Aiuto intersezione sottospazi

[g.longhi]

Ciao ragazzi, ho qualche dubbio sul seguente esercizio:

Siano K e $ H_a $ sottospazi di $ RR ^4 $ .

$ K = {(x,y,z,t) in RR^4 | 2x-y-z+2t = 0 ^^ y - z = 0} $
$ H_a = span{(0,0,2,1),{1,2,0,0),(1,2,4,a)} $

span è l'insieme generato dalle combinazioni lineari dei vettori di base.

L'esercizio mi chiede di trovare la dimensione di K al variare di a in R.
Io ho risolto mettendo in riga i vettori di base e riducendo per righe.
Mi viene dim=3 per $ a != 2 $, per a = 2 dim = 2.

Ora l'esercizio chiede di assumere a=2 e di trovare l'intersezione $ H_2 nn K $ .

In forma parametrica mi risulta: K = span{(1,1,1,0),(-1,0,0,1)} e H_2 = span{(1,2,0,0),(0,0,2,1}.

Ora per appartenere all'intersezione deve verificarsi la condizione

$ a_1 ( ( 1 ),( 2 ),( 0),( 0 ) ) + a_2 ( ( 0 ),( 0 ),( 2 ),( 1) ) = b_1 ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) + b_2 ( (- 1 ),( 0),( 0),( 1) ) $

In forma matriciale il sistema mi viene

$ ( ( 1 , 0 , -1 , 1 ),( 2 ,0 , -1,0 ),( 0, 2 , -1 , 0),( 0, 1 , 0, -1 ) ) x ( ( a_1 ),( a_2 ),( b_1 ),( b_2) ) = 0 $

da cui l'intersezione mi risulta = span{1,1,2,1}.

Il dubbio che mi è sorto è: per appartenere all'intersezione non deve essere soluzione del sistema:

$ x+2y = 0 $
$2z+t = 0$
$x+y+z = 0$
$-x+t = 0 $

la cui soluzione mi da = span(2,-1,-1,2) ?

[g.longhi]

Chiedo scusa, ho capito da solo gli errori.. nel primo "modo parametrico" ho risolto i COEFFICIENTI, quindi
ho che $ a_1 = 1, a_2 = 1, b_1 = 2, b_2 = 1 $ da cui H ^ W = span {(1,2,2,1)}

Nel "modo cartesiano" ho sbagliato le equazioni di H_2.
Risolvendo il sistema :

$ y-2x = 0$
$z-2t = 0$
$2x-y-z+2t = 0$
$y-z=0 $

torna tutto.

Chiedo ancora scusa per le amenità