Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti!
Sto riscontrando dei grandi problemi sulla risoluzione di un sistema lineare parametrico da me inventato che è il seguente:
$\{(X-(\lambda+1)Y+2Z=3),(-X+Y+(2\lambda-1)Z=3\lambda),(2X+Y+\lambdaZ=2),(-X+4Y-2Z=\lambda-1),(3X+4Y-2\lambdaZ=1-\lambda):}$
Mi è stato suggerito da un utente del forum il metodo di Gauss ma vorrei cercare di risolverlo senza questo metodo poiché, sebbene conosca il teorema dei minori orlati e il teorema di Rouchè-Capelli, a volte non so come muovermi davanti a un sistema. Come mi è stato suggerito dagli utenti di questo forum, abbiamo cominciato a lavorare ...
Buona sera, volevo proporvi il seguente esercizio che non riesco a capire.
La seguente applicazione è lineare da $RR^2$ ad $RR^3$?
$T(x,y) := (x−2y , 0 , y−sqrt(2) x)$
Applicando la definizione di applicazione lineare io so che, l'applicazione $T$ è lineare se:
1. $T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2)$
2. $T(kv) = kT(v)$
nel caso dell'esercizio:
1. ho:
$T((x_1,y_1)+(x_2,y_2)) = T(x_1+x_2 , y_1+y_2) = (x_1+x_2-2y_1-2y_2 , 0 , y_1+y_2−sqrt(2) x_1−sqrt(2) x_2) $
e:
$T(x_1,y_1) = (x_1-2y_1 , 0 , y_1-sqrt(2) x_1)$, $T(x_2,y_2) = (x_2-2y_2 , 0 , y_2−sqrt(2) x_2)$
che sommati sono uguali alla precedente e quindi la prima proprietà è ...
Buongiorno vorrei un chiarimento circa questo esercizio.
Si determinino tutti i valori del parametro n ∈ $ Z_4 $ tali che la matrice $ A_n $ = $ ( ( n , 1 , 0 ),( 3 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 2 ) ) $ $ in M_3(Z_4) $ è invertibile, e per ciascuno di essi si determini la matrice inversa.
Visto che una matrice è invertibile se il $ det != 0 $ ho calcolato il $ det $ in $ n $ e l'ho posto $ != 0 $ .
Ho usato Sarrus visto che è una matrice $ 3 x 3 $ ed è ...
Il prof di topologia per concludere il corso ci ha fatto un introduzione, di 2 minuti, sul teorema di Adams, il cui enunciato è
Esiste in \( \pi_{2n-2}S^n \) un'applicazione d'invarianza di Hopf di grado \(1\) se e solo se \(n = 2,4,8\).
Poi ha aggiunto che
E se aggiungiamo \(1 \), per avere dunque \(n=1,2,4,8\) abbiamo che corrisponde esattamente alle dimensioni delle unica \(\mathbb{R}\)-algebre ovvero \( \mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}\), dove con \( \mathbb{H} \) intendo i ...
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Studente Anonimo
17 giu 2020, 13:59
Salve a tutti,
Ho un esercizio che proprio non riesco a comprendere la domanda.
Siano \(\displaystyle A= \{ a1,a2,a3,a4 \} \) e \(\displaystyle B= \{ b1,b2,b3,b4,b5 \} \) . (Non si vedono ma ci sono delle parentesi graffe che racchiudono le liste di elementi ).
Quante sono le applicazioni \(\displaystyle f : A \rightarrow B \) tali che \(\displaystyle f(a2) = b4 \) ?
Quante sono le applicazioni iniettive \(\displaystyle f : A \rightarrow B \) tali che \(\displaystyle f(a3) = b2 \) ?
Per ...
Buongiorno, avrei un dubbio sulla costruzione di un piano proiettivo a partire da uno spazio vettoriale su un corpo non commutativo (quindi, per evitare fraintendimenti, gruppo abeliano rispetto alla somma e gruppo rispetto al prodotto).
La definizione delle coordinate omogenee "risente" della mancanza della commutativa, bisogna stare bene attenti alla parte in cui si moltiplicano gli scalari. Qui il mio dubbio: ciò che ho trovato scritto sul libro è che, se parto da uno spazio vettoriale ...
Salve.
Sono alle prese con la notazione di Einsten. Ho fatto qualche ricerca e credo di aver compreso il ragionamento. Tuttavia leggendo un documento scientifico che utilizza tale notazione, non mi è chiarissimo come la utilizzi con alcuni termini. Ad esempio il termine:
[size=150]u[/size][size=80]l,kk[/size][size=150]u[/size][size=80]l,i[/size]
o il termine
[size=150]u[/size][size=80]k,l[/size][size=150]u[/size][size=80]k,l[/size]
come si scriverebbero utilizzando il normale simbolo di ...
Ciao a tutti! Ho cercato un po' all'interno del forum ma non ho trovato nulla che possa aiutarmi.
Ho queste due domande:
1) Dire se è vero o falso che ogni matrice A ∈ M(3,R) tale che $2A+ 2A^t=I$ è diagonalizzabile su C.
2) Dire se è vero o falso che esistono matrici A,B ∈M(7,R) di rango 1 tali che A+B ha rango 2.
Per il punto 1) ho provato a ricavare una relazione che mi dicesse se la matrice A è normale (o simmetrica) così da usare il teorema spettrale. Per il 2) invece non so proprio ...
Buonasera a tutti! Sto cercando di svolgere questo esercizio, ma non so da dove cominciare. Forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua. Qualcuno può darmi un input, in modo da poterlo risolvere? Grazie in anticipo.
Al variare dei parametri reali $m$,$n$ sia data la famiglia di vettori $\vec a$ $=$ $(m,3m,n)$. Determinare i valori di $m$ ed $n$ affinchè $\vec a$ sia un versore e che il prodotto ...
Sia data una matrice \(\eta=\text{diag}(1,1,1,-1)\). Il mio libro fa questa affermazione: le entrate di questa matrice verranno denotate come \(\eta_{ab}\) o \(\eta^{ab}\) in base alla convenzione di Einstein sugli indici ripetuti. Di conseguenza, data una base ortonormale \(\{e_i\}\) di \(\mathbb{R}^4\) con indice \(1\) e un prodotto interno \(g\), si avrà \(g(e_a,e_b)=\eta_{ab}=\eta^{ab}\).
Fin qui, tutto normale: la posizione degli indici è indifferente ed è puramente legata all'equazione ...
Mi stavo domandando se questa dimostrazione, fatta a corso con il prof, funzione nel caso in cui il grado di un estensione di un campo sia infinito.
Siano \(K\subset L \subset M \) delle estensioni di campi. Allora \( [M : L ] = [M : L ] [L] \)
Sia \( \{ x_i | i \in I \} \) una famiglia generatrice e linearmente indipendenti di \(L \) su \(K\)
Sia \( \{ y_j | j \in J \} \) una famiglia generatrice e linearmente indipendenti di \(M \) su \(L\)
Dimostriamo che \( \{ x_i y_j | i \in I, j \in ...
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Studente Anonimo
9 giu 2020, 15:03
Ciao,
scusate il dubbio banale....prendiamo un aperto $A$ in $R^n$ con la topologia standard. Essendo $A$ aperto esso contiene un palla aperta $B$. Consideriamo quindi la palla chiusa $\bar B$.
Come possiamo mostrare che $\bar B sub A$ ? In altre parole come possiamo mostrare che la chiusura di B appartiene ad $A$ ?
grazie
Ciao a tutti,
ho un dubbio riguardante la molteplicità degli autovalori. Sappiamo che ad autovalori distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti, ma se una matrice ha 2 autovalori coincidenti, è ancora possibile trovare 2 vettori linearmente indipendenti che corrispondono allo stesso autovalore?
Cercando su internet mi pare di aver capito che ad un autovettore con molteplicità algebrica 2 corrisponde un autospazio di dimensione 2, il che risponderebbe affermativamente a quanto ...
Elenco di seguito alcune cose che non ho compreso:
- Supponiamo che $V$ abbia dimensione finita, e sia $e = {e_1, ..., e_n}$ una sua base. Sia $1\leq i \leq n$. Esiste un unico funzionale lineare $\eta_{i}$ tale che $\eta_{i}(e_j) = \delta_{ij}$ dove $ \delta_{ij}$ è il solito simbolo (delta) di Kronecker. Non mi è chiaro come è definita questa funzione.
- Se il funzionale $L: V \rightarrow \mathbb{K}$ non è nullo, la sua immagine è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{K}$ diverso da ...
Salve a tutti!
Ho cercato sul forum esempi/argomenti già aperti simili al mio esercizio ma finora non ho trovato nulla perciò ho pensato (sperando di non aver fatto male) di aprire questo.
Ho un dubbio su un esercizio sulla combinazione lineare di vettori e spero che qualcuno possa aiutarmi
Sono dati i seguenti vettori $\vec a$ = $((1,-1,1))$, $\vec b$ = $((1,1,-1))$ e $\vec c$ = $((-1,k,1))$ con
k $in$ $RR$. Determinati i ...
Vorrei proporvi l'immagine della spirale, e' possibile? Voglio dire: Ho realizzato, eventualmente spiegherò come, una spirale bidimensionale credo originale. Vorrei sentire cosa ne pensate e come la potete definire. Per poterla mostare non vedo altra possibilità che pubblicare in qualche modo la relativa immagine.
Ciao a tutti,
sto svolgendo un esercizio legato a fondamenti di automatica e nel calcolo dell'equilibrio del sistema bisogna studiare gli autovalori di una certa matrice.
Ho il risultato scritto dal prof a cui però non riesco proprio ad arrivare!
lui senza passaggi ricava gli autovalori come nell'immagine.
mi sapreste spiegare come ci è arrivato (senza fare i conti)?
Grazie
E' giusto dire che il vettore (a,b) appartiene a R^2 e il vettore (a,b,c) appartiene a R^3 ?
Cioè assegnato un vettore, dal numero dei suoi componenti ricavo la dimensione dello spazio vettoriale di appartenenza.
Grazie
Ciao
Questa volta ho un problema riguardo ad un passo della dimostrazione di un teorema.
"Marco Manetti a pagina 80, Topologia 2ed,":
Proposizione 4.44 Sia \(f : X \to Y\) un'applicazione. Se \(Y\) è compatto e \(f^{-1}\{y\}\) è compatto per ogni \(y \in Y\), allora anche \(X\) è compatto.
Dimostrazione. A meno di sostituire \(Y\) con \(f(X)\), non è restrittivo supporre che \(f\) sia surgettiva; per ogni \(A \subset X\) definiamo \[A^\prime = \{ y \in Y \mid f^{-1}\{y\} ...
Buonasera a tutti, stavo svolgendo un esercizio di algebra e non ho capito i passaggi per risolvere un sistema. Riporto il testo:
Sia $f$:$RR^3$ --> $RR^3$ l'endomorfismo definito da:
$f(1,2,1) = (1,9,-5)$
$f(2,1,1) = (4,10,6)$
$f(1,0,-1) = (1,1,3)$.
Debo studiare la funzione e determinare le equazioni cartesiane di $Kerf$ e $Imf$.
Il mio dubbio esattamente è:
Una volta che considero tre basi canoniche $e_1= (1,0,0) , e_2=(0,1,0) , e_3=(0,0,1)$ e imposto il ...
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