è diretto verso x positive. Prende cioè il SDR non riflesso e guarda il vettore riflesso in qeusto SDR, mentre formalmente mi pare che io inverto il sistema di riferimento e non il vettore.
Il tutto associato alla frase: i pseudovettori sono quantità che si comportano in questo modo (cioè come un vettore per rotazioni, in modo opposto per inversioni)
Insomma ad intuizione non ci sono proprio!
2) Vorrei approfondire questi concetti non solo nel caso specifico in esame e vorrei chiederti in che corso è affrontato nella LT in matematica questo argomento. Così posso approfondire, che se ho ben capito è algebra esterna, ma spulciando nel piano studi triennale non l'ho trovata come argomento e in questi giorni ho cercato molto per capire quanto mi hai spiegato prima.
Una spiegazione intuitiva del significato geometrico degli pseudovettori, che però non lascia spazio al poco rigore, si trova in un bellissimo libretto di Lounesto sulla geometria di Clifford in bassa dimensione
https://www.cambridge.org/core/books/cl ... 2BB5617021
a te interessano i primi tre capitoli, ma anche le trasformazioni di Lorentz e tutto il resto ti piaceranno moltissimo.
https://www.cambridge.org/core/books/cl ... 2BB5617021
a te interessano i primi tre capitoli, ma anche le trasformazioni di Lorentz e tutto il resto ti piaceranno moltissimo.
Grazie mille! Lo faccio mio
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