Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia C una curva nel piano affine complesso di equazione affine (x^2 - y)^2 - y^3 = 0.
Sapendo che l'unico punto singolare è l'origine, trovarne la molteplicità, dimostrare che la sommatoria per i che va da 1 a s di (m con i) * (m con i - 1) = 2 < 6 = (d-1)(d-2) e che C è razionale trovandone una sua parametrizzazione. Dimostrare l'irriducibilità di C.
Scusate per l'utilizzo inappropriato delle formule ma non ho ancora imparato ad inserirle.
A parte questo, come si procede in un esercizio del ...
Ho un vettore le cui componenti sono \(\displaystyle ai, aj, ak \) il simbolo di kroneker \(\displaystyle Dij = 1 se i=j, 0 \) altrimenti.
Cosa vuol dire che la somma lungo \(\displaystyle j \) di \(\displaystyle (Dij)aj = ai \)
Ciao. Generi \( A=\left\{v_1,\dots,v_n\right\} \) lo spazio vettoriale \( V \), e sia \( B=\left\{w_1,\dots,w_r\right\} \) linearmente indipendente. Allora \( r\leqq n \).
Dimostrazione. L'idea è di provare che \( A^{'}=\left\{w_1,v_2,\dots,v_n\right\} \), \( A^{''}=\left\{w_1,w_2,v_3\dots,v_n\right\} \), ecc. generano ancora lo spazio. Una volta provato che \( \langle A'\rangle=V \), discende \( \langle A^{''}\rangle=V \), e così via.
Ciò che non riesco a formalizzarmi è il "e così via": ho ...
Buongiorno,
Ho un problema con un esercizio banale, ma di cui non riesco a venire a capo.
Il testo è il seguente:
Si riferisca lo spazio ad una terna levogira cartesiana ortogonale. Siano assegnate i vettori:
u=2i+2j+2k e v=i+2j-k
Si scriva l'equazione del piano Pigreco passante per O e parallelo ad u e v, e l'equazione della retta r che giace su Pigreco, passa per O ed è ortogonale ad u.
Io ho calcolato, attraverso il prodotto vettoriale dei due vettori assegnati, la normale al piano ed ho ...
Voglio provare a dimostrare in un modo simile a quanto scritto qui che ogni spazio finitamente generato ha una base.
Dimostrazione. Sia \( V \) non banale, finitamente generato da un insieme di \( n \) vettori \( \left\{v_1,\dots,v_n\right\} \). Devo provare l'esistenza di un insieme massimale nella famiglia \( \mathcal B \) dei sottoinsiemi linearmente indipendenti dello spazio (e, poiché questo è di tipo finito, posso evitare il lemma di Zorn e amici). L'esistenza di un ...
Ho consultato due/tre fonti e su ognuna ho trovato la seguente definizione per spazio localmente connesso per archi:
per ogni punto $x\in X$ ogni intorno aperto di $x$ contiene un intorno aperto connesso per archi.
Quello che non capisco è: non basterebbe richiedere che ogni punto abbia (semplicemente) un intorno aperto connesso per archi??
Ciao a tutti, sto riscontrando dei problemi riguardo allo svolgimento di un punto ricorrente nelle tracce d'esame. In questo caso è il punto c) del problema. Posso sapere se ho impostato il punto correttamente, se ho commesso errori o se c'è una maniera alternativa di procedere? Grazie
Si consideri la retta
$\{(x = t),(y = 3t - 1),(z = 2t):}$
a) Si scriva l'equazione del fascio di piani passante per $r$
b) Si scriva l'equazione del piano passante per $r$ e per $P=(1,2,0)$
c) ...
Buongiorno, ho trovato difficoltà nello svolgere questi esercizi.
Non so proprio come muovermi per questo vi chiedo un aiuto e ve ne sarei veramente grato .
In particolare per quanto riguarda gli esercizi 2,3 la mia difficoltà non è nel trovare immagine e nucleo ma nello "scrivere" l'applicazione di partenza.invece nell'ex 1 non so proprio dove mettere le mani una volta trovata l'applicazione che a me risulta essere: $f(A)=((2a,b+c),(c+b,2d))$
Ex.1
Nello spazio vettoriale $M (2, R)$ delle ...
Ciao a tutti, ho problemi a capire in base a cosa, la proiezione lineare è una biiezione. In particolare sia $L$ sottospazio di dimensione r in $\mathbb{P}(V)$ e sia $M$ sottospazio di dimensione n-r-1 (con M ed L disgiunti, si ponga $\pi:\mathbb{P}(V)-L \rightarrow M$ definita come $\pi(Q)=<Q,L>\capM$, preso $M'$ sottospazio proiettivo di dimensione uguale a quella di M tale che $M'\capL$ sia vuoto, allora $\pi$ ristretta a $M'$ è una ...
Ciao a tutti, avrei un dubbio su un esempio del libro di testo vi chiederei per favore una mano.
L'esempio è questo:
Se \( U^2 \) ha rispetto ad una base ortonormale \( B \) di \( V^3 \) equazione : \( 3u^1-u^3=0 \)
allora \( U^2=(a)^\bot \) dove \( a\equiv (3,0,-1) \) rispetto alla base \( B \) .
Tutto questo l'ho capito non mi è chiaro pero una cosa, se io volessi trovare una base di \( U^2 \) risolvo l'equazione e trovo che \( \alpha (1/3,0,1) \) è una possibile espressione che ...
Salve sono un nuovo utente, vi pongo l'esercizio che non riesco a risolvere
sia una sfera di equazione cartesiana x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 6y - 2z + 2 = 0
determinare delle equazioni cartesiane per tutti i piani ortogonali al vettore (1,1,2) che formano con la sfera delle circonferenze di raggio r = 2.
Ho già calcolato centro e raggio della sfera, C(-1,3,1) e r = 3
resto in attesa di un vostro aiuto non riesco proprio a continuare
Premetto che la definizione di successione convergente ad un p.to dello spazio mi è chiara in $RR$ ,diverso è nel piano in cui fatico un po’ a capire in quali quadranti c’è convergenza e da quale p.to avrò aperti che contengono i suoi termini. Scrivo l’esercizio:
Munendosi dell’insieme $RR^2$ della topologia $A = { Ø, RR^2 , A_a }_(a>0) $ dove $A_a = ] - a, 0 [ xx ] - ∞, 0[ ∪ ]0,a[ xx ]0, +∞[ $ si determinino gli eventuali p.ti di convergenza della successione ${ x_n = (4 - 1/n, 1)}_(n∈ NN) $ . Soluzione: converge in ...
Buongiorno, avevo un piccolo dubbio su un esercizio assegnato in un compito. Il testo dice:
Trovare il fascio di coniche che si osculano in O=(0,0) tangenti all'asse y e passanti per il punto P=(2,0) e studiarlo.
A partire da questi dati, posso trovare solamente l'unica conica spezzata del fascio(xy=0); tuttavia per poter scrivere un fascio di coniche ce ne vogliono 2. Il problema che mi pongo è se l'esercizio non si può risolvere a meno che nel testo non venga fornita l'equazione di una ...
Siano rispettivamente \( V \) e \( X\subset V \) uno spazio vettoriale, e un suo sottoinsieme contente l'elemento neutro di \( V \). L'insieme \( G_X \) dei sottospazi di \( V \) contenuti in \( X \), ordinato per la relazione di inclusione di \( G(V) \) (l'insieme di tutti i sottospazi di \( V \)), ha elementi massimali.
Dimostrazione. Mi sembra immediato, ma solo a patto di applicare il lemma di Zorn: l'unione di una catena in \( G_X \) è un sottospazio contenuto in \( X \) (una catena è un ...
Salve a tutti! Sto preparando un esame di matematica su matrici e applicazioni lineari.
Mentre svolgevo degli esercizi, mi sono imbattuto in uno che chiede di stabilire la suriettività e l'iniettività dell'applicazione $f:RR^3 -> RR^2$ rispetto alle basi canoniche $ ( ( 1 , 2 , -2 ),( h , 2 , -2h ) ) $ .
Quindi io trovo il valore del parametro $h$ (che è $1$) e così ottengo come nucleo $2$ e come immagine, per via del rango della matrice, $1$.
Ora, ...
Buongiorno a tutti !!
Considero la base di $R^2$: ${V_1=(2,1), V_2=(3,1)}$, e la sua base duale ${∅_1=-x+3y, ∅_2=x-2y}$
Se ${dx,dy}$ è la base canonica dello spazio duale allora $∅_1=-x+3y$ e $∅_2=x-2y$ li posso scrivere come $∅_1=a*dx+b*dy$ e $∅_2=c*dx+d*dy$ ?? in che modo ??
grazie a tutti
Buonasera a tutti. Ho un dubbio da un po' di tempo è spero possiate aiutarmi.
Esercitandomi nella risoluzione di alcuni esercizi sul rango di una matrice ho notato che alcune volte la mia discussione sui parametri sia diversa da quella proposta dalle soluzioni del testo. Il mio quesito è questo: è possibile che la discussione di un parametro sia diversa a seconda di come si riduce a scalini o dovrei ritrovarmi alla fine la stessa identica discussione del libro di testo?
p.s. Sono nuovissimo, ...
Salve, ho qualche problema nel ricavare l'equazione che descrive un certo sottospazio vettoriale conoscendo una sua base.
In particolare mi trovo a dover scrivere l'equazione dell'immagine dell'endomorfismo in \(\displaystyle \mathbb{R^3}\ \) che rispetto alle basi canoniche ha questa matrice associata:
\(\displaystyle
\begin{pmatrix}
h & h - 1 & h + 2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix} \)
dove ovviamente ogni colonna corrisponde a una immagine rispetto a un vettore della base ...
Salve, credo che il mio approccio nel risolvere i problemi più banali di Algebra Lineare sia troppo meccanico. Per spiegare tutto mostrerò un esempio con un esercizio e il tipo di ragionamento che faccio.
Testo
Siano \(\displaystyle v_1 = (2, 1, 0),\ v_2 = (0, 1, 1),\ v_3 = (1, 0, 2) \in \mathbb{R^3}\) e sia \(\displaystyle \mathcal{A} = [v_1, v_2, v_3] \) la corrispondente base di \(\displaystyle \mathbb{R^3}\). Studiare l'endomorfismo \(\displaystyle f: \mathbb{R^3}\ \rightarrow ...
Ciao, ho difficoltà a capire come poter risolvere questo problema! Purtroppo non ho molti appunti e mi devo rivolgere a voi perché su internet non trovo molto sull’argomento.
Devo trovare il prodotto esterno tra:
$\omega$ = $(e^y)*dx^^dz$
$\eta$ = $z*dy$
Tra l’altro so che $\omega$ appartiene a $\Omega^2(R^3)$ e $\eta$ appartiene a $\Omega^1(R^3)$
Grazie in anticipo per l’aiuto
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