Geometria e Algebra Lineare

ciao ho una semplice domanda sull'argomento, La professoressa durante una lezione ha detto che in una forma lineare $ ( f:V |-> IK | f " ""lineare" ) $ se fisso una base $ B={ul(b_1),...,ul(b_n) } $ di $V$ e prendo un $ ul(x)in V $ allora $ ul(x)=sum_(i = \1)^n \x_iul(b_i) $ dove gli $x_i$ sono gli elementi del vettore $ ul(x)$ . per quale ragione si viene a creare questa costrizione ? sono abituato a vedere che una scrittura del genere la si può riscontrare solo se $B$ fosse una ...

Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, si considerino le due rette r e r' di equazioni r =( (h − 2)x − y − z + 2 = 0 ; (5h − 2)x − y + z − 2 = 0 ) r' =( x + y + z − 2 = 0 ; x + (2k − 3)y − z + 2 − 2k = 0 ) Al variare di h (rispettivamente di k) la retta r (risp. r' ) descrive un fascio di rette che giace sul piano π (risp. π'). Si determini il tipo di fascio e le equazioni di π e π'. Si discuta la mutua posizione (complanarità o meno, e, nel primo caso, ...

Se l'applicazione è suriettiva, l'immagine coincide con il codominio, e ovviamente in tal caso immagine e codominio hanno la stessa dimensione finita n. Non ho capito però il viceversa : se l'immagine e il codominio hanno la stessa dimensione finita n, allora l'applicazione è suriettiva. Come si dimostra ? ( anche intuitivamente mi basterebbe ) grazie

Buongiorno. Come da titolo sto leggendo e studiando la seguente proposizione. Proposizione: Ogni spazio vettoriale $V$ non nullo possiede una base. Più precisamente, ogni sistema finito di generatori di $V$ contiene una base che risulta ovviamente finita. Ora riporto la dimostrazione dove ci sono dei punti in cui non mi è chiaro quello che si vuole dire. Suddivido la dimostrazione a punti per non creare confusione. Dimostrazione: 1) Siano ...

se $B$ è una matrice del tipo $alpha*I$ con $alpha in RR$, allora $Lambda(A+B)= Lambda(A) + Lambda(B)$, dove $Lambda$ è lo spettro di $A$ vi sono altri tipi di $B$ affinchè valga quell'uguaglianza? $Lambda(A*B)= Lambda(A)*Lambda(B)$ è mai vera? Se sì, sotto che condizioni su $B$. grazie

Buonasera, sto studiando una proposizione che riguarda alcune caratterizzazione delle basi la quale non mi è molto chiara. Per il seguito mi servirà Definizione: Sia $V(K)$ spazio vettoriale sul campo $K$ e $S$ sistema di vettori, diremo che 1) $S$ sistema linearmente indipendente massimale $<=> ^(def.)$ $S$ linearmente indipendente e non è incluso propriamente in alcun sistema linearmente indipendente. 2) ...

Salve a tutti, quando la mia professoressa ha iniziato a parlare del polinomio caratteristico ha creato delle catene di implicazioni che ora riporto: $ f(ul(v) ) =lambda ul(v) hArr f(ul(v) )-lambda ul(v)=0 hArr (f-lambda1_V)(ul(v))=0 hArr ul(v)in ker(f-lambda1_V) $ quindi la professoressa, prima di considerare una concatenazione di matrici (che è ciò che ho visto fare di solito) ha iniziato con la caratterizzazione delle applicazioni. La mia domanda è rivolta a questo passaggio $ f(ul(v) )-lambda ul(v)=0 hArr (f-lambda1_V)(ul(v))=0 $ non riesco a comprenderlo e riprodurlo. Le prime due domande che mi sorgono sono cosa sia ...

Buongiorno. Ho un dubbio su un passaggio della seguente proposizione, cioè Proposizione: Siano $W_1, W_2$ sottospazi vettoriali di $W$, per cui ogni vettore di $W_1+W_2$ si esprime in modo unico come somma di un vettore di $W_1$ con uno di $W_2$, allora $W_1 cap W_2={0}$. Dimostrazione: Sia $u in W_1capW_2={0}$, dal fatto $ 1) u=u+0=0+u$, segue, per l'unicità della scrittura, $u=0.$ Non ho capito, cosa voglia dire la 1), e ...

Salve, Mi sono imbattuta in questo esercizio d'esame ma ho parecchi dubbi, soprattutto sul primo punto. Il testo è: Sia f un endomorfismo di R3 con autovalore 1 e tale che f(1,0,1)=(2,0,2) e f(0,-1,2)=(3,1,1). a) calcolare, se possibile, f(-1,-1,1). b)è possibile che un tale endomorfismo f sia simmetrico? Se sì, se ne dia un esempio scrivendo in base canonica la matrice ad esso associata. Se no, si spieghi perché. Per risolvere il punto a) ho notato innanzitutto che (-1,-1,1)=(0,-1,2)-(1,0,1) ...

Una domanda veloce, qualcuno saprebbe spiegarmi perché $QQ$ è denso in $RR$? Da quel che ho capito, un sottoinsieme $A$ di uno spazio topologico $(X,\tau)$ è ivi denso sse la sua chiusura $\bar A$ è uguale ad $X$, che equivale a chiedere che $AA B in (X,\tau), B nn A != {}$ (Insieme nullo). Praticamente la condizione è che per ogni $x in QQ$ e per ogni intorno arbitrariamente piccolo di $x$ esista un razionale ...

Salve, dovrei trovare l'equazione della quadrica contenente la conica $ { ( x^2-y=0 ),( z=0 ):} $ e passante per i punti P1 (1, 0, 0) e P2 (0, 0, 1) Ho per prima cosa determinato il fascio di quadriche contenente la conica: $ x^2-y+z(ax+by+cz+d)=0 $ Vorrei ora imporre il passaggio per P1 e P2 ed eliminare così due dei 4 parametri a,b,c,d. Risulta però che il fascio non passa per P1. Sbaglio qualcosa? Grazie a chi vorrà aiutarmi

Salve a tutti, non riesco a capire come impostare il seguente esercizio: Sia A una matrice invertibile 5x5. Calcolare il determinante della matrice $ (A^t-A)^2(A^t+A^-1)^2 $ A parte alcune facili considerazioni, come ad esempio il fatto che A e A trasposto hanno stesso determinante e che non vale il quadrato di binomio per le matrici come quello dei numeri reali.... non riesco ad andare avanti

Ciao a tutti, provo a fare una domanda che mi assilla da qualche giorno sulle rappresentazioni di algebre di Lie (spero sia la sede adatta). La situazione è questa (seguo il Cornwell "Group Theory in Physics" quando tratta delle "branching rules"): ho un'algebra di Lie complessa semi-semplice $ \mathcal{L} $ e una sua sottoalgebra $ \mathcal{L}' \subset \mathcal{L} $ (o più precisamente un'algebra isomorfa ad $ \mathcal{L}' $ ). Conosco una rappresentazione $ \Gamma $ di $ \mathcal{L} $ e voglio ...

Chiedo un aiuto per un come scogliere l'ambiguità del doppio valore dell'equazione goniometrica nella ricerca dell'angolo (convesso) fra due vettori. Nel seguente esercizio in cui $A = 10j+2k$ e $B = -4j+0.5k$ sfruttando la definizione di prodotto scalare viene $alpha=162°$ mentre sfruttando la definizione di prodotto vettore viene $alpha=18°$ che è ovviamente il supplementare.

Buongiorno, sto provando a svolgere questo esercizio: Sia $A$ una matrice con polinomio caratteristico $\lambda^2$ + $\3*lambda$ + $2$. Quale è il polinomio caratteristico di $A+7*I$ ? In generale, che relazione c’è tra il polinomio caratteristico di una matrice A e quello di $A+c*I$ ($c$ è uno scalare fissato)? Stavo ragionando ( se non vado errato), in base alle proprietà del polinomio caratteristico della matrice di ...

In una trasformazione geometrica di un dato oggetto espresso in forma analitica ad esempio una retta con una affinita'non dovrei a rigore trasformare anche gli assi originari? Perche' invece si lasciano di solito invariati? E'una comoda scelta?

buongiorno, riguardando parte di teoria delle matrici ho avuto un dubbio, forse banale, ma che temo sia fondamentale. se è data una matrice $B$ definita positiva, allora $B$ deve essere necessari

Salve, continuando ad anticiparmi qualcosa in attesa dell'inizio dei corsi del secondo anno, mi è venuta una curiosità, ovvero se il Teorema di Wallace, valesse anche per prodotti infiniti di spazi compatti. Giusto, per intenderci, il Teorema di Wallace afferma che: "Siano $(X, \tau_X)$ e $(Y, \tau_Y)$ spazi topologici e siano $A \subset X$ $B \subset Y$ compatti, allora se $W \subset X xx Y$ è un aperto (nella topologia prodotto) tale che $A xx B \subset W$ , esistono ...

Salve a tutti, studiando Geometria sul Marco Abate mi sono imbattuto nella definizione di matrice associata ad una forma bilineare (o forma sesquilineare per il caso complesso). Nel paragrafo, l'autore definisce la matrice attraverso i seguenti passaggi (affronto qui il caso della forma bilineare, essendo il caso complesso molto simile): "Sia $g$ una forma bilineare qualunque su $V$. Scelta una base $B = {v_1,..., v_n}$ di $V$, per ...

Siano $C = {(x,y,z) \in R^3 | x^2 + y^2 =1}$ e $S^1 x R$ il prodotto fra la sfera unitaria $S^1 = {(x,y) \in R^2 | x^2 + y^2 = 1}$ e $R$. Devo dimostrare che i due spazi $C$ e $S^1 x R$ sono omeomorfi. Vedere lo vedo (lo capisco se immagino come sono nello spazio ad esempio). Ma volevo scriverlo formalmente... E quindi pensavo di sfruttare la proprietà universale del prodotto di spazi topologici... Ovvero i due spazi sono omeomorfi se esistono due mappe $f1: C \rightarrow S^1$ e ...