Vettori linearmente indipendenti

[martic01]

Ciao a tutti, non riesco a capire come si risolve questo esercizio:

Per quali valori di k i vettori
u = (-2, k, -1)
v = (k+3, -2, 2)
w = (2, 1, -k)
sono linearmente indipendenti?

Grazie mille!

[gugo82]

Cosa significa che tre vettori sono linearmente indipendenti?

[martic01]

Ho provato a impostare il sistema au + bv + cw = 0 (a, b e c generici numeri reali) basandomi sulla definizione di vettori linearmente indipendenti, il problema è che poi mi ritrovo un sistema che non riesco a risolvere.
In esercizi analoghi ho usato lo stesso procedimento e, dato che una delle tre equazioni del sistema mi usciva senza k nei coefficienti di a, b e c, riuscivo a sostituire nelle altre e a ritrovarmi ad esempio un'equazione del tipo (k + 2)a = 0, da cui riuscivo a escludere i valori di k per cui il coefficiente si annullava, e di conseguenza per qualunque altro k si annullavano a, b e c e cioè i vettori erano linearmente indipendenti.
Siccome in questo esercizio non sono riuscita a usare questo metodo, chiedevo se ci fosse un altro modo di procedere.

[Bokonon]

"marts01":Ho provato a impostare il sistema au + bv + cw = 0 (a, b e c generici numeri reali) basandomi sulla definizione di vettori linearmente indipendenti

Ottimo. Quindi hai ottenuto un sistema omogeneo del tipo $Ax=0$ dove A è una matrice le cui colonne sono i tre vettori dati e $x=$.

"marts01":il problema è che poi mi ritrovo un sistema che non riesco a risolvere.

E' chiaro che se i tre vettori sono lin. indip., allora l'unica soluzione del sistema è quella banale per cui $a=b=c=0$ o, in altre parole, $dim Ker(A)=0$.
L'obiettivo quindi è trovare valori di k per cui $dim Ker(A)!=0$, ovvero dei valori per cui la matrice A è singolare.
Puoi usare Gauss-Jordan oppure imporre che $det(A)!=0$