Conica iperosculatrice
Il testo dell'esercizio è:
Vorrei risolvere tale esercizio senza utilizzare i fasci di coniche (sarebbe quasi immediato utilizzandoli).
La mia idea è quella di considerare l'equazione generale di una conica $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$ e imporre tutte le condizioni dettate dal testo.
1) Il passaggio per il punto $O(0,0)$ indica la condizione lineare $f=0$;
2) Il passaggio per il punto $A(-2,1)$ indica la condizione lineare $4a-4b+c-4d+2e=0$;
3) ora qua sorgono i problemi: la condizione di iperosculare nell'origine mi dice che le due coniche devono avere la stessa tangente nell'origine. Quindi la tangenza alla retta $4x-y=0$ nell'origine mi da le due condizioni lineari $f=0$ e $d+4e=0$.
Per ora ho trovato 3 condizioni lineari distinte. Mi servirebbero altre due condizioni lineari per poter scrivere un sistema lineare e completare l'esercizio. So che due coniche si iperosculano in un punto quando hanno un punto di contatto quadruplo, però non riesco a tradurre questa condizione in delle equazioni lineari. È come se la condizione di iperosculare equivalga a quattro condizioni lineari. Qualcuno può darmi qualche suggerimento???
Scrivere l'equazione della conica iperosculatrice in $O(0,0)$ alla conica $x^2+3xy-y^2+4x-y=0$ e passante per $A(-2,1)$.
Vorrei risolvere tale esercizio senza utilizzare i fasci di coniche (sarebbe quasi immediato utilizzandoli).
La mia idea è quella di considerare l'equazione generale di una conica $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$ e imporre tutte le condizioni dettate dal testo.
1) Il passaggio per il punto $O(0,0)$ indica la condizione lineare $f=0$;
2) Il passaggio per il punto $A(-2,1)$ indica la condizione lineare $4a-4b+c-4d+2e=0$;
3) ora qua sorgono i problemi: la condizione di iperosculare nell'origine mi dice che le due coniche devono avere la stessa tangente nell'origine. Quindi la tangenza alla retta $4x-y=0$ nell'origine mi da le due condizioni lineari $f=0$ e $d+4e=0$.
Per ora ho trovato 3 condizioni lineari distinte. Mi servirebbero altre due condizioni lineari per poter scrivere un sistema lineare e completare l'esercizio. So che due coniche si iperosculano in un punto quando hanno un punto di contatto quadruplo, però non riesco a tradurre questa condizione in delle equazioni lineari. È come se la condizione di iperosculare equivalga a quattro condizioni lineari. Qualcuno può darmi qualche suggerimento???
Risposte
Per determinare i 6 coefficienti della conica iperosculatrice occorre:
i) imporre il passaggio per A(-2;1): 4a - 4b + c - 4d + 2e + f = 0;
ii) imporre la tangenza in O(0;0): f = 0, 4 - 2d = 0, -1 - 2e = 0;
iii) imporre che O sia l'unico punto di contatto, ossia che l'equazione di quarto grado che si ottiene intersecando le equazioni delle due coniche abbia quattro radici reali coincidenti (click):
∆ = 0 : condizione che garantisce radici multiple, quindi già soddisfatta al secondo punto;
D = 0 : condizione che garantisce due radici doppie, equazione da porre a sistema;
∆0 = 0 : condizione che garantisce una radice tripla, equazione da porre a sistema.
D'altro canto, per via del fatto che l'equazione di quarto grado è stata ottenuta combinando le due coniche in modo tale da elidere y^2, il sistema di tali sei equazioni non presenta come soluzione solo quella desiderata, bensì ne presenta altre due con "c" uguale a quello della conica assegnata, che non risultano accettabili in quanto non comportano una intersezione quadrupla tra le due coniche.
A conti fatti, l'unica soluzione accettabile risulta essere:
a = 91/27, b = 49/54, c = -23/27, d = 2, e = -1/2, f = 0;
91x^2 + 49xy - 23y^2 + 108x - 27y = 0.
Naturalmente alla medesima conica è possibile pervenire studiando il fascio di coniche costruito combinando linearmente la conica C assegnata e la polare di O riferita a C contata due volte, la differenza sta nei calcoli!
i) imporre il passaggio per A(-2;1): 4a - 4b + c - 4d + 2e + f = 0;
ii) imporre la tangenza in O(0;0): f = 0, 4 - 2d = 0, -1 - 2e = 0;
iii) imporre che O sia l'unico punto di contatto, ossia che l'equazione di quarto grado che si ottiene intersecando le equazioni delle due coniche abbia quattro radici reali coincidenti (click):
∆ = 0 : condizione che garantisce radici multiple, quindi già soddisfatta al secondo punto;
D = 0 : condizione che garantisce due radici doppie, equazione da porre a sistema;
∆0 = 0 : condizione che garantisce una radice tripla, equazione da porre a sistema.
D'altro canto, per via del fatto che l'equazione di quarto grado è stata ottenuta combinando le due coniche in modo tale da elidere y^2, il sistema di tali sei equazioni non presenta come soluzione solo quella desiderata, bensì ne presenta altre due con "c" uguale a quello della conica assegnata, che non risultano accettabili in quanto non comportano una intersezione quadrupla tra le due coniche.
A conti fatti, l'unica soluzione accettabile risulta essere:
a = 91/27, b = 49/54, c = -23/27, d = 2, e = -1/2, f = 0;
91x^2 + 49xy - 23y^2 + 108x - 27y = 0.
Naturalmente alla medesima conica è possibile pervenire studiando il fascio di coniche costruito combinando linearmente la conica C assegnata e la polare di O riferita a C contata due volte, la differenza sta nei calcoli!
"Pigreco2016":
È come se la condizione di iperosculare equivalga a quattro condizioni lineari.
È così: in generale, quando intersechi due curve algebriche, ogni punto di intersezione ha una certa molteplicità, e si parla di punto di tangenza se ha molteplicità almeno $2$, mentre qui si richiede che l'origine sia un punto di intersezione di molteplicità almeno $4$ (avrai forse sentito parlare della circonferenza osculatrice di una curva in un punto, che è definita come l'unica circonferenza tangente in quel punto con molteplicità almeno $3$).
Detto questo, ci sono almeno due metodi:
1) Metodo del fascio: imponendo la tangenza con molteplicità almeno $4$ si ottiene un fascio di coniche con un grado di libertà. Se trovi due coniche distinte del fascio, diciamo di equazioni $P(x,y)=0$ e $Q(x,y)=0$, una conica generica del fascio avrà equazione $a*P(x,y)+b*Q(x,y)=0$, dopodiché troverai quella giusta imponendo il passaggio per il punto $A$.
2) Metodo del sistema (più complicato): metti a sistema la conica da trovare con quella di partenza, e imponi che $(0,0)$ sia una soluzione di molteplicità almeno $4$. Poi, come prima, imponi il passaggio per $A$.
Vorrei risolvere tale problema evitando il metodo dei fasci (la soluzione che mi hai proposto è quella che utilizzavo pure io e purtroppo non parte imponendo delle condizioni lineari o quadratiche alla conica che voglio ricavarmi). Il metodo del sistema invece potrebbe fare al caso mio: dovrei mettere a sistema le due coniche (nella conica da determinare ho già messo le condizioni precedentemente ricavate (passaggio per $O$, e tangenza alla retta $4x-y=0$) tranne quella per il passaggio nel punto $A$:
\begin{cases}
ax^2+2bxy+cy^2-2e(4x-y)=0 \\
x^2+3xy-y^2+4x-y=0
\end{cases}
e imporre che $O$ sia soluzione con molteplicità $4$: cioè potrei risolverlo genericamente (anche qua una bella impresa), trovare quattro soluzioni differenti e poi imporre che siano tutte uguali tra loro e uguali a $O$. Ho ragionato bene?
Vorrei risolvere questo esercizio evitando il più possibile i fasci di coniche (dato che richiede un minimo di preparazione teorica per poter scegliere bene le coniche con il quale scrivere il fascio).
Purtroppo per ora sono riuscito a trovare una soluzione che coinvolge solo parzialmente i fasci di coniche:
Parto dal generico fascio composto dalla conica di partenza e dalla conica che voglio ricavare:
$ax^2+2bxy+cy^2-2e(4x-y)+k(x^2+3xy-y^2+4x-y)=0$, scrivo la matrice associata a tale fascio, mi calcolo il suo determinante (mi uscirà un'equazione di terzo grado in $k$) e lo uguaglio a zero (voglio trovare quei valori di $k$ che mi danno le coniche degeneri). Poi impongo che le tre soluzioni siano tutte coincidenti (per avere solamente una conica degenere distinta). Nell'esercizio in esame trovo immediatamente come soluzione doppia $k_{1,2}=2e$ mentre l'altra è $k_3=a/3+{8b}/3+{16c}/3$.
Ora metto nel fascio $k=2e$ (con la speranza che anche $k_3=2e$ dopo aver determinato la conica che risolve l'esercizio) e noto che la terza riga e la terza colonna (della matrice associata al fascio) sono uguali a zero!! La conica che viene individuata per $k=2e$ è $x^2(a+2e)+2xy(b+3e)+y^2(c-2e)=0$ e impongo che essa sia uguale a $(4x-y)^2=0$. Da questo ricavo subito le due condizioni lineari:
\begin{cases}
a+2e=16c-32e \\
b+3e=-4c+8e
\end{cases}
che messe assieme alle condizioni lineari ricavate precedentemente mi permettono di scrivere un sistema lineare che mi porta a risolvere l'esercizio! La soluzione è: $91x^2+49xy-23y^2+108x-27y=0$.
Ora il mio quesito è: non possiamo scrivere immediatamente delle condizioni sui coefficienti della conica generale (lineari o quadratiche che sia) per l'iperosculabilità tra due coniche (come ad esempio il passaggio per un punto comporta una condizione lineare, la tangenza ad una retta in un suo punto comporta due condizioni lineari, la conoscenza di un'asintoto comporta due condizioni lineari e tutte le restanti condizioni descritte in un qualsiasi libro di geometria universitario) senza utilizzare fasci di coniche e senza faticare così tanto??? Ho dovuto utilizzare un bel pò di fantasia ed intuito per trovare tale risoluzione che mi permettesse di porre delle condizioni sui coefficienti $a,b,c,d,e,f$ e mi sembra che il gioco non valga la candela.
\begin{cases}
ax^2+2bxy+cy^2-2e(4x-y)=0 \\
x^2+3xy-y^2+4x-y=0
\end{cases}
e imporre che $O$ sia soluzione con molteplicità $4$: cioè potrei risolverlo genericamente (anche qua una bella impresa), trovare quattro soluzioni differenti e poi imporre che siano tutte uguali tra loro e uguali a $O$. Ho ragionato bene?
Vorrei risolvere questo esercizio evitando il più possibile i fasci di coniche (dato che richiede un minimo di preparazione teorica per poter scegliere bene le coniche con il quale scrivere il fascio).
Purtroppo per ora sono riuscito a trovare una soluzione che coinvolge solo parzialmente i fasci di coniche:
Parto dal generico fascio composto dalla conica di partenza e dalla conica che voglio ricavare:
$ax^2+2bxy+cy^2-2e(4x-y)+k(x^2+3xy-y^2+4x-y)=0$, scrivo la matrice associata a tale fascio, mi calcolo il suo determinante (mi uscirà un'equazione di terzo grado in $k$) e lo uguaglio a zero (voglio trovare quei valori di $k$ che mi danno le coniche degeneri). Poi impongo che le tre soluzioni siano tutte coincidenti (per avere solamente una conica degenere distinta). Nell'esercizio in esame trovo immediatamente come soluzione doppia $k_{1,2}=2e$ mentre l'altra è $k_3=a/3+{8b}/3+{16c}/3$.
Ora metto nel fascio $k=2e$ (con la speranza che anche $k_3=2e$ dopo aver determinato la conica che risolve l'esercizio) e noto che la terza riga e la terza colonna (della matrice associata al fascio) sono uguali a zero!! La conica che viene individuata per $k=2e$ è $x^2(a+2e)+2xy(b+3e)+y^2(c-2e)=0$ e impongo che essa sia uguale a $(4x-y)^2=0$. Da questo ricavo subito le due condizioni lineari:
\begin{cases}
a+2e=16c-32e \\
b+3e=-4c+8e
\end{cases}
che messe assieme alle condizioni lineari ricavate precedentemente mi permettono di scrivere un sistema lineare che mi porta a risolvere l'esercizio! La soluzione è: $91x^2+49xy-23y^2+108x-27y=0$.
Ora il mio quesito è: non possiamo scrivere immediatamente delle condizioni sui coefficienti della conica generale (lineari o quadratiche che sia) per l'iperosculabilità tra due coniche (come ad esempio il passaggio per un punto comporta una condizione lineare, la tangenza ad una retta in un suo punto comporta due condizioni lineari, la conoscenza di un'asintoto comporta due condizioni lineari e tutte le restanti condizioni descritte in un qualsiasi libro di geometria universitario) senza utilizzare fasci di coniche e senza faticare così tanto??? Ho dovuto utilizzare un bel pò di fantasia ed intuito per trovare tale risoluzione che mi permettesse di porre delle condizioni sui coefficienti $a,b,c,d,e,f$ e mi sembra che il gioco non valga la candela.
Finalmente ho trovato un modo per poter scrivere equazioni lineari sui coefficienti della conica nel caso dell'iperosculabilità nell'origine. Il metodo del sistema è fortemente sconsigliato perché spesso porta alla risoluzione di equazioni di quarto grado (si complica maggiormente la questione quindi). Alla fine è sempre più conveniente il metodo del fascio di coniche: conviene studiare un pò di teoria in più per risparmiare tempo sui calcoli 
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