Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno, sto leggendo gli appunti inerenti alle forme bileneari, in particolare vengono introdotti:
i) Esempio:
$A in M_(m,n)(K)$ matrice, ad essa è possibile assocciare l'applicazione lineare $f_A : K^n times K^m to K$ definita come $f_A(v,w)=v^tAw. $
ii) Proposizione:
Siano ${v_1,...,v_n}$, ${w_1,...,w_m}$ basi rispettivamente di $V$ $W$ e $K$ campo, inoltre $A=(a_(ij)).$
Allora esiste un'unica applicazione bilineare $f:VtimesW to K$ tale che ...
Ho notato che molti utenti pongono domande sulla risoluzione dei sistemi lineari e ho pensato che un topic generale di “orientamento” nell'argomento potesse essere utile. A mio giudizio questa è una delle questioni più meccaniche in assoluto e un piccolo riassunto potrebbe tornare utile a molti.
Faccio notare che Rouchè Capelli è fondamentale nonchè comodissimo per trattare la discussione di sistemi con parametro!
Supponiamo di avere un sistema lineare a [tex]m[/tex] equazioni ed [tex]n[/tex] ...
sto cercando di risolvere questo "quesito" un po' particolare ma non ho davvero idea su come procedere.
"Si trovi un algoritmo che, dato un vettore generico $x in CC^n$, norma euclidea di $x$ pari a $1$, faccia si che $(x,V_2,...,V_n)$ sia base ortonormale di $CC^n$
ciò a cui sono giunto è questo:
il problema sta a trovare una base di $CC^n$ che contiene sempre $x$: infatti una volta trovata una base che contiene ...
ciao a tutti, spero possiate aiutarmi in questa che credo dovrebbe essere una semplice dimostrazione.
partendo dalla definizione di convessità:
Un insieme $S sube RR^n$ è un insieme convesso se per ogni coppia di punti $x,y in S$ il segmento congiungente i due punti è contenuto in $S$, ossia
$lambda in [0,1]\ =>\ (1-lambda) x + lambda y in S$
dimostrare che un iperpiano:
$H = \{ x in RR^n :\ A^T * x = b \}$
è un insieme convesso
P.S.: $A^T$ sta per $A$ trasposta.
Ho scoperto di una bellissima prova topologica sull'infinità dei numeri primi di Furstenberg. Ve la propongo come esercizio:
Muniamo \( \mathbb{Z} \) della seguente topologia.
Sia \( A_{a,b} = \{ an +b \mid n \in \mathbb{Z} \} \). Diciamo che \( U \subset \mathbb{Z} \) è aperto se e solo se è vuoto oppure è scrivibile come unione di progressioni aritmetiche, i.e.
\[U = \bigcup_{j \in J} A_{a_j,b_j } \]
con \( a_j \neq 0 \) per ogni \(j \in J \).
a) Dimostrare che \( A_{a,b} \) è sia aperto ...
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Studente Anonimo
22 feb 2021, 19:34
Salve. A Geometria 1 abbiamo fatto un risultato che mi ha interessato particolarmente e su cui mi è sorto un dubbio. Il risultato in questione è quello che ci dice che presi due spazi vettoriali $V$ e $W$ con $V$ finitamente generato e preso un riferimento (base ordinata) su $V$ e un insieme ordinato di vettori di $W$ equipotente a questo riferimento, allora se ho una funzione dal riferimento questo insieme ordinato esiste ...
Salve, ho una perplessità. Una domanda da testo d'esame dice:
"Considera \(A\in M^{n,n}(\mathbb{R})\). Dimostra se sia vera o falsa la seguente relazione: $A$ è diagonalizzabile se e solo se $A^2$ è diagonalizzabile."
Da dove posso partire? Va bene considerare la definizione formale di matrice diagonalizzabile, quindi iniziare col dire se è simile ad una matrice diagonale?
Non so davvero dove sbattere la testa, se mi poteste dare qualche dritta ve ne sarei grato.
salve, qualcuno mi sa dare una definizione precisa di "funzione univocamente determinata" da dei valori? ad esempio, se $f: X -> Y $ con X separabile e Y di Hausdorff, si ha che f è univocamente determinata da un insieme numerabile di valori. cosa vuol dire? (non parlo delle trasformazioni lineari che sono univocamente determinate dai valori assunti su una base, vorrei una definizione più generale da usare in un esercizio e non l'ho trovata)
Salve. Qualcuno può cortesemente dimostrare l'unicità dell'elemento neutro del prodotto tra matrici? Sia nel caso $ A*Idn=A $ che $ B*Idn=B$
Salve, ho il seguente esercizio che non riesco a capire cosa chiede.
Dati tre punti $A,B,C$ in $\mathbb(R^2)$, dimostrare che l’inviluppo convesso dei tre punti, cioè il più
piccolo insieme convesso $T$ che contiene $A,B,C$, è dato da $T=\{X \in \mathbb(R)^2: X=\alpha A+\beta B+\gamma C$ per qualche terna di numeri $\alpha,\beta,\gamma>=0$ con $\alpha+\beta+\gamma=1\}$
Per me questa è proprio la definizione di inviluppo convesso quindi mi trovo in difficoltà. Non ho capito cosa bisogna fare
Ciao a tutti! Ho un esercizio che mi chiede di verificare se, data un applicazione lineare $f$, , dove $V=RR^4$ $U=Im(f)$ e $W=Ker(f)$
Fortunatamente in questo caso mi sono trovato un vettore della base dell'immagine che faceva parte anche della base del ker, e quindi vado sicuro che $dim(Ker(f) nnn Im(f))>=1$ quindi la risposta è no.
Ma se non sono così fortunato? che procedimento devo fare per valutare questa ipotesi?
Io avevo pensato di valutare se i vettori ...
Salve dovrei dimostrare che gli autovalori di una matrice unitaria sono numeri complessi di valore assoluto 1. Per quanto riguarda le matrici ortogonali (a coefficienti in $RR$) in aula l'abbiamo dimostrata in questo modo: https://www.matematicamente.it/forum/au ... 77141.html
Mentre per quanto riguarda le matrici unitarie il professore ha proceduto così:
Se $M$ è una matrice unitaria e $v$ è un autovettore di $M$ relativo all'autovalore ...
se ho un autovalore nullo, esiste l'autovettore (quindi un autovettore che sia diverso da zero)?
salve, a volte trovo definito un ricoprimento di un insieme X come "una famiglia $A$ di sottoinsiemi tale che $X= bigcup {B: B in A}$", altre volte come "una famiglia $A$ di sottoinsiemi tale che $Xsubseteq bigcup {B: B in A}$", quale delle due definizioni prendere per buona?
Chiedo scusa in anticipo per il disordine. Sono nuovo e non ho trovato alcun modo per poter maneggiare le spaziature..
PROPOSIZIONE
Siano
V K-spazio vettoriale, dove $(v_1,..,v_m in V)$ elementi di V, $(a_1,..,a_n,a'_1,..,a'_m in K)$ elementi di K;
$SsubS'subV$ dove $S={v_1,..,v_n}$, $S'={v_1,..,v_n,..,v_m}$ sottoinsiemi di V
Allora $<S>sub<S'>$ , ovvero lo spazio generato da S è contenuto in quello generato da ...
Ho un dubbio probabilmente stupido. Se consideriamo un sottospazio di $RR$ con la topologia euclidea, per esempio $[0,1]$, e la topologia su esso indotta, diciamo che un aperto in $[0,1]$ può avere la forma $[0,b), b<1$ (o equivalentemente $(a,1], a>0$). Se io invece prendessi come spazio l'intervallo $[0,1]$ con la topologia euclidea, un insieme aperto sarebbe definito come lo è su tutto $RR$, quindi come unione di insiemi del ...
Salve a tutti, ho un problema con due esercizi. Vi sarei grato di darmi un parere riguardo al mio errore (che sicuramente c'è ).
1) Determinare la segnatura della forma bilineare simmetrica di $RR^3$ associata alla matrice:
$A=((1,2,0),(2,3,-2),(0,-2,-1))$.
Allora, molto sinteticamente, trovo gli autovalori e vedo quanti sono positivi, negativi o nulli.
$det(A-lambdaI_3)=lambda^3-3lambda^2-9lambda+3$ (polinomio caratteristico è giusto, controllato con lo strumento online di WolframAlpha)
Il problema è che non riesco a ...
Salve. Nel corso di Geometria 1, nella parte di Algebra Lineare, abbiamo dimostrato un mese fa il teorema di Steinitz per spazi vettoriali finitamente generati. Per mia curiosità, ho provato a farlo per spazi vettoriali non finitamente generati e il professore gentilmente ha controllato la dimostrazione, tuttavia disse che anche se l'impostazione generale era corretta, c'erano alcuni punti da chiarire. Io ho cercato di migliorare la scrittura della dimostrazione (salvo un piccolo punto che non ...
La traccia di un esercizio è: "Sia Y un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Se Y è privo di punti isolati, dimostrare che anche cl(Y) [chiusura di Y] è privo di punti isolati."
So che $cl(Y)= Y \cup D(Y)$ dove con D(Y) intendo il derivato di Y. Ora poiché i punti di accumulazione di Y non sono sicuramente isolati, e Y per ipotesi è privo di punti isolati, ottengo la tesi. Si può dimostrare così o sto sbagliando?
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