Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno a tutti
è possibile, data una matrice, conoscerne il segno degli autovalori senza calcolare il polinomio caratteristico?
é corretto affermare che i segni degli autovalori corrispondono ai segni dei minori di testa?
Ciao,
vorrei chiarire la seguente questione di algebra lineare.
Consideriamo due matrici $A$ e $B$ rettangolari m x n con lo stesso Kernel: $Ker(A) = Ker(B)$.
Come al seguente link si puo' dimostrare allora che le righe di $A$ si possono esprimere come combinazione lineare delle righe di $B$ e viceversa. In altre parole esistono 2 matrici quadrate $L$ e $M$ m x m tali che
$B = LA$ e ...
Il vettore $a =(3, -3, 2)$ è parallelo al vettore $b=(1,b_y,b_z)$.
Come calcolo $b_y$ e $b_z$?
Altro esercizio(ne metterò un altro soltanto)
Sia $C$ la curva affine di equazione $f(x,y):=(y-x)^3-x^4=0$
a) determinare se C è irriducibile o meno
b) Trovare gli eventuali punti singolari di C, le loro molteplicità e determinare le tangenti principali corrispondenti.
c) Trovare gli eventuali asintoti di C.
Motivare le risposte.
svolgimento
per la riducibilità ho pensato di considerare il polinomio su $(K[x])[y]$ e passare al campo dei quozienti di $D=K[x]$.
Se ...
Salve, avrei bisogno perfavore una mano con questo esercizio banale che però non ho capito a fondo: [tex]\Re^{3}[/tex] Dire per quali valori di [tex]k \in \Re[/tex] i seguenti insiemi sono sottospazio:
[tex]W={L(1,1,k),(1,1,1)}[/tex] [tex]W={(0,k,1),(0,1,2)}[/tex] [tex]W={(x,y,z)\in \Re | 3x=y=k)}[/tex]
Non ho la soluzione ma penso che il primo, per qualunque k dato che l'insieme di due vettori formano un sottospazio che poi può essere completato a base con la base canonica il secondo : 2 ...
Date due basi B e B’ associate ad una stessa applicazione lineare, è corretto affermare che la matrice del cambio di base è quella matrice che ha per colonne le coordinate della base di partenza, rispetto alla nuova base?
Es. Se ho $x’=Dx$ la matrice D ha per colonne le coordinate di x, rispetto x’.
Se non fosse così, potreste spiegarmi come determinare la matrice del cambio di base?
Grazie
Salve sono nuovo del forum! Scusatemi se vieto qualche regola, avrei un problema semplice che non riesco a risolvere, ed è il seguente: Siano P,A,Q matrici invertibili 4x4. Dire perchè [tex]PAQ^{-1}[/tex] è invertibile e scrivere un'espressione per la sua inversa.
Io ho ragionato così: P è invertibile (anche A e Q) Dalle proprietà delle matrici invertibili so che se
[tex]P*P^{-1}=I_{n}[/tex] [tex]A*A^{-1}=I_{n}[/tex] e [tex]Q*Q^{-1}=I_{n}[/tex] quindi ...
Una parametrizzazione di una superficie è definita essere un'applicazione sufficientemente regolare (ad esempio $C^\infty$) e tale che il differenziale sia iniettivo in ogni punto o, equivalentemente se lo Jacobiano associato al differenziale ha rango 2.
Qual è il motivo di tale definizione? Mi pare ricordare che un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo banale e questo spiegherebbe l'equivalenza delle condizioni, ma perché occorre pensarla così?
Ciao a tutti, ho una domanda riguardante il prodotto vettoriale in un sottospazio il cui prodotto scalare non è canonico.
Alcuni giorni fa durante un esame ho trovato un esercizio che mi chiedeva di trovare un una base (di un sottospazio di dimensione 3) ortogonale secondo un prodotto scalare non canonico. Il procedimento corretto da fare penso fosse l' Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, tuttavia al terzo vettore mi sono trovato uno 0 ad un denominatore e quindi impossibilitato ad eseguire l ...
Anticipatamente grazie!
Ho qualche dubbio relativo alla seguente domanda:
Data la conica C di equazione
[size=150]5x^2+8y^2−3x−6y = 0[/size]
è vero che non esiste nessuna rotazione del piano che trasforma la sua equazione nella forma
[size=150]αX2 + βY 2 = γ ?[/size]
Le coniche ci sono state spiegate senza alcuna dimostrazione e le rotazioni sono state introdotte semplicemente come strumento per ottenere la forma canonica di una conica non degenere.
Alla luce di quello che so, ho ...
Ciao!
avrei bisogno di conferme sul seguente esercizio
sia $C$ la curva affine di equazione $f(x,y):=(x^2-1)^2+(y^2-1)^2-1=0$
a) trovare i punti singolari
b) trovare le tangenti principali a ciascun punto singolare
c) trovare i punti impropri
d) vi sono punti impropri, che sono singolari della chiusura proiettiva di C? motivare la risposta.
svolgimento
a) pongo a zero le derivate parziali e ottengo il sistema
${((x^2-1)x=0),((y^2-1)y=0):}$
tra tutti i punti che si ottengono(sono 7), gli unici che ...
Ciao. Siano \( U \), \( V \) due spazi vettoriali di dimensione finita, e siano \( U^* \) ed \( V^* \) i loro duali.
Come premessa ricordo che, a basi e basi duali degli spazi fissate, è (con \( \circ \) indico la dualità canonica)
\[
v\circ\xi = \sum_i x_iy_i
\] per ogni vettore \( v\in V \) e \( \xi\in V^* \) di coordinate \( x_i \) e \( y_i \) rispettivamente. Ricordo anche che, se \( \phi\colon U\to V \) è lineare, esiste un'unica mappa \( \phi^*\colon V^*\to U^* \) tale ...
Salve a tutti! Ho nuovamente bisogno del vostro aiuto per risolvere il seguente esercizio.
Sia $\F: RR^3rarrRR^3$ l'operatore lineare avente la matrice
$\A=((0,1,0),(0,0,1),(-1,1,1))$
quale matrice associata rispetto alla base $\B={(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)}$ di $\RR^3$.
-Sia $\U$ il sottospazio vettoriale di $\R^3$ generato dai vettori $\(-1,1,2)$ e $\(0,-1,2)$ e sia $\W=F(U)$. Verificare se risulta $\RR^3=U+F(U)$ (somma diretta! Non so scrivere in formule il ...
Salve!
Sto cercando di risolvere questo esercizio ma non sono sicura di come sto agendo e per giunta non riesco a risolvere il secondo punto. L'esercizio è il seguente:
Sia data la matrice
$\A=((1,3,2),(4,0,1))$
-Determinare l'applicazione lineare $\T : RR^3 rarr RR^2$ che ammette $\A$ come matrice associata rispetto alle basi canoniche di $RR^3$ e $RR^2$.
-Determinare inoltre l'applicazione lineare $\f : RR^3 rarr RR^2$ che ammette $\A$ come matrice ...
Ciao, ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio.
- Si scelga un valore di k in modo tale che i vettori u e v risultino ortogonali tra loro, e per questa particolare scelta di k si determini un terzo vettore ortogonale a entrambi.
u= (1-k, 1, k), v= (1+2k, 1+k, 1)
Per la prima parte dell'esercizio non ho problemi, attraverso il prodotto scalare (=0) trovo il valore di k, ma non sono sicura su come trovare un terzo vettore ortogonale a entrambi. Faccio il prodotto vettoriale tra u e v?
Ciao, ho dei dubbi sulla risoluzione di questo esercizio, dopo aver fatto il determinante della matrice dei coefficienti, e aver stabilito la loro dipendenza lineare, non so come andare avanti (forse sbaglio qualcosa nei calcoli).
Riporto il testo
Si determini per quali valori del parametro k è possibile scrivere il vettore w come combinazione lineare di u e v.
u= (1-k, 1, k) v= (1+2k, 1+k, 1) w= (1, 2, 2)
Salve a tutti, sono nuovo di qui, ma vorrei subito partire in quarta e postare un mio primo esercizio che da giorni mi tormenta XD. Spero di ricevere aiuti da parte vostra, grazie.
Sia a€R e T:R^3 --> R^3 una funzione tale che
( 1, 2, 3 ) -> ( 2, 1, 1 )
( 3, 1, 1 ) -> ( 1, 1, 3 )
( 1, 1, 4 ) -> ( 1 0 -2 )
( 4, 1, -7 ) -> ( 1, 3, 13 )
( 2, 0, -3 ) -> ( a-2, a-1, a )
Al variare di a, Discutere se T è un morfismo.
______o__________
Per prima cosa ho provato a generare con i vettori di ...
Ciao ragazzi! Sto studiando come calcolare autovalori ed autovettori (per Fondamenti di Automatica) e il procedimento l'ho capito, ma ci sono alcune cose che non mi sono chiare. Guardate ad esempio l'immagine che ho caricato: nei primi due casi, ovvero per $ lambda 1 $ e $ lambda 1 $ , si va ad impostare un sistema di 3 equazione in tre incognite, bene! Ma allora perchè poi si lascia il termine $ b $ come variabile indipendente? In base a cosa lo scelgo?
Nel caso del ...
Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi.
Supponiamo che io debba risolvere un sistema lineare la cui matrice dei coefficienti (ed eventualmente anche la colonna dei termini noti) dipenda da un parametro k. Per sapere se il sistema lineare è compatibile, applico Rouchè-Capelli e per fare ciò ho bisogno di ridurre la matrice (A|b) a scalini.
Il mio dubbio è il seguente: se nell'annullare un elemento ho bisogno, ad esempio, di dividere per k imponendo che k sia diverso da 0, come devo ...
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