Altro problema su ker di un'applicazione
Questa notte mi sto accorgendo di alcune lacune che devo assolutamente annichilire.
Stavo leggendo la soluzione di un esercizio simile a quelle che ho proposto un momento fa, e non mi capacito di un fatto simile:
Testo: sia \(\displaystyle \Phi: \text{End}_{\mathbb{Q}}(V) \to \text{End}_{\mathbb{Q}}(V) \) (\(\displaystyle V \) è una spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle 4 \) che si decompone come \(\displaystyle V=W \oplus U \), entrambi di dimensione \(\displaystyle 2 \)) definito ponendo \(\displaystyle \Phi(\phi)=\pi \circ \phi - \phi \circ \pi \) (\(\displaystyle \pi \) è la proiezione su \(\displaystyle U \) parallelamente a \(\displaystyle W \)). Si determinino dimensioni di nucleo e immagine di \(\displaystyle \Phi \). [...]
Soluzione (incipit): un omomorfismo, \(\displaystyle \phi:V \to V \), appartiene a \(\displaystyle \text{ker}\; \Phi \) se e solo se \(\displaystyle \phi(U) \subseteq U \) e \(\displaystyle \phi(W) \subseteq W \) [...]
Perché?
Ringrazio.
Stavo leggendo la soluzione di un esercizio simile a quelle che ho proposto un momento fa, e non mi capacito di un fatto simile:
Testo: sia \(\displaystyle \Phi: \text{End}_{\mathbb{Q}}(V) \to \text{End}_{\mathbb{Q}}(V) \) (\(\displaystyle V \) è una spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle 4 \) che si decompone come \(\displaystyle V=W \oplus U \), entrambi di dimensione \(\displaystyle 2 \)) definito ponendo \(\displaystyle \Phi(\phi)=\pi \circ \phi - \phi \circ \pi \) (\(\displaystyle \pi \) è la proiezione su \(\displaystyle U \) parallelamente a \(\displaystyle W \)). Si determinino dimensioni di nucleo e immagine di \(\displaystyle \Phi \). [...]
Soluzione (incipit): un omomorfismo, \(\displaystyle \phi:V \to V \), appartiene a \(\displaystyle \text{ker}\; \Phi \) se e solo se \(\displaystyle \phi(U) \subseteq U \) e \(\displaystyle \phi(W) \subseteq W \) [...]
Perché?
Ringrazio.
Risposte
Faccio una direzione: prendi $v \in V$ tale che $v = u + w$ ($u \in U$ e $w \in W$). Supponiamo inoltre che $\phi(U) \subseteq U$ e $\phi(W) \subseteq W$; allora mi sembra che
\[ \Phi(\phi(v)) = (\pi \circ \phi)(v) -(\phi \circ \pi)(v) = \underbrace{(\pi \circ \phi)(w)}_{0} + \underbrace{(\pi \circ \phi)(u)}_{\phi(u)} - \underbrace{(\phi \circ \pi)(w)}_{0} - \underbrace{(\phi \circ \pi)(u)}_{\phi(u)} \]
essendo la restrizione $\pi_{|W}$ l'omomorfismo banale e $\pi_{|U}$ l'identità... Se non ho compreso male il testo.
Allora, con quelle condizioni poste, $\phi \in \text{Ker} \Phi$.
Per l'altra direzione dovrebbe potersi fare un discorso analogo.
\[ \Phi(\phi(v)) = (\pi \circ \phi)(v) -(\phi \circ \pi)(v) = \underbrace{(\pi \circ \phi)(w)}_{0} + \underbrace{(\pi \circ \phi)(u)}_{\phi(u)} - \underbrace{(\phi \circ \pi)(w)}_{0} - \underbrace{(\phi \circ \pi)(u)}_{\phi(u)} \]
essendo la restrizione $\pi_{|W}$ l'omomorfismo banale e $\pi_{|U}$ l'identità... Se non ho compreso male il testo.
Allora, con quelle condizioni poste, $\phi \in \text{Ker} \Phi$.
Per l'altra direzione dovrebbe potersi fare un discorso analogo.
Sì, mi pare perfettamente logico. Da questo come ne deduco la dimensione?
Grazie Seneca.
Grazie Seneca.
Non so, bisognerebbe pensarci. Concentrati sul nucleo: hai che un endomorfismo del nucleo ha $U$ e $W$ come sottospazi invarianti.
Prova a dare un'occhiata a pag.69 (prima metà) e a vedere se riesci a cavarne fuori qualcosa.
http://www.scribd.com/doc/73686431/34/S ... invarianti ... non credo dica nulla che tu non sappia già.
Prova a dare un'occhiata a pag.69 (prima metà) e a vedere se riesci a cavarne fuori qualcosa.
http://www.scribd.com/doc/73686431/34/S ... invarianti ... non credo dica nulla che tu non sappia già.
Ti riporto quanto detto dalla seconda parte della soluzione, che non ho per nulla afferrato:
[...] Dunque \(\displaystyle \text{ker}\; \Phi \cong \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(U,U) \times \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(W,W) \) è un sottospazio di dimensione \(\displaystyle 8 \).
[...] Dunque \(\displaystyle \text{ker}\; \Phi \cong \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(U,U) \times \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(W,W) \) è un sottospazio di dimensione \(\displaystyle 8 \).
Io direi che puoi vederla così: sia $\phi \in \text{Ker} \Phi$. Avvalendosi dell'osservazione di prima, esiste una base di $V$ tale che la matrice associata ad $f$ rispetto alla base considerata sarà a blocchi, della forma $M(\phi) = ((a_{11} , a_{12} , 0 , 0), (a_{21} , a_{22} , 0, 0),(0,0, a_{33} , a_{34}),(0, 0 , a_{43} , a_{44}))$ .
Viceversa una matrice di questo tipo sta in $\text{Ker} \Phi $. La dimensione di $\text{Ker} \Phi$ è quindi $8$; è banale trovarne una base.
Viceversa una matrice di questo tipo sta in $\text{Ker} \Phi $. La dimensione di $\text{Ker} \Phi$ è quindi $8$; è banale trovarne una base.
Giusto! Una base è pertanto data dalle seguenti matrici: \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Adesso rifletto un attimo sul perché di quell'isomorfismo...
Adesso rifletto un attimo sul perché di quell'isomorfismo...
Beh, è abbastanza evidente. In sostanza $M(\phi)$ è una matrice a blocchi:
$M(\phi) = ((A_1 , 0 ), (0 , A_2)) = M(\phi) = ((M(\phi_{|U}) , 0 ), (0 , M(\phi_{|W}))) $
$M(\phi_{|U}) $ , $M(\phi_{|W})$ sono due endomorfismi (il primo di $End(U)$ ed il secondo di $End(W)$). Allora...
$M(\phi) = ((A_1 , 0 ), (0 , A_2)) = M(\phi) = ((M(\phi_{|U}) , 0 ), (0 , M(\phi_{|W}))) $
$M(\phi_{|U}) $ , $M(\phi_{|W})$ sono due endomorfismi (il primo di $End(U)$ ed il secondo di $End(W)$). Allora...
Ottimo, ci sono. Grazie Seneca!
Mi è venuta in mente un'altra cosa: se avessi avuto per esempio un'applicazione del tipo \(\displaystyle \Phi: \text{End}_{\mathbb{Q}}(V) \to \text{End}_{\mathbb{Q}}(V) \) t.c. \(\displaystyle \Phi(\phi)=\pi \circ \phi \circ \pi \), avrei potuto affermare che \(\displaystyle \text{ker} \; \Phi \) è lo spazio dei \(\displaystyle \phi \) t.c. \(\displaystyle \phi(U) \subseteq W \)... Ma cosa dire della sua dimensione?
Grazie di nuovo.
Grazie di nuovo.
Hai la soluzione? Ad una prima occhiata mi sembra che il nucleo abbia dimensione 12.
Come hai giustamente osservato \( \phi \in \text{Ker } \Phi \;\; \iff \;\; \phi(U) \subseteq W \). Allora come sarà fatta la matrice di $\phi$ rispetto ad una certa base $( u_1 , u_2 , w_1 , w_2 )$, con $u_i \in U$ e $w_i \in W$?
$M(\phi) = ((0 ,0 , a_{13} , a_{14}), (0, 0 , a_{23}, a_{24}),(a_{31},a_{32}, a_{33} , a_{34}),(a_{41}, a_{42} , a_{43} , a_{44}))$
$M(\phi) = ((0 ,0 , a_{13} , a_{14}), (0, 0 , a_{23}, a_{24}),(a_{31},a_{32}, a_{33} , a_{34}),(a_{41}, a_{42} , a_{43} , a_{44}))$
"Seneca":
Hai la soluzione? Ad una prima occhiata mi sembra che il nucleo abbia dimensione 12.
La soluzione è corretta, Seneca, ma forse ci sono arrivato da solo. Spiego il ragionamento: scelgo opportunamente una base \(\displaystyle \mathcal{U} \) di \(\displaystyle V \) in modo tale che la matrice di \(\displaystyle \pi \) risulti essere \[\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Una base di \(\displaystyle \text{ker} \; \Phi \) sarà pertanto data dalle matrici \[\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] \[\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] \[\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
E' corretto?
L'idea va bene, anche se la matrice di $\pi$ così scritta non mi convince. In ogni caso manca qualche parolina sul come hai dedotto la dimensione ed hai esibito una base per il nucleo di $\Phi$ a partire dall'osservazione sulla proiezione.
"Seneca":
L'idea va bene, anche se la matrice di $\pi$ così scritta non mi convince. [...]
Noto solo ora che la mia risposta si è accavallata ad un'altra tua.
Dunque, se scelgo come base proprio la base che tu proponi, la proiezione funge da identità per tutti i vettori dello spazio su cui si proietta e annulla tutti i vettori dello spazio parallelamente al quale si proietta. L'immagine di generico vettore \(\displaystyle v=\alpha u_{1} + \beta u_{2} + \gamma w_{1} + \delta w_{2} \) sarà infatti \(\displaystyle \alpha u_{1}+\beta u_{2} \), proprio per definizione di proiezione.
"Seneca":
[...] In ogni caso manca qualche parolina sul come hai dedotto la dimensione ed hai esibito una base per il nucleo di $\Phi$ a partire dall'osservazione sulla proiezione.
Mi sembra che le due osservazioni (la mia e la tua) siano complementari. Volendo ricavare la matrice di \(\displaystyle \phi \) sapendo che \(\displaystyle \phi(U) \subseteq W \) opero sui vettori della base \(\displaystyle \mathcal{U}=\{ u_{1},u_{2},w_{1},w_{2} \} \) (vedi sopra): \[\displaystyle \phi(u_{1})=a_{1}w_{1} + a_{2}w_{2} \] \[\displaystyle \phi(u_{2})=a_{3}w_{1} + a_{4}w_{2} \] mentre le immagini di \(\displaystyle w_{1} \) e \(\displaystyle w_{2} \) possono essere scelte ad arbitrio. E così salta fuori la matrice di \(\displaystyle \phi \). Il resto è abbastanza naturale, nel senso che se tratto le matrici come vettori la dimensione non può che essere \(\displaystyle 12 \).
Va un po' meglio così?
Il problema di esercizi di questo tipo è appunto accorgersi della condizione \(\displaystyle \phi(U)\subseteq W \)...
Sì, va bene.
Grazie Seneca. Non è la prima volta che mi trai d'impaccio.
Un'ultima cosa: come "ci si accorge" che la condizione da cui si dipana la matassa è l'essere \(\displaystyle \phi(U)\subseteq W \)? Diciamo che io "l'ho sparata un po' a caso", in assonanza con quanto dicevamo più sopra...
Un'ultima cosa: come "ci si accorge" che la condizione da cui si dipana la matassa è l'essere \(\displaystyle \phi(U)\subseteq W \)? Diciamo che io "l'ho sparata un po' a caso", in assonanza con quanto dicevamo più sopra...
Quella condizione lì viene fuori dall'esigenza di caratterizzare gli elementi del nucleo di $\Phi$ sfruttando il fatto che $\Phi$ è una composizione in cui compaiono delle proiezioni.
Intuirla è, secondo me, questione di esercizio e di occhio allenato.
Intuirla è, secondo me, questione di esercizio e di occhio allenato.
Cercherò quindi di farci l'occhio. Ti ringrazio ancora.
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