Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti.
Sappiamo che nella parabola in forma canonica il coefficiente "a" ci dà informazioni riguardo all'ampiezza della parabola (più o meno stretta).
Se ho una parabola non in forma canonica (rototraslata) quale termine della sua equazione può darmi informazioni riguardo all'ampiezza della parabola?
Il problema è sorto riducendo a forma canonica una parabola con il metodo degli invarianti.
Bene, andando a controllare con Geogebra il grafico prima e dopo la riduzione, ho notato che, pur ...
Buonasera a tutti!
Sto studiando la teoria della contrazione, relativa ai sistemi non lineari. Brevemente si cerca una condizione per la quale due traiettorie, distanti un certo \(\displaystyle \delta x \), convergono dopo un certo tempo. Le slide da cui studio definiscono la velocità \(\displaystyle \delta \dot{x}=\frac{\partial f(x,t)}{\partial x} \delta x\), mentre la derivata della distanza al quadrato viene calcolata come segue:
\(\displaystyle \frac{d}{dt} (\delta x^T \delta x)=2 \delta ...
Sia assegnata la curva irriducibile in P^2(K) con K campo descritta dalla seguente equazione
f(x,y,t) = x^4 - 2x^2yt - y^3t + y^2t^2 = 0
1) Determinare il grado della curva e dire di quale curva si tratta.
2) Determinare il numero dei punti doppi cuspidali di prima specie
3) Determinare il numero dei punti doppi ordinari
Riesco a fare il punto 1), ho difficoltà nei punti 2) e 3).
Il grado della curva è 4 perché il max deg = 4 dove deg è il ...
Ciao a tutti, ho un piccolo dubbio che mi è sorto dimostrando la regola di Cramer.
Supponiamo di avere una matrice identità e un vettore colonna di numeri reali presi a caso:
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
e [1,3,-1].
Se sostituisco questa colonna alla i-esima colonna della matrice identità, il determinante avrà il valore dell' i-esimo elemento della vettore di numeri "casuali". Esempio:
......[1 0 0]
A = [3 1 0] det(A) = 1
......[-1 0 1]
........[1 1 0]
B = [0 3 0] det(B) = ...
Sia C una curva nel piano affine complesso di equazione affine (x^2 - y)^2 - y^3 = 0.
Sapendo che l'unico punto singolare è l'origine, trovarne la molteplicità, dimostrare che la sommatoria per i che va da 1 a s di (m con i) * (m con i - 1) = 2 < 6 = (d-1)(d-2) e che C è razionale trovandone una sua parametrizzazione. Dimostrare l'irriducibilità di C.
Scusate per l'utilizzo inappropriato delle formule ma non ho ancora imparato ad inserirle.
A parte questo, come si procede in un esercizio del ...
Ho un vettore le cui componenti sono \(\displaystyle ai, aj, ak \) il simbolo di kroneker \(\displaystyle Dij = 1 se i=j, 0 \) altrimenti.
Cosa vuol dire che la somma lungo \(\displaystyle j \) di \(\displaystyle (Dij)aj = ai \)
Ciao. Generi \( A=\left\{v_1,\dots,v_n\right\} \) lo spazio vettoriale \( V \), e sia \( B=\left\{w_1,\dots,w_r\right\} \) linearmente indipendente. Allora \( r\leqq n \).
Dimostrazione. L'idea è di provare che \( A^{'}=\left\{w_1,v_2,\dots,v_n\right\} \), \( A^{''}=\left\{w_1,w_2,v_3\dots,v_n\right\} \), ecc. generano ancora lo spazio. Una volta provato che \( \langle A'\rangle=V \), discende \( \langle A^{''}\rangle=V \), e così via.
Ciò che non riesco a formalizzarmi è il "e così via": ho ...
Buongiorno,
Ho un problema con un esercizio banale, ma di cui non riesco a venire a capo.
Il testo è il seguente:
Si riferisca lo spazio ad una terna levogira cartesiana ortogonale. Siano assegnate i vettori:
u=2i+2j+2k e v=i+2j-k
Si scriva l'equazione del piano Pigreco passante per O e parallelo ad u e v, e l'equazione della retta r che giace su Pigreco, passa per O ed è ortogonale ad u.
Io ho calcolato, attraverso il prodotto vettoriale dei due vettori assegnati, la normale al piano ed ho ...
Voglio provare a dimostrare in un modo simile a quanto scritto qui che ogni spazio finitamente generato ha una base.
Dimostrazione. Sia \( V \) non banale, finitamente generato da un insieme di \( n \) vettori \( \left\{v_1,\dots,v_n\right\} \). Devo provare l'esistenza di un insieme massimale nella famiglia \( \mathcal B \) dei sottoinsiemi linearmente indipendenti dello spazio (e, poiché questo è di tipo finito, posso evitare il lemma di Zorn e amici). L'esistenza di un ...
Ho consultato due/tre fonti e su ognuna ho trovato la seguente definizione per spazio localmente connesso per archi:
per ogni punto $x\in X$ ogni intorno aperto di $x$ contiene un intorno aperto connesso per archi.
Quello che non capisco è: non basterebbe richiedere che ogni punto abbia (semplicemente) un intorno aperto connesso per archi??
Ciao a tutti, sto riscontrando dei problemi riguardo allo svolgimento di un punto ricorrente nelle tracce d'esame. In questo caso è il punto c) del problema. Posso sapere se ho impostato il punto correttamente, se ho commesso errori o se c'è una maniera alternativa di procedere? Grazie
Si consideri la retta
$\{(x = t),(y = 3t - 1),(z = 2t):}$
a) Si scriva l'equazione del fascio di piani passante per $r$
b) Si scriva l'equazione del piano passante per $r$ e per $P=(1,2,0)$
c) ...
Buongiorno, ho trovato difficoltà nello svolgere questi esercizi.
Non so proprio come muovermi per questo vi chiedo un aiuto e ve ne sarei veramente grato .
In particolare per quanto riguarda gli esercizi 2,3 la mia difficoltà non è nel trovare immagine e nucleo ma nello "scrivere" l'applicazione di partenza.invece nell'ex 1 non so proprio dove mettere le mani una volta trovata l'applicazione che a me risulta essere: $f(A)=((2a,b+c),(c+b,2d))$
Ex.1
Nello spazio vettoriale $M (2, R)$ delle ...
Ciao a tutti, ho problemi a capire in base a cosa, la proiezione lineare è una biiezione. In particolare sia $L$ sottospazio di dimensione r in $\mathbb{P}(V)$ e sia $M$ sottospazio di dimensione n-r-1 (con M ed L disgiunti, si ponga $\pi:\mathbb{P}(V)-L \rightarrow M$ definita come $\pi(Q)=<Q,L>\capM$, preso $M'$ sottospazio proiettivo di dimensione uguale a quella di M tale che $M'\capL$ sia vuoto, allora $\pi$ ristretta a $M'$ è una ...
Ciao a tutti, avrei un dubbio su un esempio del libro di testo vi chiederei per favore una mano.
L'esempio è questo:
Se \( U^2 \) ha rispetto ad una base ortonormale \( B \) di \( V^3 \) equazione : \( 3u^1-u^3=0 \)
allora \( U^2=(a)^\bot \) dove \( a\equiv (3,0,-1) \) rispetto alla base \( B \) .
Tutto questo l'ho capito non mi è chiaro pero una cosa, se io volessi trovare una base di \( U^2 \) risolvo l'equazione e trovo che \( \alpha (1/3,0,1) \) è una possibile espressione che ...
Salve sono un nuovo utente, vi pongo l'esercizio che non riesco a risolvere
sia una sfera di equazione cartesiana x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 6y - 2z + 2 = 0
determinare delle equazioni cartesiane per tutti i piani ortogonali al vettore (1,1,2) che formano con la sfera delle circonferenze di raggio r = 2.
Ho già calcolato centro e raggio della sfera, C(-1,3,1) e r = 3
resto in attesa di un vostro aiuto non riesco proprio a continuare
Premetto che la definizione di successione convergente ad un p.to dello spazio mi è chiara in $RR$ ,diverso è nel piano in cui fatico un po’ a capire in quali quadranti c’è convergenza e da quale p.to avrò aperti che contengono i suoi termini. Scrivo l’esercizio:
Munendosi dell’insieme $RR^2$ della topologia $A = { Ø, RR^2 , A_a }_(a>0) $ dove $A_a = ] - a, 0 [ xx ] - ∞, 0[ ∪ ]0,a[ xx ]0, +∞[ $ si determinino gli eventuali p.ti di convergenza della successione ${ x_n = (4 - 1/n, 1)}_(n∈ NN) $ . Soluzione: converge in ...
Buongiorno, avevo un piccolo dubbio su un esercizio assegnato in un compito. Il testo dice:
Trovare il fascio di coniche che si osculano in O=(0,0) tangenti all'asse y e passanti per il punto P=(2,0) e studiarlo.
A partire da questi dati, posso trovare solamente l'unica conica spezzata del fascio(xy=0); tuttavia per poter scrivere un fascio di coniche ce ne vogliono 2. Il problema che mi pongo è se l'esercizio non si può risolvere a meno che nel testo non venga fornita l'equazione di una ...
Siano rispettivamente \( V \) e \( X\subset V \) uno spazio vettoriale, e un suo sottoinsieme contente l'elemento neutro di \( V \). L'insieme \( G_X \) dei sottospazi di \( V \) contenuti in \( X \), ordinato per la relazione di inclusione di \( G(V) \) (l'insieme di tutti i sottospazi di \( V \)), ha elementi massimali.
Dimostrazione. Mi sembra immediato, ma solo a patto di applicare il lemma di Zorn: l'unione di una catena in \( G_X \) è un sottospazio contenuto in \( X \) (una catena è un ...
Salve a tutti! Sto preparando un esame di matematica su matrici e applicazioni lineari.
Mentre svolgevo degli esercizi, mi sono imbattuto in uno che chiede di stabilire la suriettività e l'iniettività dell'applicazione $f:RR^3 -> RR^2$ rispetto alle basi canoniche $ ( ( 1 , 2 , -2 ),( h , 2 , -2h ) ) $ .
Quindi io trovo il valore del parametro $h$ (che è $1$) e così ottengo come nucleo $2$ e come immagine, per via del rango della matrice, $1$.
Ora, ...
Buongiorno a tutti !!
Considero la base di $R^2$: ${V_1=(2,1), V_2=(3,1)}$, e la sua base duale ${∅_1=-x+3y, ∅_2=x-2y}$
Se ${dx,dy}$ è la base canonica dello spazio duale allora $∅_1=-x+3y$ e $∅_2=x-2y$ li posso scrivere come $∅_1=a*dx+b*dy$ e $∅_2=c*dx+d*dy$ ?? in che modo ??
grazie a tutti
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