Come trovare vettore direttore di una retta a piu parametri
Salve a tutti ho un dubbio riguardo una questione sulle rette. Considerando che il vettore direttore di una retta parametrica sono quei numeri davanti al parametro.. mi trovo davanti ad una retta di equazione cartesiana che trasformandola in parametrica mi viene con il doppio parametro,e non so come trovare il vettore direttore.. ecco l'equazione della retta:
r: hx+hy+z=0 ; hx+y+hz=h ... mi potete trovare il vettore direttore e dirmi come si fa?
Naturalmente l'esercizio non finsce qui però io una volta che risolvo questo problema so come andare avanti..
Grazie
r: hx+hy+z=0 ; hx+y+hz=h ... mi potete trovare il vettore direttore e dirmi come si fa?
Naturalmente l'esercizio non finsce qui però io una volta che risolvo questo problema so come andare avanti..
Grazie
Risposte
Poniamo una variabile, diciamo $x$, uguale a $t$.
Ottieni il sistema:
$\{(x=t),(ht+hy+z=0),(ht+y+hz-h=0):} -> \{(x=t),(z=-h(t+y)),(ht+y+hz-h=0):}$
A questo punto puoi risolvere le equazioni $(2)$ e $(3)$ in funzione di $y$ e $z$.
Dalla terza equazione ottieni $y=(h(h-1)t+h)/(1-h^2)$ che puoi anche scrivere così: $y=(-h(1-h)t+h)/((1+h)(1-h))$.
In definitiva $y-h/(1-h^2)=-h/(1+h)t$.
Sostituendo nella $(2)$ ottieni $z-h^2/(h^2-1)=h(h/(1+h)-1)t$.
Sintetizzando:
$\{(x=t),(y-h/(1-h^2)=-h/(1+h)t),(z-h^2/(h^2-1)=h(h/(1+h)-1)t):}$
da cui il tuo vettore $v=[1, -h/(1+h), h(h/(1+h)-1)]$.
P.S.
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
Ottieni il sistema:
$\{(x=t),(ht+hy+z=0),(ht+y+hz-h=0):} -> \{(x=t),(z=-h(t+y)),(ht+y+hz-h=0):}$
A questo punto puoi risolvere le equazioni $(2)$ e $(3)$ in funzione di $y$ e $z$.
Dalla terza equazione ottieni $y=(h(h-1)t+h)/(1-h^2)$ che puoi anche scrivere così: $y=(-h(1-h)t+h)/((1+h)(1-h))$.
In definitiva $y-h/(1-h^2)=-h/(1+h)t$.
Sostituendo nella $(2)$ ottieni $z-h^2/(h^2-1)=h(h/(1+h)-1)t$.
Sintetizzando:
$\{(x=t),(y-h/(1-h^2)=-h/(1+h)t),(z-h^2/(h^2-1)=h(h/(1+h)-1)t):}$
da cui il tuo vettore $v=[1, -h/(1+h), h(h/(1+h)-1)]$.
P.S.
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
grazie mille della risposta.
Io pero conosco un altro metodo, e appunto volevo vedere se era l'unico ma da come hai risolto tu non mi sembra, per come sapevo io per ottenere il vettore direttore bastava calcolare il determinante della matrice formata dalle seguenti righe:
1° riga : i j k .. 2°riga: h h 1...3° riga: h 1 h .... il determinante mi viene : [(h^2 - 1)*i - (h - h^2)*j + (h-h^2)*k ].. ho visto che questo metodo il mio professore lo ha usato su piu esercizi, vi risulta?o magari sono che io sbaglio e questo non è il vettore direttore??.. siccome io devo trovare il vettore direttore perchè devo vedere se questa retta che ho detto anche prima è parallela alla retta : y=0 , z=0 (asse delle x), il mio professore una volta trovato il vettore direttore con la matrice i j k, ha impostato un sistema composto da : h^2-1 diverso da 0 ; h^2-h = 0 ; h-h^2 = 0 .. insomma ha imposto le condizioni dell'asse x.. trova h=0 e h=1 .. e vede che sono parallele solo se h=0.
Il ragionamento penso si giusto perchè lo ha fatto lui.. però quello che trova con il determinante è il vettore direttore?
Grazie di nuovo
Io pero conosco un altro metodo, e appunto volevo vedere se era l'unico ma da come hai risolto tu non mi sembra, per come sapevo io per ottenere il vettore direttore bastava calcolare il determinante della matrice formata dalle seguenti righe:
1° riga : i j k .. 2°riga: h h 1...3° riga: h 1 h .... il determinante mi viene : [(h^2 - 1)*i - (h - h^2)*j + (h-h^2)*k ].. ho visto che questo metodo il mio professore lo ha usato su piu esercizi, vi risulta?o magari sono che io sbaglio e questo non è il vettore direttore??.. siccome io devo trovare il vettore direttore perchè devo vedere se questa retta che ho detto anche prima è parallela alla retta : y=0 , z=0 (asse delle x), il mio professore una volta trovato il vettore direttore con la matrice i j k, ha impostato un sistema composto da : h^2-1 diverso da 0 ; h^2-h = 0 ; h-h^2 = 0 .. insomma ha imposto le condizioni dell'asse x.. trova h=0 e h=1 .. e vede che sono parallele solo se h=0.
Il ragionamento penso si giusto perchè lo ha fatto lui.. però quello che trova con il determinante è il vettore direttore?
Grazie di nuovo
Il sistema di equazioni che hai te rappresenta una retta in forma cartesiana, cioè intersezione tra i due piani.
I due vettori $u=(h,h,1)$ e $w=(h,1,h)$ rappresentano i due vettori normali rispettivamente al primo e al secondo piano.
Semplicemente il tuo professore ne calcola il prodotto vettoriale ($i,j,k$ sono i versori degli assi cartesiani).
Il vettore risultate è, appunto il vettore direzionale della retta.
E' un metodo alternativo e direi anche più rapido ed efficiente (ma non è l'unico).
Il metodo che ho usato io ha il vantaggio di trovare, oltre al vettore direzionale, anche l'equazione parametrica della retta.
I due vettori $u=(h,h,1)$ e $w=(h,1,h)$ rappresentano i due vettori normali rispettivamente al primo e al secondo piano.
Semplicemente il tuo professore ne calcola il prodotto vettoriale ($i,j,k$ sono i versori degli assi cartesiani).
Il vettore risultate è, appunto il vettore direzionale della retta.
E' un metodo alternativo e direi anche più rapido ed efficiente (ma non è l'unico).
Il metodo che ho usato io ha il vantaggio di trovare, oltre al vettore direzionale, anche l'equazione parametrica della retta.
Ok. Grazi mille della disponibilita e dell'aiuto.
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