Tensore metrico

[LUCIANO741]

Buon giorno a tutti, considero un superficie parametrizzata come segue
$x=x(u,v)$
$y=y(u,v)$
$z=z(u,v)$
Preso un punto P della superficie considero i vettori $del_u$ e $del_v$ che formano un base sullo spazio tangente alla superficie in P.
Mediante il prodotto scalare $$ posso costruire il tensore metrico:
$g$=$((,),(,))$.
Da quello che ho capito il tensore metrico cambia in ogni punto della superficie ma resta sempre lo stesso se cambio base nello stesso punto P.
Se considero ad esempio il prodotto scalare $$ ha ancora senso parlare di tensore metrico, che sarà del tipo:
$((,0),(0,0))$ $??$

Perdonate il linguaggio tutt'altro che formale ma non sono un esperto sull'argomento che mi sembra parecchio complicato.

grazie

[solaàl]

Perché \(\langle \partial_v,\partial_v\rangle\) fa zero?

[LUCIANO741]

perchè ho calcolato il prodotto scalare di $del_u$ per se stesso senza considerare $del_v$.

[dissonance]

E chi ti ha detto di non considerare \(\partial_v\)? Voglio dire, la definizione di tensore metrico è chiara: devi considerare tutti e due i vettori \(\partial_u, \partial_v\). Puoi cambiare parametrizzazione, e quindi avere altre due variabili \(a, b\), nel qual caso devi considerare i due vettori \(\partial_a, \partial_b\), ottenendo un'altra matrice che rappresenta lo stesso tensore. Ma non puoi decidere di buttare uno dei due vettori nella spazzatura.

[LUCIANO741]

ok, grazie 1000