Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti,
volevo sottoporvi questo esercizio che ho risolto per capire se ho fatto errori.
$S in \mathbb(A)^3$ in $\mathbb(C)$ superficie avente equazione $(x^2+y^2+z^2-2)^2-4(1-x^2)(1-y^2)=0$.
a) Studiarne l'irriducibilità
b) Determinare gli eventuali punti singolari e le rispettive molteplicità.
a) Ho dei dubbi sull'irriducibilità perchè noto che il polinomio dato è già fattorizzato ma siccome non vorrei fare errori (e probabilmente li ho fatti) allora mi complico la vita effettuando i conti e ...
Salve,
sto riscontrando qualche problema a trovare una soluzione "veloce" a questo problema:
Sia V lo spazio vettoriale delle matrici 2x2 a coefficienti in R. Determinare gli autovalori e i relativi autospazi dell’endomorfismo $ f $ in V:
$ f(X)=AXA^-1 $
dove $ A=( ( 1 , 2 ),( 0 , 1 ) ) $
La soluzione più naturale che mi viene in mente è quella di considerare la matrice B associata all'applicazione lineare $ f $; ovvero quella ha come colonne:
\( B^i=F_\varepsilon ...
Ho un dubbio più che concettuale è di linguaggio. Mi è capitato per puro caso un esercizio del tipo
Trova la matrice di cambiamento dalla base \(\mathcal B\) alla base \(\mathcal B'\).
A ma vien da dire che una siffatta matrice \(A\) è tale che \[c_{\mathcal B'}(v) = Ac_\mathcal B(v)\] dove \(c_\mathcal B(v)\) è il vettore delle coordinate rispetto alla base \(\mathcal B\) di \(v\) e \(c_{\mathcal B'}(v)\) è il vettore delle coordinate dello stesso vettore rispetto ...
Salve, il testo è "in $ tilde(A) $3(C) si determini il punto di intersezione delle rette $ r: y+2z-3=0=3y-z+4 $ ed $ s: y-z=0=5y+z-2 $ " la soluzione è $ Xoo =["(1,0,0,0)] $
lo svolgimento che propongo è questo, sostituire con coordinate omogenee:
$ { ( x2+2x3-3x4=0 ),( 3x2-x3+4x4=0 ),( x2-x3=0 ),( 5x2+x3-2x4=0 ):} $
dalla 3 equazione ricavo $ x2=x3 $
sostituisco
$ { ( x3+2x3-3x4=0 ),( 3x3-x3+4x4=0 ),( x2=x3 ),( 5x3+x3-2x4=0 ):} $
e ricavo
$ { ( x3=x4 ),( - ),( x2=x3 ),( - ):} $
ora
$ { ( - ),( 2x4=0 ),( - ),( - ):} $
e quindi:
$ { ( x3=0 ),( x4=0 ),( x2=0 ):} $
P.S ho notato che risulta dalla soluzione x=1, ma non avendo nessuna x ...
Ciao Sergio
In che senso $S_(n-i)$ è la somma dei minori?
Salve a tutti. Ho scritto per rivangare un thread che avevo postato alcuni mesi fa sugli assiomi di hilbert ed il principio di induzione: https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=198749.
Il punto era (brevemente) se posso fare geometria con gli assiomi di hilbert senza il principio di induzione. In particolare quest'ultimo sembra necessario quando devo introdurre i multipli di un segmento ed in altre disparate occasioni come ad esempio la dimostrazione dell'incommensurabilità delle diagonale del quadrato. Con gli assiomi di ...
Buongiorno!
Avrei bisogno di una mano con un esercizio di algebra lineare sugli endomorfismi diagonalizzabili.
La traccia è la seguente: Sia φ un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione n. Supponiamo che φ abbia n autovalori distinti. Dimostrare che esiste un vettore v ∈ V tale che l’insieme { $ v,varphi (v), varphi ^2 (v),... ,varphi ^(n-1)(v) $ } sia una base di V .
Io so che, avendo n autovalori distinti, esiste una base di autovettori, tale che la matrice associata a $ varphi $ rispetto a tale base è ...
Buonasera a tutti.
Oggi scrivo qui perchè ho disperato bisogno di aiuto con questo esercizio, dato che lunedì avrò un esame di algebra e geometria lineare su tale argomento.
Il testo è:
Dato il sottospazio U = [formule][formule]{(x, y, z, t) ∈ R^4| x = y + z, z = x + t}, trovare U⊥.
Scrivere il vettore(1, 0, 0, 0) come somma v1 + v2, dove v1 ∈ U e v2 ∈ U⊥.
[Risp.: U ha base (1, 1, 0, −1),(0, −1, 1, 1)
e quindi U⊥ = {x + y = t, y = z + t}, v1 =1/5(3, 1, 2, −1), v2 =1/5(2, −1, −2, 1)].
La base ...
\( \newcommand{\pt}[3]{\Bigl(\begin{smallmatrix}#1\\#2\\#3\end{smallmatrix}\Bigr)} \)Ciao. Trovare tutte le basi di \( \mathbb Q^3 \) contenute in \( E = \left\{\pt{2}{-3}{0},\pt{1}{-2}{1},\pt{1}{1}{0},\pt{0}{-1}{4}\right\}\subset\mathbb Q^3 \), dove \( \mathbb Q^3 \) è un \( \mathbb Q \)-spazio vettoriale.
Trovare una base è banale: dato un qualsiasi sottoinsieme finito \( E \) di uno spazio vettoriale, se esso contiene almeno un vettore non nullo \( l_1 \), l'insieme ...
Buongiorno a tutti!
Ho letto che il prodotto topologico di spazi topologici completamente regolari è anch'esso uno spazio topologico completamente regolare.
Con spazio topologico completamente regolare intendo: uno spazio topologico $(X,T)$ tale che, comunque fissati un suo chiuso $C$ e un suo punto $x_0 \in X \setminus C$, posso trovare una funzione $f: X \to [0,1]$ continua in $(X,T)$ e tale che $f(x_0)=0$ e $f(C)=\{1\}$.
Il problema è che non riesco ...
Salve,
sto cercando di risolvere questo esercizio
In $\mathbb(P)^2$ in $\mathbb(C)$ con coordinate omogenee $(x_0 : x_1 : x_2)$ sia $C$ la curva algebrica piana avente equazione $x_0^2x_1^3-x_0^2x_1x_2^2+x_0^2x_1^2x_2-x_0^2x_2^3+x_1x_2^4=0$
(a) Determinare i punti singolari di $C$, le loro molteplicità e i rispettivi coni tangenti.
(b) Determinare, se esistono, rette passanti per $O = (1 : 0 : 0)$ e tangenti a $C$ in due punti distinti.
Per calcolare i punti singolari calcolo le derivate ...
Ciao. Vale in generale che data una funzione \( f\colon X\to S^\prime \) di un generatore \( X \) di un semigruppo \( S \) in un semigruppo \( S^\prime \), se esiste un omomorfismo \( \tilde f\colon S\to S^\prime\) tale che
[tex]\xymatrix{X\ar[dr]_{f}\ar@{^{(}->}[r]^{\iota_X} & S\ar[d]_{\tilde f}\\ & S^\prime}[/tex]
commuti, allora \( \tilde f \) è unico, dove \( \iota_X\colon X\to S \) è l'applicazione di inclusione. In altre parole: se c'è, un omomorfismo \( S\to S^\prime \) che ristretto a ...
Ciao
Ho il seguente vero/falso:
Ogni \(A \in \mathbf{Mat}_\mathbb{R}(2, 2)\) tale che \(A^2+A+I=0\) è diagonalizzabile su \(\mathbb R\).
Dico che è falsa. Mi costruisco una matrice \(A\) del tipo \(2 \times 2\) che abbia come polinomio caratteristico \(x^2+x+1\) per due ragioni:
1. per il teorema di Cayley-Hamilton \(A^2+A+I=O\)
2. ma \(x^2+x+1\) non ha zeri in \(\mathbb R\), e quindi \(A\) non è diagonalizzabile lì dentro.
Visto che il coefficiente del termine di ...
Salve a tutti,
sto cercando di svolgere questo esercizio
Sia $h in \mathbb{R}$ un parametro e sia
$A_h = ((h,0,h,0),(0,h,h,1),(h,h,h,h),(0,1,h,h)) in R^(4,4)$ .
Determinare la segnatura di $A_h$ al variare di $h$.
Sto cercando di risolverlo mediante la diagonalizzazione. Il mio prof odia il sistema dei minori principali quindi, sebbene sia il più "semplice" ho deciso di usarlo solo in casi disperati ed imparare gli altri.
Procedo a calcolare la base ortogonale. Considero il ...
Posto su un piano un riferimento cartesiano di centro O intorno al quale il punto A ruota con distanza 227,9 (Circonferenza) mentre un altro punto, B è fisso con distanza 21,2 da O.
La distanza AB è data da Carnot o Teorema dei coseni, mediante l’angolo α e le distanze OA e OB.
\( \overline{AB^2}=\overline{OA^2}+\overline{OB^2}-2\ \overline{OA}\ \overline{OB} \cos \alpha \)
Si indicano alcuni valori (a caso) di AB:
Tabella delle distanze AB in funzione di α°
\(\newcommand\rr{\mathbb R}\)Sto facendo uno degli esercizi sui tutorati, sul quale vorrei un riscontro.
Sia \(\{e_1, e_2, e_3, e_4\}\) la base standard di \(\rr^4\). Sia \(L : \rr^4 \to \rr^4\) l'applicazione lineare tale che \[L(e_1) = e_1, L(e_2) = 0, L(e_3) = e_2, L(e_4) = e_3.\]
1. Scrivere la matrice associata a \(L\) rispetto alle basi standard in parenza e in arrivo.
2. Determinare la dimensione dell'immagine di \(L\) e una base del nucleo di \(L\).
3. Scrivere la matrice ...
Stavo pensando alla domanda sul contare le flag nel caso di spazio vettoriale finito (fatta qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=204205) e mi è venuto in mente un modo in cui si potrebbe procedere.
Intanto concordiamo le definizioni:
Dato un $k$-spazio vettoriale $V$ (nota)[nota]di dimensione al più numerabile, come mi ha fatto notare arnett[/nota]
Una flag è una successione al più numerabile e strettamente crescente di sottospazi vettoriali che parte da $0$ e "finisce" ...
Ciao, ho davanti questo esercizio in cui usando la definizione di applicazione lineare bisogna
capire se la seguente, è un' applicazione lineare o no.
$\psi$: $C^oo$($RR$) $\to$ $C^oo$($RR$)
$\psi$ ($f (x)$)=($f(x)^{\prime}$- $x*f(x)^{\prime}' $)
Per risolverlo so di dover verificare:
1. che $\psi$(0)=0
2. $\psi$($f(x)^1$ + $f(x)^2$) = ...
Ciao. Più che una domanda ho solo una curiosità sulla "notazione" Perché, quando si enuncia che prendere l'immagine di un vettore tramite un'applicazione lineare e moltiplicare opportune matrici sono in realtà la stessa operazione, si sente il termine "azione sulle coordinate" (sul libro che sto usando ora, che è il Kostrikin, e - credo - anche sulle dispense del Cailotto)? Quando ho visto per la primissima volta le matrici associate no, ma ora so più o meno che cosa si intende con "azione di ...
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