Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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La definizione di endomorfismo simmetrico è:
Dati uno spazio euclideo $(V, < * , * >)$ e un endomorfismo $f:V->V$
diremo che $f$ è "simmetrico" se e solo se $<v,f(w)> = <w,f(v)> forall v,w in V$
TEOREMA:
$f in End(V)$ è simmetrico se e solo se la matrice associata a $f$ rispetto a qualsiasi base ortonormale è una matrice simmetrica.
In un esercizio trovo..
Sia $f:mathbbR^3->mathbbR^3$ che abbia $A=((1,0,-3),(0,0,0),(-3,0,9))$ come matrice associata (si sottintende rispetto alla base ...
Allora, il problema è quello di mostrare che $\mathbb{RP^1}$ ed $S^1$ sono spazi topologici omeomorfi.
Io ho voluto cercare un omomorfismo esplicito tra di essi ed ho ragionato così:
Si consideri l'applicazione continua $F:\mathbb{R}^2-{(0,0)}->S^1$ definita da $(x,y)->(frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},frac{2xy}{x^2+y^2})$.
Essa è suriettiva; inoltre due vettori hanno la stessa immagine attraverso F se e solo se sono linearmente dipendenti (se volete i dettagli ve li posto!). Ne segue che (se $\pi:\mathbb{R}^2-{(0,0)}->\mathbb{RP^1}$ è la proiezione canonica ...
ero curioso di sapere dove viene usato, nella teoria delle forme bilineari, per esempio nel teorema di sylvester, che il campo deve avere caratteristica diversa da 2...
cosa rende questa una condizione necessaria? perchè proprio 2? se per esempio fosse 1+1+1=0 questo non darebbe problemi per ilcaso considerato?
Ciao a tutti, sto preparando l'esame di Algebra Lineare, e ho bisogno gentilmente di una conferma riguardo ad una tipologia di esercizi. Ho uno spazio vettoriale, con due basi assegnate B e B'. Devo determinare la matrice di cambiamento di base: sul libro non ho esempi pratici di questi esercizi, quindi cerco di riassumere brevemente quel che ho fatto per risolverlo.
Attraverso un isomorfismo, cambio di base passando da B alla base canonica del mio spazio vettoriale V. Se avessi un'applicazione ...
La matrice A, canonicamente associata ad un endomorfismo f di R^3 ha autovalori 2, 3 e 4.
i. Si può stabilire se f è diagonalizzabile?
ii. Si può calcolare il determinante di A?
iii. Si può stabilire se f è iniettiva o suriettiva?
Non sono proprio una cima ma io direi che:
i. Se il polinomio caratteristico ha radici reali e distinte, per essere diagonalizzabile l'altra condizione necessaria è che i relativi autospazi abbiamo dimensione = 1 (molt.geo = molt.alg).
ii. ...
qualcuno saprebbe spiegarmi come calcolare gli eventuali asintoti di una curva parametrizzata? c'è qualche metodo generale come per le funzioni o dipende da curva a curva? sotto quali condizioni esistono l'asintoto obliquo, verticale o orizzontale? il dubbio mi è nato nello studio del folium di cartesio e della cissoide. in quest'ultimo caso l'ho calcolato in maniera analoga alle funzioni ma non riesco a farlo nel caso del folium (o in un caso più generale). grazie
Ciao ragazzi,
volevo chiedervi un aiutino sulla classificazione di due quadriche prese da due compiti d'esame.
1) Classificare la quadrica al variare di t in R:
$x^2 + 2yz + 1 + t(y^2 + z^2 + xz + 2yz) = 0$
Da cui la matrice $ ( ( 1 , 0 , t/2 , 0 ),( 0 , t , t+1 , 0 ),( t/2 , t+1 , t , 0 ),( 0,0,0 , 1 ) ) $
Ora, la prima classificazione la faccio in base al rango della matrice completa, ma posso studiarmi il determinante della parte quadrica (la sottomatrice 3x3 cancellando 4 riga e 4 colonna), visto che in questo caso dipende solo da essa il rango.
Mi esce fuori ...
Ciao, amici! Trovo scritto sul Sernesi, Geometria I, p. 86 dell'edizione Bollati Boringhieri del 2000 che, data "la matrice $C$ ottenuta da $A$ con opportune trasposizioni delle righe in modo che la $i_1$-esima riga, la $i_2$-esima riga ecc. di $A$ siano rispettivamente prima, seconda, ..., $k$-esima riga di $C$", si calcola il numero di inversioni effettuate ...
ciao a tutti,
io ho queste due rette:
L = (1,0,0,1)+L(1,1,0,0)
M = (1,0,-1,0)+L(0,1,1,0)
potreste dirmi, per favore, come faccio a vedere se sono incidenti, parallele o sghembe????
GRAZIEEEE!!!!
Ciao, amici! Avrei un "piccolo" dubbio sull'ordine in cui si applicano le permutazioni in una loro composizione. Il Sernesi (Geometria I, p. 78) dice che, essendo $B=(b_{hk})$ una matrice ottenuta scambiando tra loro le righe i-esima e j-esima di $A$ si ha
\[\text{det}(B)=\sum_{p\in \sigma_n} \epsilon(p) b_{1p(1)}...b_{i p(i)}...b_{jp(j)}...b_{np(n)}=\sum_{p\in \sigma_n} \epsilon(p) a_{1p(1)}...a_{j p(i)}...a_{ip(j)}...a_{np(n)} \]\[= \sum_{p\in \sigma_n} \epsilon(p) ...
Ciao, amici! Mi sono riletto i principali teoremi e risultati che il capitolo del Sernesi sui determinanti dimostra per matrici in \(M_{n}(K)\) per vedere se fossero validi in generale in \(M_{n}(D)\) con \(D\) dominio d'integrità e direi che, mentre vari risultati che utilizzano matrici inverse sono problematici, i seguenti risultati valgono in generale per \(\text{det}(A)\) con \(A\in M_{n}(D)\) e \(D\) dominio d'integrità:
-il determinante è lineare nelle righe e nelle colonne, cioè -per le ...
Salve a tutti ho un dubbio riguardo una questione sulle rette. Considerando che il vettore direttore di una retta parametrica sono quei numeri davanti al parametro.. mi trovo davanti ad una retta di equazione cartesiana che trasformandola in parametrica mi viene con il doppio parametro,e non so come trovare il vettore direttore.. ecco l'equazione della retta:
r: hx+hy+z=0 ; hx+y+hz=h ... mi potete trovare il vettore direttore e dirmi come si fa?
Naturalmente l'esercizio non finsce qui però io ...
Ciao ragazzi, ho qualche dubbio sul seguente esercizio:
Siano K e $ H_a $ sottospazi di $ RR ^4 $ .
$ K = {(x,y,z,t) in RR^4 | 2x-y-z+2t = 0 ^^ y - z = 0} $
$ H_a = span{(0,0,2,1),{1,2,0,0),(1,2,4,a)} $
span è l'insieme generato dalle combinazioni lineari dei vettori di base.
L'esercizio mi chiede di trovare la dimensione di K al variare di a in R.
Io ho risolto mettendo in riga i vettori di base e riducendo per righe.
Mi viene dim=3 per $ a != 2 $, per a = 2 dim = 2.
Ora l'esercizio chiede di assumere a=2 e di trovare ...
Saluti.
Se considero una matrice quadrata di ordine \(\displaystyle n \) - diciamo \(\displaystyle A \) - associata ad un fittizio endomorfismo \(\displaystyle \phi:V \to V \), con \(\displaystyle V \) spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \), è sempre possibile caratterizzare (dimensione + base) in maniera esatta lo spazio \[\displaystyle \{X \in M_{n}(K) \; | \; AX=XA \} \] al variare del rango e dei vari parametri di \(\displaystyle A \)?
Io mi sono dato una risposta ...
Buongiorno a tutti. Ho un dubbio che mi affligge da un pò di tempo.
Supponiamo di avere i seguenti vettori:
$v_1=(k,0,2,1)$
$v_2=(0,0,k,3)$
$v_2=(1,1,0,0)$
Ora per stabilire se i tre vettori sono linearmente indipendenti o meno utilizzando il concetto di rango, all'interno di una matrice i vettori in questione come vanno disposti?
In questo modo?
$((k,0,2,1),(0,0,k,3),(1,1,0,0))$
Oppure in ...
Che cosa è di preciso? su wiki ho trovato solo Inviluppo, non Inviluppo affine...
Questa notte mi sto accorgendo di alcune lacune che devo assolutamente annichilire.
Stavo leggendo la soluzione di un esercizio simile a quelle che ho proposto un momento fa, e non mi capacito di un fatto simile:
Testo: sia \(\displaystyle \Phi: \text{End}_{\mathbb{Q}}(V) \to \text{End}_{\mathbb{Q}}(V) \) (\(\displaystyle V \) è una spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle 4 \) che si decompone come \(\displaystyle V=W \oplus U \), entrambi di dimensione \(\displaystyle 2 \)) ...
Chiedo lumi intorno allo svolgimento del seguente esercizio:
Si consideri l'insieme \(\displaystyle \mathcal{C}=\{ \chi \in \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(W,W) \; | \; \phi \circ \chi \circ \psi=0 \} \). Si dica se \(\displaystyle \mathcal{C} \) è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(W,W) \) e se ne determini la dimensione. In caso affermativo, esibire una base del sottospazio \(\displaystyle \alpha_{\mathcal{W},\mathcal{W}}(\mathcal{C}) \) di \(\displaystyle ...
ho un problema con un esercizio tratto dal do carmo "differential geometry of curves and surfaces".
sia data la curva regolare $a(t)=(3t,2t^2,2t^3)$. Dimostrare che le rette tangenti alla curva formano un angolo costante con la retta $y=0,x=z$.
ho ricavato il vettore tangente, il vettore che dà la direzione della retta e ho il valore del coseno dell'angolo tra le rette (prodotto scalare fratto prodotto dei moduli) in funzione di t e non è costante. ho tralasciato qualcosa? grazie
vettore ...
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