Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia \(\displaystyle S={(1,1,0);(3/5,-2/5,1)} \), determinare l'equazione del laterale di S passante per P(1;2;3).
Riguardo alla definizione di laterale non sono riuscito a trovare nulla di interessante in rete, per cui come unico riferimento ho la definizione presa a lezione ovvero:
Definiamo laterale di W l'insieme:
$\bar x$ \(\displaystyle + W = \) {$\bar x$ + $\bar w$ \(\displaystyle | \) $\bar w$ $in$ \(\displaystyle W \)}.
Ho pensato di ...
Sia dato l'endomorfismo \(\displaystyle f: \) $RR$\(\displaystyle ^3 \) \(\displaystyle \to \) $RR$\(\displaystyle ^3 \) definito nel modo seguente:
\(\displaystyle f((x,y,z)) \) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle (x+y,x+y,x+y+z) \)
Determinare un rappresentazione cartesiana di \(\displaystyle f(W) \), con \(\displaystyle W: x-3z=0 \).
Prima di affrontare questo esercizio pensavo di aver abbastanza chiari i concetti base di questa materia, ma non riesco a ...
Nel mio eserciziario ho trovato un esercizio che dati i vettori: \(\displaystyle (1,0,-h), (2,-1,1) e (h,1,-1) \) mi chiede di trovare h tale che i vettori siano linearmente dipendenti.
Volevo provare a risolverlo senza ricorrere alle matrici. Ho pensato di ricorrere alla definizione di i vettori l.d. cioè vedere se esiste a tale che \(\displaystyle (1,0,-h)=(2a,-a,a) \) per i primi due vettori. Ma questo sistema non mi viene risolubile e mi blocco qui. Mi date un aiutino?
p.s la soluzione ...
Buongiorno!
facendo degli esercizi sulle matrici di cambiamento di base ho trovato questo esercizio, tra l'altro già svolto..
"Trova la matrice X associata all'endomorfismo $ L_A : RR^2 rarr RR^2 $ rispetto alla base $ B={ v_1 = | (2) , (3) | , v_2 = | (3) , (5) |} $ , dove $ A = | (1 , 1) , (3 , 5) | $ . "
la formula per trovare X è $ X= B^-1 A B $ ?? perchè forse non ho capito bene come procedere..
procede poi in questo modo...
$| (2 , 3) , (3 , 5) | | (5 , 8) , (21 , 34) | $ si procede con l'eliminazione di Gauss e si ottiene X... ma non capisco come si ottiene la ...
Salve a tutti. L'esercizio in questione è questo:
"Dimostrare che un endomorfismo L:V $\rightarrow$ V con V $!=$ {$0_v$} e Im(L)=Ker(L), non è un endomorfismo semplice."
Pensavo di usare la relazione che lega la dimensione di un autospazio con la molteplicità di un autovalore, in particolare con l'autovalore 0 che genera l'autospazio V(0) = Ker(L). Dopo di questo però non saprei come procedere! Potete darmi una mano?
Inanzitutto ciao a tutti, Sono Matteo e sono Calabrese, mi sono appena iscritto in questo forum perché girovagando per il web ho riscontrato in voi persone molto professionali e gentili, ma ora veniamo a noi
Data la matrice (dipendente dal parametro reale $\alpha$ ):
A = $((\alpha,1,-1),(0,1,1),(0,0,-1))$
Polinomio caratteristico di A:
Banalmente $(1 -\lambda) * (\alpha -\lambda) * (1-\lambda)$
Autovalori di A: $ \lambda_1 = \alpha \lambda_2= -1 \lambda_3= 1$
QUI INIZIANO I PRIMI DUBBI, SCRIVO COME HO SVOLTO IO:
Autovalori RIPETUTI per $\alpha$: ...
Ciao! Qualcuno potrebbe darmi una mano con questa dimostrazione per favore?
Siano A e B due matrici quadrate, diagonalizzabili e aventi gli stessi autovettori. Dimostrare che A*B=B*A (*=prodotto righe per colonne).
Grazie in anticipo.
Salve, non capisco come determinare il centro della parabola...ce l'ha? è il punto improprio?
Determinare l'equazione della parabola che ha vertice $V(1,-2)$, punto improprio $A_oo(3,1,0)$ e passa per il punto $P(2,1)$.
Chi può spiegarmi cos'è un punto improprio? Durante il corso non è stato nemmeno accennato e ora mi ritrovo con prove d'esame di questo genere e non so da dove iniziare..
Trovare le equazione della retta s passante per P\(\displaystyle (2,1,-2) \) parallella al piano a: \(\displaystyle x+3z-1=0 \) e perpendicolare alla retta r passante per i punti A\(\displaystyle (2,1,3) \) e B(3,1,2,0)
Allora io ho sfruttato la condizzione di parallelismo \(\displaystyle (al+bm+cn=0) \) cioè \(\displaystyle l+3n=0 \)
Ora devo sfruttare la condizione di perpendicolarità delle due rette sfruttando i numeri direttori (ll'+mm'+nn')
però penso che sbagli qui poiche io mi trovo i ...
Ho trovato questa formulazione della retta passante per i vettori $x$ e $y in R^n$:
$x(alpha)=alphax + (1-alpha)y$ per $alpha in R^n$
Come del resto, se $alpha$ sta tra 0 e 1, è il segmento che unisce i punti x e y.
A senso mi torna (per $alpha=0$ ottengo y, per $alpha=1$ ottengo x. Ma perchè è proprio una retta?? Che equazione è??
FIssato un riferimento ortonormale $ cc(R) = (O,B) $ nello spazio $ S3 $, si considerino le rette r ed s di equazioni
$ r:{ ( x-3z=0 ),( y+2z=1 ):} $
$ s:{ ( x=3t+2 ),( y=-2t-2 ),(z=t):} $
Si determini la distanza fra la retta r e la retta s
per prima cosa sono andato alla ricerca dei vettori di $ r $ imponendo $ z=t $
$ r:{ ( x=3t ),( y=-2t+1 ),(z=t):} $
quindi ho evidenziato il punto appartente a $ s $ , $ Ps(2, -2, 0) $ e ricavato il piano contenente $ r $, cioè ...
sia $R2,2$ lo sapzio delle matrici reali di ordine 2 si dica se l'applicazione
$f$ tale che $f(A)=PAP^(-1)$ per ogni $A$ in $R2,2$ dove $P=((0,1),(-1,0))$
a)è lineare.
b) la matrice associata ad $f$ rispetto la base canonica
c)una base del nucleo, dell'immagine e si dica se f è iniettiva o suriettiva.
d)trovare $f^(-1)((0,1),(-1,0))$
e) studiare la diagonalizzabilità di $f$.
f)verificare che la restrizione ...
Salve a tutti, avrei un quesito da porre:
Sia $A=((2,-2,4),(1,-1,2),(1,-1,2))$, scrivere una matrice $B$ tale che $Ker(B)=Im(A)$ e $Im(B)=Ker(A)$.
Si calcola che $Im(A)=span{((2),(1),(1))}=Ker(B)$ e $Ker(A)=span{((1),(1),(0)),((-2),(0),(1))}=Im(B)$, ed in teoria si potrebbero già scrivere le prime due colonne di $B$ coincidenti con i vettori di $Im(B)$, ma manca la terza colonna. Correggetemi se sbaglio. Qual è il risultato? Grazie mille in anticipo!
Salve a tutti!
Stavo cercando di svolgere il seguente esercizio:
Dimostrare che la matrice $((3,6),(4,0)) in F_7 ^(2x2)$ non è diagonalizzabile in $F_7$
Allora, io ho proceduto prima di tutto calcolando il polinomio caratteristico, che mi viene uguale a:
$\lambda^2 - 3\lambda - 24 = $
Gli autovalori sono dunque:
$\lambda_1 = (3 + sqrt(105))/2$ e $\lambda_2 = (3 - sqrt (105))/2$.
Siccome la molteplicita algebrica è uguale all'unità per entrambi gli autovalori, io ne ho dedotto che la matrice è diagonalizzabile, in perfetto ...
Vorrei sapere se è corretto questo procedimento per trovare la matrice del cambio di coordinate di una forma canonica nel caso si tratti di una rotazione.
Avendo già la forma canonica per esempio di un ellisse ricavo gli autospazi relativi ai due autovalori, in seguito normalizzo i vettori dei due autospazi e li uso come colonne della matrice.
In caso i due autospazi fossero $(1,-1),(1,1)$ otterei la matrice avente per colonne $(1/sqrt(2),-1/sqrt(2)) e (1/sqrt(2),1/sqrt(2))$.
Salve a tutti, mi sono trovato davanti un esercizio che chiedeva: Dati U=Span{(1, -1, 2, -2), (3, -2, -3, 2), (3, -1, -2, 0)} e W=Span{(2, -1, -1, 0), (0, 0, 0, 2), (4, -2, -2, 2)} trovare, se esiste, un vettore v appartenente allo spazio somma U+W ma non appartenente all'unione insiemistica U U W.
Io non so come procedere ho pensato dato che $v\inU+W$ è $v=u+w$ con $u\inU$ e $w\inW$ allora v può essere (1, -1, 2, -2)+(2, -1, -1, 0)=(3, -2, 1, -2)???
Salve a tutti!
Affrontavo il seguente problema di algebra lineare con cui ho avuto qualche problema. La traccia è:
Sia $\psi : CC_2 [t] * CC_2 [t] -> CC$, definita da $\psi (f,g) = f(0) g(0) + f^{\prime} (0) g^{\prime}(0) + f^{\prime}'(0) g^{\prime}'(0)$;
i) si provi che $\Psi$ non è un prodotto scalare hermitiano in $CC_2 [t]$;
ii) si indichino $f,g in CC_2 [t]$ tali che $\psi (f,f) = -1, \psi (g,g) = 0 $, rispettivamente;
iii) si indichi$ {h in CC_2 [t] | \psi (h, 1 + it - it^2) = 0 }$.
Ho cercato di svolgere il primo punto dell'esercizio ma ho subito incontrato dei problemi a risolverlo. Per ...
Salve ragazzi,
ho un problema con la verifica di questo problema, in realtà è quasi una curiosità:
Dati P=(1,2,0) e Q=(3,1,1) determinare le equazioni parametriche/cartesiane di r per P e Q.
Dunque, trovato il vettore PQ impongo il passaggio della retta per P (e parallela a PQ):
mi trovo il seguente sistema (eq.parametriche):
x=1+2t
y=2-t
z=t
Ora, per determinare l'eq.cartesiana di r, mi occorrono una o due equazioni e, soprattutto, perché?
Io avevo trovato, semplicemente x+2y-5=0, ma ho il ...
Prima domanda per me! Mi preparo per l'orale di geometria di domani
Ho questo endomorfismo: {f(x,y,z,t) € R^4| x+y+2z=x+3t)
Devo calcolarne dimensione nucleo, immagine e una base!
Per tutti gli endomorfismi classici f(x,y,z,t)=(x+y,y+z,x+t,z+t) ad esempio non ho problemi...ma con quello sopra entro un po nel pallone!
Grazie a tutti anticipatamente
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