Dimensione della somma degli spazi vettoriali
Buonasera devo calcolare la dimensione della somma dei seguenti spazi vettoriali in $RR^5$:
$U1:{\(x_1+x_3-x_4=0), (x_1-x_2-x_3+x_5=0), (x_2+2x_3-x_4-x_5=0):}$
$U2:{\(x_1-2x_2-2x_4+2x_5=0), (x_1-x_2-x_4+x_5=0), (x_2+x_4-x_5=0):}$
Io ho ragionato così: siccome ci troviamo in $RR^5$ vuol dire che al più ci sono 5 vettori linearmente indipendenti. Sono quindi passato dal sistema lineare alla matrice e le ho ridotte entrambe a scala.
$U1$ $((1,0,1,-1,0),(0,-1,-2,-1,1),(0,0,0,-2,0))$
Il rango della matrice è quindi 3 perché ci sono 3 pivot (e in una matrice a scala pivot e rango coincidono) e la dimensione dello spazio delle soluzioni è 2 perché le variabili sono 5 e il rango 3.
$U2$ $((1,0,0,0,0),(0,1,0,1,-1),(0,0,0,0,0))$
Il rango qui mi viene 2 e dunque la dimensione dello spazio delle soluzioni è 3.
Iniziano i problemi... ho tentato di applicare la formula di Grassmann.
$dim(U)+dim(W)=dim(U+W)+dim(U$ $nn$ $W)$
Io so che la somma tra $dim(U)+dim(W)$ (nel nostro caso tra $U1$ e $U2$) è uguale a 5 e quindi o $dim(U+W)$ è ad esempio uguale a 4 e $dim(U$ $nn$ $W)$ è uguale a 1 oppure la somma è uguale a 3 e l'intersezione uguale a 2 e così via. Proprio perché la somma sappiamo che deve essere uguale a 5 (lo abbiamo dimostrato prima) e a maggior ragione perché ci troviamo in $RR^5$.
Ora ho provato dunque a scrivere un'altra matrice contente i vettori linearmente indipendenti di $U1$ e di $U2$ che mi viene di rango 3. Nella mie mente in questo modo ho trovato i vettori linearmente indipendenti di $U1+U2$ e dunque l'intersezione. Ditemi se tutto ciò che ho scritto ha un minimo di senso (spero di sì). Intanto vi auguro una buona serata e vi ringrazio dell'aiuto.
$U1:{\(x_1+x_3-x_4=0), (x_1-x_2-x_3+x_5=0), (x_2+2x_3-x_4-x_5=0):}$
$U2:{\(x_1-2x_2-2x_4+2x_5=0), (x_1-x_2-x_4+x_5=0), (x_2+x_4-x_5=0):}$
Io ho ragionato così: siccome ci troviamo in $RR^5$ vuol dire che al più ci sono 5 vettori linearmente indipendenti. Sono quindi passato dal sistema lineare alla matrice e le ho ridotte entrambe a scala.
$U1$ $((1,0,1,-1,0),(0,-1,-2,-1,1),(0,0,0,-2,0))$
Il rango della matrice è quindi 3 perché ci sono 3 pivot (e in una matrice a scala pivot e rango coincidono) e la dimensione dello spazio delle soluzioni è 2 perché le variabili sono 5 e il rango 3.
$U2$ $((1,0,0,0,0),(0,1,0,1,-1),(0,0,0,0,0))$
Il rango qui mi viene 2 e dunque la dimensione dello spazio delle soluzioni è 3.
Iniziano i problemi... ho tentato di applicare la formula di Grassmann.
$dim(U)+dim(W)=dim(U+W)+dim(U$ $nn$ $W)$
Io so che la somma tra $dim(U)+dim(W)$ (nel nostro caso tra $U1$ e $U2$) è uguale a 5 e quindi o $dim(U+W)$ è ad esempio uguale a 4 e $dim(U$ $nn$ $W)$ è uguale a 1 oppure la somma è uguale a 3 e l'intersezione uguale a 2 e così via. Proprio perché la somma sappiamo che deve essere uguale a 5 (lo abbiamo dimostrato prima) e a maggior ragione perché ci troviamo in $RR^5$.
Ora ho provato dunque a scrivere un'altra matrice contente i vettori linearmente indipendenti di $U1$ e di $U2$ che mi viene di rango 3. Nella mie mente in questo modo ho trovato i vettori linearmente indipendenti di $U1+U2$ e dunque l'intersezione. Ditemi se tutto ciò che ho scritto ha un minimo di senso (spero di sì). Intanto vi auguro una buona serata e vi ringrazio dell'aiuto.
Risposte
Hai sbagliato i conti 
Comunque l'idea è: trova due basi, e guarda se l'unione di queste due basi è ancora un insieme di vettori l.i.
Se non ho sbagliato io fa \( 4 \).
Comunque l'idea è: trova due basi, e guarda se l'unione di queste due basi è ancora un insieme di vettori l.i.
Se non ho sbagliato io fa \( 4 \).
Effettivamente avevo commesso un errore nella riduzione a gradini della matrice $U1$. Ora ho corretto e mi vengono entrambe di dimensione $3$. Rifacendo i calcoli quindi la somma tra $dim(U)+dim(W)$ non è più $5$, ma diventa $6$. Ho riprovato a rifare la matrice con i $4$ vettori linearmente indipendenti e mi viene con $4$ pivot. Non ho capito però se il ragionamento dietro a queste operazioni è giusto.
Lei quando mi dice di prendere delle basi intende le basi canoniche? Ma in ogni caso queste basi le devo mettere all'interno della matrici ridotte a gradini $U1$ e $U2$ e rifare l'eliminazione di Gauss per verificare l'indipendenza lineare?
Grazie.
Lei quando mi dice di prendere delle basi intende le basi canoniche? Ma in ogni caso queste basi le devo mettere all'interno della matrici ridotte a gradini $U1$ e $U2$ e rifare l'eliminazione di Gauss per verificare l'indipendenza lineare?
Grazie.
\( \newcommand{\pt}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \)Lei chi?
Se non ho sbagliato i conti, hai che
\[
U_1 = \left\{\pt{x_1\\x_2\\\cdots\\x_5} : \begin{aligned}x_1 &= x_4 - x_3\\x_2 &= -2x_3 + x_4 + x_5\end{aligned}\right\}
\qquad
U_2 = \left\{\pt{x_1\\x_2\\\cdots\\x_5} : \begin{aligned}x_1 &= 0\\x_2 &= -x_4 + x_5\end{aligned}\right\}
\] Allora puoi scrivere quei sottospazi come
\[
U_1 = \left\langle\pt{-1\\-2\\1\\0\\0},\pt{1\\1\\0\\1\\0},\pt{0\\1\\0\\0\\1}\right\rangle
\qquad
U_2 = \left\langle\pt{0\\0\\1\\0\\0},\pt{0\\-1\\0\\1\\0},\pt{0\\1\\0\\0\\1}\right\rangle
\]
Ora. Se hai due sottospazi \( W_1 \) e \( W_2 \) di uno spazio \( V \), di base rispettivamente \( \mathcal W_1 \) e \( \mathcal W_2 \), la somma \( W_1 + W_2 \) è esattamente il sottospazio \( \langle\mathcal W_1\cup\mathcal W_2\rangle \) generato dall'unione delle loro basi. E, siccome \( \mathcal W_1\cap\mathcal W_2 \) genera \( W_1 + W_2 \), lì ha senso cercare una base (si vede a occhio qual è).
Se non ho sbagliato i conti, hai che
\[
U_1 = \left\{\pt{x_1\\x_2\\\cdots\\x_5} : \begin{aligned}x_1 &= x_4 - x_3\\x_2 &= -2x_3 + x_4 + x_5\end{aligned}\right\}
\qquad
U_2 = \left\{\pt{x_1\\x_2\\\cdots\\x_5} : \begin{aligned}x_1 &= 0\\x_2 &= -x_4 + x_5\end{aligned}\right\}
\] Allora puoi scrivere quei sottospazi come
\[
U_1 = \left\langle\pt{-1\\-2\\1\\0\\0},\pt{1\\1\\0\\1\\0},\pt{0\\1\\0\\0\\1}\right\rangle
\qquad
U_2 = \left\langle\pt{0\\0\\1\\0\\0},\pt{0\\-1\\0\\1\\0},\pt{0\\1\\0\\0\\1}\right\rangle
\]
Ora. Se hai due sottospazi \( W_1 \) e \( W_2 \) di uno spazio \( V \), di base rispettivamente \( \mathcal W_1 \) e \( \mathcal W_2 \), la somma \( W_1 + W_2 \) è esattamente il sottospazio \( \langle\mathcal W_1\cup\mathcal W_2\rangle \) generato dall'unione delle loro basi. E, siccome \( \mathcal W_1\cap\mathcal W_2 \) genera \( W_1 + W_2 \), lì ha senso cercare una base (si vede a occhio qual è).
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