Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti,
Sto studiando algebra lineare ed ho un esercizio che non riesco veramente a capire come svolgere, se qualcuno potrebbe darmi una mano apprezzerei molto haha
data $ T(R^3)rarr R^2 $ avente come matrice associata $ A=( ( 2 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , 1 ) ) $
rispetto alla base
$ B=((1,-1,0),(0,1,0),(0,0,2) $ di $ R^3 $ e $ B'=((0,2),(-1,0) $ di $ R^2 $
Trovare la trasformazione lineare
Grazie in anticipo!
Buonasera,
sto cercando di risolvere i seguenti quesiti:
sia A = $ ( ( 2 , 4 , -2 ),( 1 , 3 , -2 ),( 3 , 8 , -5 ) ) $;
1) dire se \(\displaystyle A \) è simile a \(\displaystyle A^2 \)
2) dire se \(\displaystyle A \) è simile a \(\displaystyle A^3 \)
3) \(\displaystyle A \) è uguale a \(\displaystyle A^3 \)?
[le risposte devono essere motivate, non è necessario calcolare \(\displaystyle A^2 \) e \(\displaystyle A^3 \)]
Siccome la consegna specifica di non calcolare le potenze di \(\displaystyle A \), presumo serva ...
Se una matrice quadrata ha una inversa destra allora essa è l'inversa in generale?
In R^n, rispetto alla base naturale, ho un sottospazio vettoriale U rappresentato in forma cartesiana da:
A (x1,x2,.....,xn)=(0,0,......,0), con A che è una matrice mxn di rango h.
Ho un dubbio sulla dimensione del sottospazio, siccome dim Im (A) è uguale al rango h e visto che la dim del dominio è n (R^n) è esatto dire che la dimensione del sottospazio è uguale a n-h?
Un altro dubbio è il seguente: se avessi U in forma parametrica, quindi con (x1,x2....,xn)=A (b1,b2,....,bk) con A matrice ...
Salve ho questo esercizio:
Per ognuna delle seguenti matrici $A$ trovare $M$ invertibile tale che $M^TAM$
sia della forma prescritta dal Teorema di Sylvester.
Il professore in aula ha svolto una delle matrici di questo esercizio, ma non ci ho capito granché. Ora ci sto riprovando da solo. La matrice che sto provando a fare è la seguente:
$A = ((0,0,2,0),(0,0,0,3),(2,0,0,0),(0,3,0,0))$
Innanzitutto mi accorgo del fatto che è non degenere perché il determinante è ...
Buonasera. Stavo rivedendo alcune nozioni di teoria dei fasci su schemi.
Sia $X$ uno schema e $k(x)$ il fascio grattacielo in $x$. Un modo per verificare che un fascio invertibile $\mathcal{L}$ su $X$ sia molto ampio è controllare se:
1) separa i punti, ossia se $H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(X, k(x_1) \oplus k(x_2))$ è surgettiva per ogni coppia di punti distinti;
2) separa le direzioni tangenti, ossia se $H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(X, \mathcal{O}_{Z_x})$ è surgettiva se $Z_x$ è un sottoschema ...
Salve ho questo esercizio di cui so solamente i risultati:
Si considerino in $RR^4$ i sottospazi $U$ e $W$ definiti rispettivamente come:
$ U = Span {((1),(3),(-1),(0)), ((1),(0),(-1),(2)),((-1),(6),(2),(-6))} $
e
$W = {(x, y, z, w)^t \in RR^4 | x + y + 2z = x + z = 0}$
Determinare un insieme minimale di equazioni cartesiane per $U$, una base per $U\nnW$ e una per $U+W$.
Io sono partito facendo un'eliminazione di Gauss per trovarmi la dimensione di $U$ e l'insieme minimale di equazioni ...
Salve, ho risolto questo esercizio:
Calcolare la proiezione ortogonale di $v$ su $U$, dove:
$v = ((1),(4),(9))$ $U = Span ((1),(1),(1)), ((1),(2),(3)) $
Io l'ho svolto, e credo anche correttamente, ma l'ho fatto in maniera molto meccanica. Vorrei quindi tentare di capire il perché di questi passaggi.
Ho innanzitutto controllato che $U$ fosse una base, già ad occhio si vedeva che i due vettori non erano proporzionali, ma per sicurezza ho fatto l'eliminazione di ...
Buonasera a tutti! Leggendo i miei appunti e confrontando diversi libri di testo, mi è serto un dubbio circa la definizione di categoria derivata.
La categoria derivata di una categoria $\mathcal{A}$ è ottenuta a partire dalla categoria omotopa dei complessi $\mathbf{K}(\mathcal{A})$, localizzando per quasi-isomorfismi. Il mio dubbio è proprio relativo ai complessi. Su alcuni libri ho trovato l'uso di complessi di catene (e quindi, poi, dell'omologia), su altri l'uso di complessi di cocatene (e ...
Salve ho questo esercizio:
Sia $T:RR^3 -> RR^3$ l'applicazione lineare definita da:
$T(x,y,z) = (x, y+3z, x+y-z)$
1. Verificare che i vettori $v_1 = (0,3,1), v_2=(0,-1,1)$ e $v_3 = (-1, 1, 0)$ sono autovettori di $T$ e determinare i rispettivi autovalori.
2. Verificare che l'insieme $B = {v_1, v_2, v_3}$ è una base di $RR^3$.
3. Determinare la matrice (diagonale) $D$ associata a $T$ rispetto alla base $B$.
4. Determinare la matrice diagonalizzante ...
Ho delle difficoltà ad interpretare la notazione utilizzata in questo paper.
Per la precisione, non mi è chiaro l'utilizzo del doppio pedice, il quale viene definito a pagina 3.
Per prima cosa, viene presentato tramite l'operatore $\text{Vec}(\cdot)$, il quale viene definito come
the column vector formed from elements of a $p\times p$ matrix, $S$, taken columnwise [...] i.e.
\begin{equation*}\operatorname{Vec}'(S)=\underline{s}'=s_{11}, s_{21}, s_{31}, ...
Buongiorno, ho un problema sulla dimostrazione del presente teorema:
In tal caso
Definizione:
Dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$, una successione di applicazione $psi_1, psi_2, ... , psi_n :V to K$ si dice un sistema di coordinate se l'applicazione $F:V to K^n, \qquad v to (psi_1(v),...,psi_n(n))^T$ è un isomorfismo lineare.
Teorema:
Sia $V$ spazio vettoriale di dimensione finita $n$. Per ogni base $v_1, ... , v_n$ di $V$ esiste un unico sistema di ...
Sia $A=\{v_1, v_2,v_3\}$ una base di $\mathbb{R}^3$ e sia $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ l'applicazione lineare tale che:
\[ f(v_1)=v_1+2v_2 \quad f(v_2)=2v_1+v_2 \quad f(v_3)=-v_3 \]
Sapendo che $f$ è autoaggiunto, l'esercizio ci chiede di trovare una base ortonormale di $\mathbb{R}^3$, rispetto al prodotto scalare canonico, formata da autovettori di $f$.
Io ho calcolato $M^A(f)$ e ho trovato gli autovettori $(1,-1,0)_A, (0,0,1)_A, (1,1,0)_A$, però non posso sapere se i primi 2 ...
Buongiorno, ho qualche dubbio sulla dimostrazione del teorema inerente al titolo.
Enunciato:
Per ogni applicazione lineare $f:K^m to K^n$ vi è un'unica matrice $A in M_(n,m)(K) \:\ f=L_A$. Inoltre vale $A=(f(e_1),...,f(e_n))$ con $e_1,...,e_n in K^m$ base canonica.
Per il seguito:
Definizione:
Sia $A in M_(n,m)(K)$ si definisce $L_A:K^m to K^n, \ quad L_A(x)=Ax.$
Dimostrazione:
1)Abbiamo già notato che per ogni matrice $A in M_(n,m)(K) $ i vettori $Ae_i$ coincidono con la colonna di i-esima di $A$, ...
Salve, avrei bisogno di aiuto nella risoluzione di un quiz a risposta multipla. O meglio, so quali sono le risposte giuste, ma spero che qualcuno di voi riesca a darmi una spiegazione per ogni risposta.
Il quesito è il seguente:
Considerate in R2[x] il prodotto scalare definito dalla seguente formula:
$ <P(x),Q(x)> =int_(-1)^(1) P(x)Q(x) dx $
dove P e Q sono due vettori generici di R2[x]. Quali delle seguenti affermazioni sono corrette?
(a) La base canonica è una base ortonormale rispetto a tale prodotto ...
Siano \( M \) ed \( F \) rispettivamente un \( R \)-modulo (con \( R \) anello commutativo), e un \( R \)-modulo libero di base \( \{e_i\}_{i\in I} \), dove \( I \) è un insieme di indici.
È sempre vero che posso indiciare \( M \) usando \( I \)? Sono abbastanza sicuro che la risposta sia "no", però qui alla 4.15 questo fatto è (mi sembra) usato dall'autore per definire un isomorfismo tra \( M\otimes_R N \) e la somma di \( \lvert I\rvert \) copie di \( M \). Non è così, ed è ...
Date due varietà differenziabili $M_1$ ed $M_2$ provare che $M_1 xx M_2$ è orientabile $hArr$ $M_1$ ed $M_2$ sono orientabili.
Per $ lArr$ ho pensato: esisteranno una $n_1$-forma senza zeri, $alpha$, ed una $n_2$-forma senza zeri $beta$.
Scegliendo una sistema di coordinate di $M_1$: $(U, phi, x_i)$ ed uno di $M_2$: $(V, psi, y_i)$ queste due ...
Perdonatemi se insisto con queste domande sulle forme ma pensavo di averle capite abbastanza, invece sto avendo non poche difficoltà, anche solo nel calcolo.
Come calcolo $alpha_p(v,w)$ se $alpha=xdy^^dz+ydx^^dz+zdx^^dy$ , $p=(1,1,1)$ $v=(2,0-2)$ $w=(1,3,0)$?
Considerata la superficie $xy-1=0$ si chiede se è connessa.
La si può pensare parametrizzata così $x: R^2-(0,0)\timesR^2\toR^3$ che mappa $(u,v)\to(u,1/u,v)$
La soluzione afferma che la superficie non è connessa perchè x è un omeomorfismo.
Ma non capisco. Proprio perchè è omemorfismo e il dominio è connesso allora l'immagine dovrebbe essere connessa. Anche vedendo il grafico sembra palesemente connessa.
Potete aiutarmi? mi sembra strano che ci sia un errore del genere
Buongiorno, leggendo gli appunti della mia prof. riguardante le applicazioni lineari viene detto che il diagramma commuta se l'applicazione è lineare.
Cosa vuol dire che il diagramma commuta? mi sono dato una risposta la quale vi riporto, ma vorrei un parere anche vostro.
Per essere più chiari vi riporto in primo luogo la definizione di applicazione lineare.
Definizione:
Siano $V, W$ spazi vettoriali su $KK$ considero l'applicazione $f:V to W$ dicasi ...
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