Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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E' giusto dire che il vettore (a,b) appartiene a R^2 e il vettore (a,b,c) appartiene a R^3 ?
Cioè assegnato un vettore, dal numero dei suoi componenti ricavo la dimensione dello spazio vettoriale di appartenenza.
Grazie
Ciao
Questa volta ho un problema riguardo ad un passo della dimostrazione di un teorema.
"Marco Manetti a pagina 80, Topologia 2ed,":
Proposizione 4.44 Sia \(f : X \to Y\) un'applicazione. Se \(Y\) è compatto e \(f^{-1}\{y\}\) è compatto per ogni \(y \in Y\), allora anche \(X\) è compatto.
Dimostrazione. A meno di sostituire \(Y\) con \(f(X)\), non è restrittivo supporre che \(f\) sia surgettiva; per ogni \(A \subset X\) definiamo \[A^\prime = \{ y \in Y \mid f^{-1}\{y\} ...
Buonasera a tutti, stavo svolgendo un esercizio di algebra e non ho capito i passaggi per risolvere un sistema. Riporto il testo:
Sia $f$:$RR^3$ --> $RR^3$ l'endomorfismo definito da:
$f(1,2,1) = (1,9,-5)$
$f(2,1,1) = (4,10,6)$
$f(1,0,-1) = (1,1,3)$.
Debo studiare la funzione e determinare le equazioni cartesiane di $Kerf$ e $Imf$.
Il mio dubbio esattamente è:
Una volta che considero tre basi canoniche $e_1= (1,0,0) , e_2=(0,1,0) , e_3=(0,0,1)$ e imposto il ...
Buongiorno ragazzi, avrei una piccola domanda... Frequento il corso di ingegneria informatica, e devo affrontare l'esame di Geometria. La materia mi piace molto e non ho alcun tipo di problema, riesco a svolgere qualsiasi tipo di esercizio in breve tempo e con ottimi risultati. L'unica pecca è : rette e piani.
E' un argomento che non abbiamo praticamente quasi mai trattato se non in una lezione (con questi problemi e lezioni online), e siccome mi fa molta rabbia il fatto di affrontare senza ...
A proposito di un sistema lineare Ax = b possiamo affermare che:
• se b = 0, esiste almeno una soluzione.
• se A non è una matrice quadrata, la soluzione non è mai unica.
• se le soluzioni sono infinite, la matrice non è quadrata.
• Nessuna delle altre.
Quale è corretta?
Io direi la uno, mentre la due non lo è perché se A non è quadrata, Ax lo può comunque essere no?
Sia A una matrice n × n reale. Quale affermazione è vera?
• Se ogni autovalore di A è reale e regolare si puo trovare in Rn un ...
Ciao a tutti!
Mi ritrovo, in un corso a carattere informatico, con un quesito che definirei di algebra lineare e che non saprei da che parte cominciare ad affrontare, visto che la materia non è stata approfondita nel corso e le mie vaghe reminiscenze sono un po' datate ormai.
Allora il problema è il seguente: sia data una matrice $ A \in R^(n *d) $ e si supponga di avere due collezioni di vettori unitari a coppie ortogonali $ {v_1, ...., v_k} $ e $ {w_1, ...., w_k} $ tali che ...
Ciao,
vi chiedo aiuto per un dubbio sulla derivata covariante inclusa la sua notazione nel contesto della geometria differenziale applicata alle varietà (differential manifold).
In questo video XylyXylyX (54:00) viene presentata un'introduzione alla derivata covariante facendo riferimento al limite per $\deltap^\alpha \rightarrow 0$ della frazione li riportata.
Il primo dubbio e' sul fatto che la frazione stessa per $\deltap^\alpha \rightarrow 0$ sia effettivamente una quantita' tensoriale. Ho provato a rispondere ...
Ciao a tutti,
Avrei una domanda riguardante la connessione per archi che mi è sorta risolvendo un esercizio.
So che se $X=PcupQ$ dove $P,Q$ sono connessi per archi tali che $PcapQne O/$, allora $X$ risulta connesso per archi. Nel mio caso però ho che:
$X= uuu_{n in NN} (P_n cup Q_n)$ e ho dimostrato che $P_n cup Q_n $ è connesso per archi $AA n in NN$.
Qui arriva il mio dubbio:
Infatti per come sono definiti $P_n$ e $Q_n$ ho che ...
Salve a tutti, ho una tipologia di esercizi che non capisco come risolvere.
Mi viene chiesto di scrivere un listato di sottospazi sotto forma di chiusura lineare $L(B_i)$ dove $B_i$ è una base del sottospazio.Di fianco viene inserito il risultato, e non capisco affatto come sia determinato. Infatti la base non è unica. Vi posto un esercizio richiesto:
$A_1={(x,y)\inR^2 : 2x+5y=0}$
Ciò che ho fatto è stato scrivere l'equazione cartesiana sotto forma matriciale(mentalmente). Banalmente ...
Ciao a tutti. Nel caso in cui io moltiplichi la matrice associata a una funzione lineare per dei coefficienti di una base del dominio ottengo i coefficienti della base del condominio,i quali moltiplicati per la base (del condominio) mi danno l'immagine del vettore iniziale giusto?
Salve a tutti,ho un problema con questo esercizio.
Il testo dice: Si determinino le matrici,rispetto alle basi canoniche,di tutte le applicazioni lineari da R3->R4
tali che f(1,2,-1)=(0,1,0,1), f(3,-1,2)=(1,2,0,-1),f(-1,5,-4)=(2,0,3,2). Ho provato a vedere la soluzione sul libro ma non riesco a comprenderla a fondo. Qualcuno riesce a farmi arrivare alla soluzione? Grazie!!
Ciao ragazzi stavo provando a calcolare il determinante di questa matrice:
$((a_x,a_y,a_z),(b_x,b_y,b_z),(c_x,c_y,c_z))$
A me risultanta utilizzando la regola di Sarrus:
$[(a_xb_yc_z+a_yb_zc_x+a_zb_xc_y)-(a_zb_yc_x+a_yb_xc_z+a_xb_zc_y)]$
Mentre nella dispensa del professore risulta:
$(a_xb_yc_z-a_xb_zc_y+a_yb_zc_x-a_zb_xc_y-a_zb_xc_y-a_zb_yc_x)$
Non capisco se sbaglio nel procedimento o è un suo errore di battitura.
Grazie
Ciao a tutti, non riesco a risolvere il punto b di questo esercizio, per quanto riguarda il punto a e c nessun problema. Non riesco a calcolare la restrizione di G a U, qualcuno potrebbe spiegarmi come fare? grazie in anticipo
g: R->R appl- bilineare simmetrica determinata da G= ((1,2,1),(2,1,1),(1,1,2))
Determinare la segnatura della restrizione di g al sottospazio
U=((x,y,z)£R|y+z=0)
Una base di U la trovo mettendo a sistema il vettore (0,1,-1), che ricavo dall'equazione, con la base ...
Ciao
Ci sono dei termini di topologia che non so se ho capito bene per come sono stati definiti su Topologia di Manetti, 2ed.
"Marco Manetti a pagina 93":Definizione 5.1. Un'applicazione continua e surgettiva \(f : X \to Y\) si dice identificazione se gli aperti di \(Y\) sono tutti e soli i sottoinsiemi \(A \subset Y\) tali che \(f^{-1}(A)\) aperto in \(X\).
Come me lo sono rappresentato è
Una funzione continua e suriettiva \(f : X \to Y\) si dice ...
Ciao a tutti, mi ritrovo col seguente esercizio.
Il testo enuncia:
Sia $X=ZZ$ dotato della topologia $\tau$$= {A \subset X | 0∉A $ oppure $X \backslash A $ è finito $}$ e
$Y = {0} \cup { 1/k \in RR | k \in ZZ\backslash {0}}$ dotato della topologia indotta da quella euclidea.
Provare che $X$ e $Y$ sono omeomorfi
Ho pensato subito alla funzione $f: X \rightarrow Y$ definita da $f(x)=1/x$ e $f(0)=0$. Solo che ora ho difficoltà a ...
Ciao,
penso sia stupidissimo ma non riesco a concludere.. Devo dimostrare che se $T:R^n -> R^n$ è idempotente con rango dell'immagine $r$.. allora $T(v_i) = v_i$.. dove ${v_1 , ..., v_r}$ è base dell'immagine..
Ho provato a fare quello scritto in foto ma non so concludere.. ${u_1, ..., u_(n-r)}$ è la base del Ker.
sembrerebbe semplice dire che se $T(T(v_i)) = T(v_i)$ allora $T(v_i)=v_i$ ma per dire ciò non devo passare componendo per $T^(-1)$? e una matrice ...
Salve a tutti!
Ho qualche dubbio sulla risoluzione di un sistema lineare parametrico,o meglio, sulla discussione da fare previa la risoluzione del sistema. In particolare i miei dubbi sono partiti pensando come dovrei discutere un sistema formato da 5 equazioni e 3 incognite. In questo caso sia la matrice completa che quella incompleta associate al sistema sono rettangolari e non so come muovermi con il teorema di Rouchè-Capelli e il teorema dei minori orlati. Ho qualche idea in merito ma sono ...
Salve, ho un quesito per la verifica dell'apprendimento. Il quale mi chiede:
Date A,B e C matrici quadrate di ordine 4 con i rispettivi determinanti= -2,10 e 3 calcolare
$det(-2(AB)^(-1))$ e $det(1/5 A^(-1) B^2 (C^t))$
Ho pensato subito al teorema di binet e alla proprietà del determinante, ma non riesco a capire cosa sbaglio in quanto il primo dovrebbe uscire $-4/5$ ed il secondo $-6/25$
Salve a tutti,
sto cercando di dimostrare un teorema sui sistemi lineari equivalenti:
Due sistemi lineari compatibili sono equivalenti se e soltanto se le equazioni di uno sono combinazione lineare delle equazioni dell'altro.
Sono riuscito a dimostrare (almeno credo) che se è vera la seconda parte (le combinazioni lineari) allora è vera la prima (l'equivalenza dei sistemi). Purtroppo sto avendo difficoltà a fare l'inverso e non sono riuscito a trovar nulla cercando sul web (il che mi ha ...
Ciao a tutti, vorrei porvi un esercizio sulla compattezza di un sottoinsieme di $QQ$ al quale ho tentato di dare una soluzione della quale però non sono pienamente convinto.
Vi riporto il testo:
Stabilire se $S={x \in QQ | 0 \leq x \leq \pi}$ è compatto in $QQ$
Io avrei pensato a questo:
Sia $\mathcal{U} ={ [ \pi /2-\varepsilon, \pi /2 +\varepsilon) | \varepsilon \in [0,\pi/2)}\cup QQ$. Tale famiglia è un ricoprimento aperto di $S$ Che non ammette sottoricoprimenti finiti poiché per ogni $\varepsilon$ esiste ...
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