Distanza in spazi topologici
Ciao a tutti, ho due 2 dubbi (forse banali)su questo argomento:
"distanza da un sottoinsieme in uno spazio topologico $(X,d)$
sia $Z sube X$ sottoinsieme: definiamo $d_Z: X->RR$ come $x-> Inf{d(x,z)| z in Z}$
ciò che non mi è chiaro, nonostante la dimostrazione già fatta a lezione, è perchè si posso dire ( quasi ad occhio) che $d_Z(x)=0 <=> x in \bar{Z}$.
infatti ho pensato che $Z sube \bar{Z}$ e dunque ogni $z in Z$ appartiene anche a $\bar{Z}$ (corretto?); ma poi perchè allora, se $x in \bar{Z}$ si ha che $d_Z(x)=0$ e viceversa? non riesco proprio ad immaginare la situazione...
l'altro dubbio che ho è il seguente: per dimostrare che $d_Z$ è continua si vuole far vedere che $|d_Z(x)-d_Z(y)|<=d(x,y)$ e fin qui ok! ma perchè "per simmetria" $|d_Z(x)-d_Z(y)|<=d(x,y) <=> d_Z(y)-d_Z(x)<=d(x,y)$ ? per quale motivo il modulo scompare senza sapere nulla su $x$ e $y$?
grazie
"distanza da un sottoinsieme in uno spazio topologico $(X,d)$
sia $Z sube X$ sottoinsieme: definiamo $d_Z: X->RR$ come $x-> Inf{d(x,z)| z in Z}$
ciò che non mi è chiaro, nonostante la dimostrazione già fatta a lezione, è perchè si posso dire ( quasi ad occhio) che $d_Z(x)=0 <=> x in \bar{Z}$.
infatti ho pensato che $Z sube \bar{Z}$ e dunque ogni $z in Z$ appartiene anche a $\bar{Z}$ (corretto?); ma poi perchè allora, se $x in \bar{Z}$ si ha che $d_Z(x)=0$ e viceversa? non riesco proprio ad immaginare la situazione...
l'altro dubbio che ho è il seguente: per dimostrare che $d_Z$ è continua si vuole far vedere che $|d_Z(x)-d_Z(y)|<=d(x,y)$ e fin qui ok! ma perchè "per simmetria" $|d_Z(x)-d_Z(y)|<=d(x,y) <=> d_Z(y)-d_Z(x)<=d(x,y)$ ? per quale motivo il modulo scompare senza sapere nulla su $x$ e $y$?
grazie
Risposte
A volte (per esempio, adesso) per dimostra che \(p\iff q\) è utile dimostrare che \(\lnot p\iff \lnot p\); in particolare, se \(x\) non sta in \(\bar Z\), esiste un chiuso \(C\) che contiene \(x\) ma non \(Z\); wlog questo chiuso è una palla di centro x, disgiunta da \(\bar Z\), e quindi la distanza d \(x\) da \(Z\) non può essere minore della distanza di \(C\) da \(\bar Z\), che è positiva.
Viceversa, se la distanza di x da Z è positiva, trova un chiuso che contiene, eccetera eccetera.
Viceversa, se la distanza di x da Z è positiva, trova un chiuso che contiene, eccetera eccetera.
"solaàl":
A volte (per esempio, adesso) per dimostra che \(p\iff q\) è utile dimostrare che \(\lnot p\iff \lnot p\); in particolare, se \(x\) non sta in \(\bar Z\), esiste un chiuso \(C\) che contiene \(x\) ma non \(Z\); wlog questo chiuso è una palla di centro x, disgiunta da \(\bar Z\), e quindi la distanza d \(x\) da \(Z\) non può essere minore della distanza di \(C\) da \(\bar Z\), che è positiva.
Viceversa, se la distanza di x da Z è positiva, trova un chiuso che contiene, eccetera eccetera.
Sisi la dimostrazione completo la possiedo.
Ciò che non mi è chiaro è come fosse ovvia ad occhio.
Invece per la continuità da cosa dipende la possibilità di eliminare il $| |$?
Grazie
Beh, se fai un disegno vedi ad occhio l'idea di questa dimostrazione; il resto è formalizzarla.
"solaàl":
Beh, se fai un disegno vedi ad occhio l'idea di questa dimostrazione; il resto è formalizzarla.
La proposizione prendendo $x$ o dentro $Z$ oppure anche fuori da $Z$ penso si possa riassumere come nella foto!
Tuttavia non ho chiaro come rappresentare $\bar{Z}$ e perché tale disegno sia evidente che $d_Z=0$ sse $x in \bar{Z}$
Se una cosa sia ovvia o meno dipende dall'esperienza nel settore di chi sta parlando. Se non ti sembra ovvia non farti problemi, studia la dimostrazione e capiscila, probabilmente un giorno anche a te sembrerà ovvia.
"otta96":
Se una cosa sia ovvia o meno dipende dall'esperienza nel settore di chi sta parlando. Se non ti sembra ovvia non farti problemi, studia la dimostrazione e capiscila, probabilmente un giorno anche a te sembrerà ovvia.
Speriamo! Tuttavia anche graficamente non mi è chiaro come rappresentare la proposizione. Spero di averla fatta giusta per il caso generale ma non capisco poi come rappresentare $\bar{Z}$ con carta e penna e perché dal disegno si veda ad occhio la tesi.
P.S.: tu per caso invece hai capito l'altro dubbio che ho posto sempre qui sul perché, nella dimostrazione della continuità di $d_Z$ si possa togliere il modulo $| |$?
Grazie
La chiusura di un insieme è solo raramente rappresentabile con un disegno in maniera fedele; in generale c'è uno scarto, dato dall'esperienza, che permette di prendere una rappresentazione grafica di un concetto, che non è formale ma che centra il punto della discussione, e la rende formale attraverso la trasformazione di simboli in un linguaggio; quello della topologia generale è uno dei più difficili, perché spesso i risultati veri o falsi vanno contro l'intuizione.
Il problema, qui, qual è per te? Se la dimostrazione ti è chiara, cosa vuoi sapere? Qual è il motivo per cui è ovvia? A posteriori praticamente tutti i teoremi sono "ovvi"..
Per quanto riguarda l'ultima domanda, puoi togliere il modulo perché almeno una tra \(d_Z(y)-dZ(x)\) e \(d_Z(x)-dZ(y)\) è non negativa, e perché la metrica è simmetrica.
Il problema, qui, qual è per te? Se la dimostrazione ti è chiara, cosa vuoi sapere? Qual è il motivo per cui è ovvia? A posteriori praticamente tutti i teoremi sono "ovvi"..
Per quanto riguarda l'ultima domanda, puoi togliere il modulo perché almeno una tra \(d_Z(y)-dZ(x)\) e \(d_Z(x)-dZ(y)\) è non negativa, e perché la metrica è simmetrica.
"solaàl":
La chiusura di un insieme è solo raramente rappresentabile con un disegno in maniera fedele; in generale c'è uno scarto, dato dall'esperienza, che permette di prendere una rappresentazione grafica di un concetto, che non è formale ma che centra il punto della discussione, e la rende formale attraverso la trasformazione di simboli in un linguaggio; quello della topologia generale è uno dei più difficili, perché spesso i risultati veri o falsi vanno contro l'intuizione.
Il problema, qui, qual è per te? Se la dimostrazione ti è chiara, cosa vuoi sapere? Qual è il motivo per cui è ovvia? A posteriori praticamente tutti i teoremi sono "ovvi"..
Per quanto riguarda l'ultima domanda, puoi togliere il modulo perché almeno una tra \(d_Z(y)-dZ(x)\) e \(d_Z(x)-dZ(y)\) è non negativa, e perché la metrica è simmetrica.
l'immagine che ho mandato e che rappresenta $d_Z$ è corretta?
perchè da quello non riesco ad immaginare $d_Z=0$ quando invece a lezione sembrava, prima della dimostrazione, tramite un disegno ovvia.
la metrica è simmetrica perchè $d(x,y)=d(y,x)$ e fin qui ok...ma come faccio a sapere quale di due dentro il modulo è positivo? la mia prof ha scelto $d_Z(y)-dZ(x)$ senza nessuna ipotesi e non ho capito il perchè
grazie
Uno dei due è positivo; prendi quello, non importa quale. Cosa ti turba?
l'immagine che ho mandato e che rappresenta $d_Z$ è corretta?Stiamo tornando al problema di prima; nessuna immagine è mai "corretta". Del resto, il disegno di permette di formalizzare l'argomento: se \(x\) non sta in \(\bar Z\) allora (per definizione di \(\bar Z\)) esiste un chiuso $C$ contenente \(Z\) ma non \(x\); a questo punto, siccome gli spazi metrici sono regolari, esiste un chiuso, che wlog è una palla chiusa di centro \(x\), che non interseca $C$. La distanza di $x$ da $Z$ ora non può essere minore della distanza di $C$ da $Z$, che è positiva.
"solaàl":
Uno dei due è positivo; prendi quello, non importa quale. Cosa ti turba?
l'immagine che ho mandato e che rappresenta $d_Z$ è corretta?Stiamo tornando al problema di prima; nessuna immagine è mai "corretta". Del resto, il disegno di permette di formalizzare l'argomento: se \(x\) non sta in \(\bar Z\) allora (per definizione di \(\bar Z\)) esiste un chiuso $C$ contenente \(Z\) ma non \(x\); a questo punto, siccome gli spazi metrici sono regolari, esiste un chiuso, che wlog è una palla chiusa di centro \(x\), che non interseca $C$. La distanza di $x$ da $Z$ ora non può essere minore della distanza di $C$ da $Z$, che è positiva.
si mi "turbava" il fatto di togliere il modulo senza suppore niente! ora da come l'hai espressa tu invece è tutto più chiaro.
purtroppo ancora dal disegno non ci arrivo! mi accontento della dimostrazione e da li vado avanti!
grazie mille
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