Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno a tutti, mi scuso in anticipo se ho sbagliato sezione per la domanda e se tale domanda è già stata posta (non l'ho trovata).
Ho questa situazione.
Ho la sfera n-dimensionale con norma unitaria
$ S^n = {P in R^(n+1) : || P|| =1} $
Su questo insieme ho introdotto le Carte Stereografiche date dalle coppie
$ (U_n , varphi _n),(U_s,varphi _s) $ dove $ U_n = S^n - {N} $ e $ U_s = S^n - {S} $
Con N ed S intendo polo Nord e Sud
E con $ varphi _n:U_nrarr R^n $ (analogamente $ varphi_s $)
Ho già verificato che le i-esime ...
Sia $f$ $in$ $L(V,V)$ l'endomorfismo simmetrico dell'$RR$ spazio vettoriale Euclideo $(V,<,>)$ di $dimV=n$. Allora esiste $lambda$ $in $ $R-{0}$ tale che $lambda$ appartiene
allo spettro di $f$.
Per preparare l'esame orale ho cercato su internet la dimostrazione di questo fatto ma non ho trovato nulla di così specifico.
Qualcuno ha un testo/pdf dove trovarla?
Oppure qualcuno ...
C'è un ambiguita di lingua e non capisco com'è definita la funzione \(f \).
Sia \(R \) il rettangolo \( I \times I \) e \( \sim \) la relazione d'equivalenza definita per \( (s,t) \sim (s',t') \) se e solo se \( (s,t)=(s',t') \) oppure \( s= 0, s'=1 \) e \( t=1-t' \). Dimostra che lo spazio quoziente è il nastro di Moebius.
Scegliamo una parametrizzazione del nastro di Moebius in \(\mathbb{R}^3 \), "la sua anima" si trova su un cerchio di raggio \(2 \) nel piano \(Oxy \) centrato all'origine. ...
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Studente Anonimo
9 mar 2020, 00:10
Non capisco la soluzione di questo esercizio.
Sia \(a_1\) un punto di uno spazio connesso per archi e ben puntato \((A,a_0)\). Dimostra che esiste un'equivalenza d'omotopia \(A \to A \) che invia \(a_0\) su \(a_1\).
Scegliamo \( \omega \) un cammino tra \(a_0\) e \(a_1\) in \(A\) (lo posso fare perché lo spazio è connesso per archi) scegliamo \(id_A\). La proprieta d'estensione di omotopia permette di costruire un omotopia \(H: A \times I \to A \) trale che \( H(a_0,t)=\omega(t) \) per ogni \( ...
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Studente Anonimo
6 mar 2020, 18:01
Salve a tutti,
sono alle prese con la dimostrazione di questo teorema: “ogni sottospazio chiuso di uno spazio localmente compatto, è localmente compatto”
La dimostrazione che c’è sul libro è la seguente:
Sia $ Y $ un sottospazio chiuso di uno spazio localmente compatto $ X $
$ AA y in Y sube X $, essendo $ X $ localmente compatto, esiste un intorno compatto $ U $ di $ y $ in $ X $.
L’intersezione $ Ynn U $ è un ...
Ho un esercizio in cui mi chiede per quali valori di k la matrice è invertibile e per quali valori la matrice ha rango massimo e trovare quante. Come si impostano esercizi del genere? La mia idea è portare la matrice a gradini e vedere se ha rango massimo, dunque è invertibile; da qui far equivalere ai polinomi con incognita k o ai monomi i valori della matrice a gradini. Per determinare i valori per cui ha rango massimo il procedimento dovrebbe essere lo stesso. È giusto?
ciao a tutti! ho un problema con il seguente esercizio:
Sia $Q:RR^3 -> RR$ la forma quadratica definita, sul vettore $v=(x,y,z)$, dalla formula
$$Q(v) = −2x^2 −6xy + 4xz −4yz − 3z^2$$
trovare una forma quadratica equivalente a $Q$.
Allora, io parto trovando la matrice dell'equazione ovvero:
$$Q(v) = (x,y,z) \begin{pmatrix} -2 & -3 & 2 \\ -3 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z ...
Sia $ X $ uno spazio metrico e $ d $ la sua metrica.
1) Dimostrare che $ d : X xx X -> RR $ è continua nella topologia che induce.
2) Dimostrare che la topologia indotta dalla metrica $ d $ è la meno fine in cui $ d $ sia continua.
Il punto (1) si può risolvere così considerando la controimmagine di un elemento della base di $ RR $ come $ (a,b) $. Se $(x, y)$ appartiene alla controimmagine possiamo costruire un ...
Avrei bisogno una mano con questo esercizio...
Sia \( S^3 \subset \mathbb{C}^2 \) e \( \mathbb{C}P^1 \) il quoziente sotto l'azione di \( S^1 \subset \mathbb{C} \). Identifichiamo dunque \((z,z') \in S^3 \) con \( (az,az') \) per tutti i numeri complessi di norma 1, dove \( z,z' \) sono le coordinate complesse di un punto di \( S^3 \).
Sia \( q: S^3 \to \mathbb{C} P^1 \) l'applicazione quoziente.
1) Dimostra che la preimmagine di un punto di \( \mathbb{C}P^1 \) è un cerchio in \( S^3 \)
2) ...
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Studente Anonimo
3 mar 2020, 07:33
Risolvendo il seguente esercizio (neanche troppo difficile) mi sono reso conto che faccio confusione su spazio quoziente, applicazione quoziente e topologia quoziente. Vorrei darvi la mia risoluzione per capire se ho capito le cose o se ci sono imprecisioni.
Definiamo su \( \mathbb{R} \) la relazione di equivalenza \( \sim \) per \( x \sim y \) se e solo se \( x=y=0 \) oppure se \(xy >0 \). Descrivere lo spazio quoziente, la sua topologia, le sue proprietà di separazione di compattezza.
In ...
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Studente Anonimo
2 mar 2020, 21:11
ciao a tutti,
ho un dubbio sulla definizione di chart nell'ambito della nozione di varieta' topologica che si trova nei vari testi che ho consultato.
Assumiamo come definizione di chart quella di omeomorfismo locale tra la varieta' topologica $X$ e $RR^n$.
La definizione di omeomorfismo locale mi sembra richieda l'applicazione definita su $X$ (inteso come spazio topologico) mentre il dominio di definizione della chart e' in realta' solo un sottoinsieme ...
Sia \(\displaystyle r : \left\{\begin{matrix}
ax+by+cz+d = 0 & \\
aìx+b'y+c'z+d' = 0 &
\end{matrix}\right. \)con \(\displaystyle rank(A) = rank\begin{pmatrix}
a&b&c \\
a'&b'&c'
\end{pmatrix} = 2 \)
Allora una terna di numeri direttori $(l,m,n)$ è data da
\(\displaystyle l = \begin{vmatrix}
b&c \\
b'&c'
\end{vmatrix},
m = \begin{vmatrix}
a&c \\
a'&c'
\end{vmatrix},
n = \begin{vmatrix}
a&b \\
a'&b'
\end{vmatrix} \)
Dimostrazione:
\(\displaystyle \begin{vmatrix}
l&m&n \\ ...
Spero sia la sezione giusta per postare questo quesito.
In molti libri di testo trovo la dicitura: "fissata una retta verticale Os orientata verso il basso, con l'origine coincidente con la posizione..."
Mi chiedo due cose:
1) la simbologia è corretta? Si può indicare una retta con un un punto appartenente ad essa e il nome stesso (Os)?
2) E' corretto parlare di origine della retta?
Grazie
Ho urgente bisogno di rimuovere questi dubbi riguardo questa dimostrazione di Algebra.
L'enunciato è il seguente
Siano $f:V\rightarrow V$ e $g:V\rightarrow V$ endomorfismi diagonalizzabili
$V$ possiede una base di autovettori comuni a $f$ e $g \Leftrightarrow f∘g = g∘f $
L'implicazione $\Rightarrow$ è banale.
Per l'altra implicazione, considero $k_1 ... k_t$ autovalori distinti di $f$
essendo $f$ diagonalizzabile $\Rightarrow V = V_{k_1} \oplus ... \oplus V_{k_t}$
per ...
Buonasera, ho un problema con una dimostrazione:
Sia $T:VtoV $ un endomorfismo e A la matrice che rappresenta T rispetto ad una base.
Allora $lambda_0$ è autovalore di T $<=> p_T(lambda_0)=det(A-lambda_0I)=0$
Dimostrazione: $lambda_0$ è autovalore di T$<=> Ax=lambda_0x$ ammette una soluzione $<=>(A-lambda_0I)x=0$ ammette una soluzione $<=> det(A-lamda_0I)=0$.
Ora c'è qualcosa che mi sfugge perché non capisco come mai il determinante dell'ultima matrice dovrebbe essere nullo affinché il sistema ...
Buonasera a tutti,
Mi sta venendo un dubbio al riguardo su questo insieme:
$ U = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | xy = 0, z = 0} $
Secondo me non è un sottospazio vettoriale perché prendendo
$ (1,0,0), (0,1,0) \in \mathbb{U} $
Però se li sommo
$ (1,1,0) \notin \mathbb{U} $
Quindi a prescindere dal valore di z, il risultato non cambia.
E' giusto il mio ragionamento?
La dimensione di U è 1?
Buongiorno a tutti, vi chiedo aiuto per trovare un modo di mostrare questa disequazione in uno spazio vettoriale normato qualsiasi:
\( ||x||^2 + ||y||^2 \leq ||x-y||^2 + ||x+y||^2\)
Ho provato ad usare la diseguaglianza triangolare ma non mi sembra di arrivare da nessuna parte. Ho persino provato a portare \( ||x^2|| \) e \( ||x-y||^2 \) dall'altra parte per avere differenze tra quadrati, ma fattore per fattore non riesco ad avere le diseguaglianze.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!
"Topology" di Munkres a pag. 137 definisce le mappe quoziente, poco dopo ne da una definizione alternativa ma senza dimostrare che le definizioni equivalgono.
1) Una mappa quoziente è una funzione tra spazi topologici $ q: X -> Y $ continua, suriettiva e tale per cui: $V $ aperto in $ Y $$ <=> $ $ q^-1(V)$ aperto in $X $.
2) Una mappa quoziente è una funzione tra spazi topologici $ q: X -> Y $ continua tale per cui ...
Buongiorno a tutti.
Consideriamo uno spazio vettoriale $V$ (su $\mathbb{R}$ o su $\mathbb{C}$) dotato di prodotto interno $\langle , \rangle$ e siano $v_1,...,v_n \in V$ linearmente indipendenti.
Il teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt afferema che i vettori $w_1,...,w_n \in V$ cosi definiti:
\[w_1=v_1, \quad w_i=v_i-\sum_{j=1}^{i-1} \frac{\langle v_i,w_j \rangle}{\langle w_j,w_j \rangle}w_j \quad i \in {2,...,n}\]
sono tali da soddisfare le seguenti due condizioni: ...
Ciao, vorrei chiedere quale dovrebbe essere il gruppo fondamentale di $mathbb\{Q}$ , $\pi(\mathbb{Q},0)$. Mi verrebbe da dire che è il gruppo banale per il semplice fatto che un cappio di base 0 nei razionali è per forza costante, essendo lo spazio totalmente sconnesso e i cammini connessi, quindi c'è una sola classe di omotopia (a sua volta fatta da un solo elemento). È giusto?
In tal caso questo va bene per dire che avere lo stesso gruppo fondamentale non implica essere omotopi? ...
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