Geometria proiettiva
Volevo aprire un argomento di cui ho iniziato ad occuparmi da meno di una settimana e che nonostante l'impegno nel seguire le lezioni, mi rimane profondamente oscuro.
Considerato uno spazio proiettivo $P(V):=((V^*)/~) = {\[v]_~ \|\ vinV^*}$ intendendo quindi l'insieme di tutte le classi di equivalenza tali che: $[v]_~:={yinV^* | EElambdainK^*\:\ y=lambdax}$
Mi è stato detto che gli elementi di $P(V)$ si chiamano "punti" e che questi "punti" vengono rappresentati da $v$. Cioè chiamato $Q$ un generico "punto", $Q=[v]_~\={lambdav | lambdainK^*}$
DOMANDA 1) esiste un motivo per cui gli elementi vengono chiamati "punti"? Io vedo solo che $Q$ è l'insieme dei vettori linearmente dipendenti da $v$, sul piano puramente concettuale non capisco dove sia la somiglianza con il concetto di "punto" visto nella geometria affine (quello che intuitivamente abbiamo tutti)...
DOMANDA 2) Perchè $dimP(V)=dimV-1$?
Passiamo ai sottospazi proiettivi...
Dato $alpha=P(W)subP(V)$, se considero la surgezione canonica $pi\:\X\->X/~$.
Allora si ha che: $alpha={pi(w)\|\winW^*}=pi(W^*)$
Ora per spiegare il perchè ed il percome un punto $P=[v]$ appartenga al sottospazio $alpha$ mi trovo ad affrontare un nuovo dubbio.
$\P\inalpha\harr\[v]inP(W)\harr\[v]inpi(W^*)\harr\pi(v)inpi(W^*)\harr\vinpi^(-1)(pi(W^*))\harr\vinW^*$
DOMANDA 3)Perchè questo papiro? Mi sembra ovvio che se $P=[v]\inalpha$ allora $vinW^*$. E'già scritto nella definizione di $P(W)$ che $w$ deve appartenere a $W^*$!
DOMANDA 4)Vengono usate alcune proprietà degli insiemi saturi( $pi^(-1)(pi(W^*))=W^*$ ).
$W$ è saturo rispetto a $~$ perchè la classe di equivalenza $[w]_(~)={lambdaw\|\lambdainK^*} \in\ W$ infatti $lambdawinW$.
Quindi tutti gli spazi vettoriali associati ad uno spazio proiettivo sono saturi?
DOMANDA 5) Nella definizione di spazio proiettivo intervengono due elementi:
- Lo spazio vettoriale;
- la relazione di equivalenza $~$;
$~$ è una relazione di equivalenza su $V^*$ t.c $AAx,yinV^* \:\x~y\harr\EElambdainK^* | x=lambday$
E' forse l'unica relazione di equivalenza su cui si appoggia la definizione di spazio proiettivo? Ne esistono altre?
(Nel caso in cui questa fosse veramente l'unica allora la risposta alla DOMANDA 4 è banalmente si).
Grazie
Considerato uno spazio proiettivo $P(V):=((V^*)/~) = {\[v]_~ \|\ vinV^*}$ intendendo quindi l'insieme di tutte le classi di equivalenza tali che: $[v]_~:={yinV^* | EElambdainK^*\:\ y=lambdax}$
Mi è stato detto che gli elementi di $P(V)$ si chiamano "punti" e che questi "punti" vengono rappresentati da $v$. Cioè chiamato $Q$ un generico "punto", $Q=[v]_~\={lambdav | lambdainK^*}$
DOMANDA 1) esiste un motivo per cui gli elementi vengono chiamati "punti"? Io vedo solo che $Q$ è l'insieme dei vettori linearmente dipendenti da $v$, sul piano puramente concettuale non capisco dove sia la somiglianza con il concetto di "punto" visto nella geometria affine (quello che intuitivamente abbiamo tutti)...
DOMANDA 2) Perchè $dimP(V)=dimV-1$?
Passiamo ai sottospazi proiettivi...
Dato $alpha=P(W)subP(V)$, se considero la surgezione canonica $pi\:\X\->X/~$.
Allora si ha che: $alpha={pi(w)\|\winW^*}=pi(W^*)$
Ora per spiegare il perchè ed il percome un punto $P=[v]$ appartenga al sottospazio $alpha$ mi trovo ad affrontare un nuovo dubbio.
$\P\inalpha\harr\[v]inP(W)\harr\[v]inpi(W^*)\harr\pi(v)inpi(W^*)\harr\vinpi^(-1)(pi(W^*))\harr\vinW^*$
DOMANDA 3)Perchè questo papiro? Mi sembra ovvio che se $P=[v]\inalpha$ allora $vinW^*$. E'già scritto nella definizione di $P(W)$ che $w$ deve appartenere a $W^*$!
DOMANDA 4)Vengono usate alcune proprietà degli insiemi saturi( $pi^(-1)(pi(W^*))=W^*$ ).
$W$ è saturo rispetto a $~$ perchè la classe di equivalenza $[w]_(~)={lambdaw\|\lambdainK^*} \in\ W$ infatti $lambdawinW$.
Quindi tutti gli spazi vettoriali associati ad uno spazio proiettivo sono saturi?
DOMANDA 5) Nella definizione di spazio proiettivo intervengono due elementi:
- Lo spazio vettoriale;
- la relazione di equivalenza $~$;
$~$ è una relazione di equivalenza su $V^*$ t.c $AAx,yinV^* \:\x~y\harr\EElambdainK^* | x=lambday$
E' forse l'unica relazione di equivalenza su cui si appoggia la definizione di spazio proiettivo? Ne esistono altre?
(Nel caso in cui questa fosse veramente l'unica allora la risposta alla DOMANDA 4 è banalmente si).
Grazie
Risposte
"m_2000":Un motivo è che lo spazio proiettivo \(\mathbb{P}(V)\) su uno spazio vettoriale topologico \(V\) è in maniera naturale uno spazio topologico (con la topologia quoziente) e in effetti quando \(V\) è uno spazio vettoriale su \(\mathbb R\) o su \(\mathbb C\), che sono i casi più studiati, è anche una varietà liscia (e compatta, e con altre proprietà sfiziose quando è complesso o reale di dimensione dispari). Anche in generale, anche quando lo spazio vettoriale non è reale o complesso, gli spazi proiettivi sono spazi topologici: sono varietà algebriche.
DOMANDA 1) esiste un motivo per cui gli elementi vengono chiamati "punti"? Io vedo solo che $Q$ è l'insieme dei vettori linearmente dipendenti da $v$, sul piano puramente concettuale non capisco dove sia la somiglianza con il concetto di "punto" visto nella geometria affine (quello che intuitivamente abbiamo tutti)...
Gli spazi reali o complessi tuttavia sono più studiati perché si ottengono con modelli piuttosto espliciti come quozienti di sfere.
DOMANDA 2) Perchè $dimP(V)=dimV-1$?Per definizione di cosa significa "dimensione" in uno spazio proiettivo.
DOMANDA 3)Perchè questo papiro? Mi sembra ovvio che se $P=[v]\inalpha$ allora $vinW^*$. E'già scritto nella definizione di $P(W)$ che $w$ deve appartenere a $W^*$!Piuttosto la domanda è, perché è apparso il duale di $W$?
E' forse l'unica relazione di equivalenza su cui si appoggia la definizione di spazio proiettivo? Ne esistono altre?Quali altre? Perché ce ne dovrebbero essere altre?
"solaàl":Un motivo è che lo spazio proiettivo \(\mathbb{P}(V)\) su uno spazio vettoriale topologico \(V\) è in maniera naturale uno spazio topologico (con la topologia quoziente) e in effetti quando \(V\) è uno spazio vettoriale su \(\mathbb R\) o su \(\mathbb C\), che sono i casi più studiati, è anche una varietà liscia (e compatta, e con altre proprietà sfiziose quando è complesso o reale di dimensione dispari). Anche in generale, anche quando lo spazio vettoriale non è reale o complesso, gli spazi proiettivi sono spazi topologici: sono varietà algebriche.
[quote="m_2000"]
DOMANDA 1) esiste un motivo per cui gli elementi vengono chiamati "punti"? Io vedo solo che $Q$ è l'insieme dei vettori linearmente dipendenti da $v$, sul piano puramente concettuale non capisco dove sia la somiglianza con il concetto di "punto" visto nella geometria affine (quello che intuitivamente abbiamo tutti)...
Gli spazi reali o complessi tuttavia sono più studiati perché si ottengono con modelli piuttosto espliciti come quozienti di sfere.
[/quote]
Aggiungerei che, quando si pensa ad uno "spazio" in senso generale i suoi elementi vengono chiamati "punti". Anche se $X$ è uno spazio topologico qualsiasi i suoi elementi sono detti punti.
DOMANDA 3)Perchè questo papiro? Mi sembra ovvio che se $P=[v]\inalpha$ allora $vinW^*$. E'già scritto nella definizione di $P(W)$ che $w$ deve appartenere a $W^*$!Piuttosto la domanda è, perché è apparso il duale di $W$?
Con la simbologia $W^*$ intendo $W-{0_W}$. Volevo scrivere W^* ma evidentemente l'asterisco si trasforma in un puntino. Avrei dovuto specificarlo prima.
E' forse l'unica relazione di equivalenza su cui si appoggia la definizione di spazio proiettivo? Ne esistono altre?Quali altre? Perché ce ne dovrebbero essere altre?[/quote]
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