Piccoli dubbi di geometria 1
ciao a tutti, ho dei piccoli dubbi su degli esercizi di geometria 1...spero possiate aiutarmi
1) sia $X=uuu_{i in I} A_i$, ovvero $uuu_{i in I} A_i$ è un ricoprimento aperto di $X$ e sia $i_0$ un indice tale che $X/A_(i_0)$ (indica il complementare) è finito, cioè $X/A_(i_0)={x_1,....,x_m}$.
ciò che non capisco è la seguente affermazione: per ogni $j$ da $1$ a $m$ esiste $(ij) in I$ tale che $x_i in I$: perchè esiste questo $j$ e perchè necessariamente $x_i$ appartiene a $Aij$ e dunque si può scrivere che $X=A_i0 uu A_i1 uu ... uu A_im$, cioè $X$ è l'unione di un numero finito di aperti.
2) sia $f: RR->X$ un' applicazione continua e chiusa, X spazio topologico Compatto. Per ogni $n in NN$, sia $[n,+infty)$ il chiuso di $RR$ e sia $k_n=f([n,+infty))$ un chiuso di $X$. Perchè allora $k_n supe k_(n+1) supe k_(n+2)...$? Non ho veramente capito.
3) sia $G_f={(x,y) in X x Y | y=f(x)}$ chiuso in $X x Y$ e $f:X->Y$ un'applicazione tra spazi compatti.
Consideriamo $C$ chiuso di $Y$, perchè allora considerato $(x,y) in (X x Y)$ vale che $y in C iff f(x) in C$?
E perchè essendo $C$ chiuso di $Y$, allora $X x C$ è chiuso in $X x Y$
Grazie mille
1) sia $X=uuu_{i in I} A_i$, ovvero $uuu_{i in I} A_i$ è un ricoprimento aperto di $X$ e sia $i_0$ un indice tale che $X/A_(i_0)$ (indica il complementare) è finito, cioè $X/A_(i_0)={x_1,....,x_m}$.
ciò che non capisco è la seguente affermazione: per ogni $j$ da $1$ a $m$ esiste $(ij) in I$ tale che $x_i in I$: perchè esiste questo $j$ e perchè necessariamente $x_i$ appartiene a $Aij$ e dunque si può scrivere che $X=A_i0 uu A_i1 uu ... uu A_im$, cioè $X$ è l'unione di un numero finito di aperti.
2) sia $f: RR->X$ un' applicazione continua e chiusa, X spazio topologico Compatto. Per ogni $n in NN$, sia $[n,+infty)$ il chiuso di $RR$ e sia $k_n=f([n,+infty))$ un chiuso di $X$. Perchè allora $k_n supe k_(n+1) supe k_(n+2)...$? Non ho veramente capito.
3) sia $G_f={(x,y) in X x Y | y=f(x)}$ chiuso in $X x Y$ e $f:X->Y$ un'applicazione tra spazi compatti.
Consideriamo $C$ chiuso di $Y$, perchè allora considerato $(x,y) in (X x Y)$ vale che $y in C iff f(x) in C$?
E perchè essendo $C$ chiuso di $Y$, allora $X x C$ è chiuso in $X x Y$
Grazie mille
Risposte
"Aletzunny":
1) sia $X=uuu_{i in I} A_i$, ovvero $uuu_{i in I} A_i$ è un ricoprimento aperto di $X$ e sia $i_0$ un indice tale che $X/A_(i_0)$ (indica il complementare) è finito, cioè $X/A_(i_0)={x_1,....,x_m}$.
ciò che non capisco è la seguente affermazione: per ogni $j$ da $1$ a $m$ esiste $(ij) in I$ tale che $x_i in I$: perchè esiste questo $j$ e perchè necessariamente $x_i$ appartiene a $Aij$ e dunque si può scrivere che $X=A_i0 uu A_i1 uu ... uu A_im$, cioè $X$ è l'unione di un numero finito di aperti.
$x_i\in I$ è un'affermazione senza senso, visto che $X$ e $I$ sono due insiemi che non hanno nulla a che vedere l'uno con l'altro, a priori. Quello che immagino volessi dire è che per ogni $j\in \{1,\ldots,m\}$ esiste $i_j\in I$ tale che $x_j\in A_{i_j}$, il che è banalmente vero dal momento che gli $A_i$ ricoprono $X$. Di conseguenza $X=A_{i_0}\cup A_{i_1}\cup\ldots\cup A_{i_m}$.
"Aletzunny":
2) sia $f: RR->X$ un' applicazione continua e chiusa, X spazio topologico Compatto. Per ogni $n in NN$, sia $[n,+infty)$ il chiuso di $RR$ e sia $k_n=f([n,+infty))$ un chiuso di $X$. Perchè allora $k_n supe k_(n+1) supe k_(n+2)...$? Non ho veramente capito.
E' praticamente una tautologia che se $f: X\to Y$ è una funzione tra insiemi e $U\subseteq V\subseteq X$, allora $f(U)\subseteq f(V)\subseteq Y$.
"Aletzunny":
3) sia $G_f={(x,y) in X x Y | y=f(x)}$ chiuso in $X x Y$ e $f:X->Y$ un'applicazione tra spazi compatti.
Consideriamo $C$ chiuso di $Y$, perchè allora considerato $(x,y) in (X x Y)$ vale che $y in C iff f(x) in C$?
Non vedo perchè dovrebbe essere vera questa affermazione. E soprattutto cosa c'entra $G_f$ con questa domanda?
"Aletzunny":
E perchè essendo $C$ chiuso di $Y$, allora $X x C$ è chiuso in $X x Y$
Per definizione di topologia prodotto.
1) si ho sbagliato a scrivere, ma dal testo dice che $x_i in A_ij$... anche secondo me però è $x_j$. Può essere un errore di stampa?
2) perfetto, grazie
3) tutto nasce dal voler dimostrare che $f^(-1)(C)=pi_x(G_f nn (X x C))$, dove $pi_x:X x Y ->X$
E per dimostrare l'uguaglianza mostra che i due membri sono uguali e per quello di destra procede cosi: $x in pi_x(G_f nn (X x C))$ sse esiste $y$ tale che $(x,y) in
(G_f nn (X x C)$ sse $(x,y) in G_f$ e $(x,y) in (X x C)$...da cui per la prima $y=f(x)$ e per la seconda fa sse $y in C$ sse $f(x)=C$ e qui non capisco il perché!
4) ho cercato la definizione ma non ho trovato ancora il motivo..quale intendi per i chiusi?
Grazie
2) perfetto, grazie
3) tutto nasce dal voler dimostrare che $f^(-1)(C)=pi_x(G_f nn (X x C))$, dove $pi_x:X x Y ->X$
E per dimostrare l'uguaglianza mostra che i due membri sono uguali e per quello di destra procede cosi: $x in pi_x(G_f nn (X x C))$ sse esiste $y$ tale che $(x,y) in
(G_f nn (X x C)$ sse $(x,y) in G_f$ e $(x,y) in (X x C)$...da cui per la prima $y=f(x)$ e per la seconda fa sse $y in C$ sse $f(x)=C$ e qui non capisco il perché!
4) ho cercato la definizione ma non ho trovato ancora il motivo..quale intendi per i chiusi?
Grazie
"Aletzunny":
1) si ho sbagliato a scrivere, ma dal testo dice che $x_i in A_ij$... anche secondo me però è $x_j$. Può essere un errore di stampa?
E' come ti ho scritto nel post sopra.
"Aletzunny":
3) tutto nasce dal voler dimostrare che $f^(-1)(C)=pi_x(G_f nn (X x C))$, dove $pi_x:X x Y ->X$
E per dimostrare l'uguaglianza mostra che i due membri sono uguali e per quello di destra procede cosi: $x in pi_x(G_f nn (X x C))$ sse esiste $y$ tale che $(x,y) in
(G_f nn (X x C)$ sse $(x,y) in G_f$ e $(x,y) in (X x C)$...da cui per la prima $y=f(x)$ e per la seconda fa sse $y in C$ sse $f(x)=C$ e qui non capisco il perché!
Intanto in fondo è $f(x)\in C$ e non $f(x)=C$. Poi non c'è nulla da capire, basta usare le definizioni. Per esempio, se $A\subseteq X $ e $B\subseteq Y$ allora $x\in \pi_X(A\times B)$ se e solo se esiste $y\in B$ tale che $(x,y)\in A\times B$. Il che nel tuo caso implica che quell'$y$ vive in $C$. Un consiglio: ogni qual volta scrivi "esiste $y$ tale che..." non tagliare corto, specifica sempre in quale insieme vive $y$. Vedrai che ti risparmierà un bel po' di fatica.
"Aletzunny":
4) ho cercato la definizione ma non ho trovato ancora il motivo..quale intendi per i chiusi?
C'è una sola definizione di topologia prodotto, e per un prodotto finito di spazi topologici coincide con la box topology: un insieme è aperto se è unione di prodotti di aperti. https://en.wikipedia.org/wiki/Product_topology
1) ok
3)ma ciò che non capisco perché $y in C$ sse $f(x) in C$? Cioè non mi è chiaro da dove esca quell'$f(x)$
4)spero di aver capito: quindi poiché ho un chiuso $C$ di $Y$, allora $X x C$ è chiuso del prodotto $X x Y$ e avendo $A$ aperto di $X$, $A x Y$ è aperto di $X x Y$. Infine dato $B$ aperto di $Y$, allora $A x B$ è aperto di $X x Y$ ed è anche una base..ho capito correttamente?
3)ma ciò che non capisco perché $y in C$ sse $f(x) in C$? Cioè non mi è chiaro da dove esca quell'$f(x)$
4)spero di aver capito: quindi poiché ho un chiuso $C$ di $Y$, allora $X x C$ è chiuso del prodotto $X x Y$ e avendo $A$ aperto di $X$, $A x Y$ è aperto di $X x Y$. Infine dato $B$ aperto di $Y$, allora $A x B$ è aperto di $X x Y$ ed è anche una base..ho capito correttamente?
"Aletzunny":
3)ma ciò che non capisco perché $y in C$ sse $f(x) in C$? Cioè non mi è chiaro da dove esca quell'$f(x)$
$(x,y)\in G_f\cap X\times C$ se e solo se $y\in C$ e $f(x)=y$, il che avviene esattamente quando $x\in f^{-1}(C)$.
"Aletzunny":
4)spero di aver capito: quindi poiché ho un chiuso $C$ di $Y$, allora $X x C$ è chiuso del prodotto $X x Y$ e avendo $A$ aperto di $X$, $A x Y$ è aperto di $X x Y$. Infine dato $B$ aperto di $Y$, allora $A x B$ è aperto di $X x Y$ ed è anche una base..ho capito correttamente?
$X\times (Y\setminus C)$ è aperto perchè è prodotto di aperti; il suo complementare di conseguenza è chiuso.
"hydro":
[quote="Aletzunny"]
3)ma ciò che non capisco perché $y in C$ sse $f(x) in C$? Cioè non mi è chiaro da dove esca quell'$f(x)$
$(x,y)\in G_f\cap X\times C$ se e solo se $y\in C$ e $f(x)=y$, il che avviene esattamente quando $x\in f^{-1}(C)$.
"Aletzunny":
4)spero di aver capito: quindi poiché ho un chiuso $C$ di $Y$, allora $X x C$ è chiuso del prodotto $X x Y$ e avendo $A$ aperto di $X$, $A x Y$ è aperto di $X x Y$. Infine dato $B$ aperto di $Y$, allora $A x B$ è aperto di $X x Y$ ed è anche una base..ho capito correttamente?
$X\times (Y\setminus C)$ è aperto perchè è prodotto di aperti; il suo complementare di conseguenza è chiuso.[/quote]
2) quindi praticamente da $y in C$ e $y=f(x)$ ricavo che $x in f^(-1) (C)$, cioè deve essere $f(x)$ in C...se ho capito..
3) perché prodotto di aperti? Io so solo che $X$ è compatto...chi mi dice che è aperto? Oppure basta solo che uno dei due (quindi qui $Y/C$) per dire che è aperto?
Grazie
Se $X$ è uno spazio topologico, $X$ è aperto in $X$ per definizione. La compattezza non c'entra nulla.
Grazie mille
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