Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Considera l'applicazione lineare \(\displaystyle L: \mathbb{C}^4 \rightarrow \mathbb{C}^4 \) in cui la matrice, rispetto alla base canonica è
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0&i&0&-1\\1&i&i&-i\\2&0&1&1\\0&1&0&i\end{pmatrix} \)
a) scrivere una base di \(\displaystyle Ker L \) e \(\displaystyle Imm L \)
b) determinare \(\displaystyle Ker L \cap Imm L \)
c) Dire se esiste un \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle L^n\) è l'endomorfismo nullo
2 domande:
1) la base canonica ...
1. Premetto che, al di là delle definizioni astratte, non ho ancora compreso geometricamente cosa significhi sollevare un cammino o sollevare una omotopia di cammini (lifting). Quindi, se qualcuno vuole spendere due parole per favorire l'approccio intuitivo e geometrico a questi concetti, anche se l'esercizio che segue non c'entra con ciò, è il benvenuto.
2. Vorrei avere un parere sullo svolgimento del seguente esercizio:
Esercizio. Un rivestimento $p : E \to B$ è una mappa aperta.
Sia ...
Per essere un isomorfismo deve essere contemporaneamente suriettiva e iniettiva.Ora,se ad esempio ho l'applicaz.
$L:RR->RR^3$ definita come $L(t)=(0,t,pit)$ credo che per affermare che è iniettiva bisogna controllare che l'unica soluzione del sistema $ { ( 0=0 ),( t=0 ),( pit=0 ):} $ sia la terna (0,0,0) ,(in questo caso quindi è iniettiva).
Però non so stabilire in quale caso è anche suriettiva(per lo meno in un caso generale,perchè in questo so che non lo è visto che la prima coordinata del vettore ...
Ho un riguardo gli intervalli dell'insieme delle soluzioni S delle disequazioni di primo grado.
ax + b > 0
Primo caso
a = 0
b > 0 -> S = R
b < 0 -> S = insieme vuoto ( disequazione impossibile )
Secondo caso
a > 0
ax + b > 0 -> ax > -b -> x > -b/a
S = ] -b/a , +oo [
Terzo caso
a < 0
ax + b > 0 -> ax > -b -> x < -b/a
S = ] -oo, -b/a [
Ora, non capisco una cosa: l'intervallo dell'insieme di soluzioni è determinato dal valore di a ( , = ) oppure dall'ultimo valore di x ( < o > a -b/a ) ...
Salve ragazzi, ho la seguente base di una topologia su $RR$
$B={(n,n+1]|n in ZZ}$
Ovviamente gli aperti di questa topologia sono unioni di elementi della base. Non riesco proprio a focalizzare però quali sono i chiusi . Sareste cosi gentili da darmi una dritta?
Ciao a tutti, vi propongo un semplice esercizio che mi capitò all'orale di Geometria&Algebra a Marzo (non so perchè ma mi è venuto in mente adesso). Sicuramente un buon allenamento per chi sta preparando quest'esame, (per gli altri probabilmente sarà una stupidata)
Ciao a tutti.
Ho un dubbio che mi attanaglia da un pò di tempo. Ve lo spiego con un esempio:
Sia $T: R^3->R^3$ un endomorfismo tale che:
$T(1,1,0)=(1,1,0)$
$T(0,1,1)=(0,1,1)$
$T(0,0,1)=(0,0,2)$
Devo calcolare la matrice associata al suddetto endomorfismo rispetto alla base canonica; durante i numerosi esercizi che ho svolto ho incontrato due diverse procedure che mi sembrano un pò in contrasto.
PRIMO METODO:
$x(1,1,0)+y(0,1,1)+z(0,0,1)=(1,0,0)$ da cui ottengo $x=1, y=-1, z=1$
$x(1,1,0)+y(0,1,1)+z(0,0,1)=(0,1,0)$ da cui ottengo ...
Salve, non capisco come risolvere il seguente esercizio.
Sia $B = ((-1,4),(-2,8))$. Determinare le matrici $A$ tali che $A*B$ è una matrice simmetrica. Queste matrici $A$ costituiscono un sottospazio di $M_2(R)$? Se si determinare la dimensione e una base.
Come si svolge?
Ciao a tutti.
Supponiamo di avere una trasformazione lineare definita rispetto ad una base $B$ qualunque; qual'è il procedimento per calcolare la matrice associata alla suddetta trasformazione rispetto alle basi canoniche?
Grazie in anticipo a tutti voi.
Ciao a tutti,
ho difficoltà (non sò da dove partire) nel descrivere (calcolare)e determinare la dmensione delle seguenti:
Conosco:
$\alpha$ = $((1,-1,0),(1,1,2),(1,1,2),(0,1,1))$
$\beta$ = $((1,0,1,-4),(0,1,0,-3),(1,1,1,-7),(1,-1,1,-1))$
ho trovato il Ker($\beta$) che è composto dalle seguenti due equazioni:
1. $x_1$+$x_3$-4$x_4$ = 0
2. $x_2$-3$x_4$ = 0
e l'immagine di $\alpha$ che è:
Im($\alpha$) = L($((1),(1),(1),(0))$ , ...
Salve a tutti,
Una domanda riguardo il calcolo degli autovettori di una matrice, quando ci si trova a che fare con sistemi indeterminati una volta trovati gli autovalori.
Ad esempio, ho la matrice $A = [[1,0,0],[1,0,1],[-2,2,-1]]$, con polinomio caratteristico $(1-t)(t^2+t-2)$, e quindi autovalori $t_1=1 text{(molteplicità 2), e }t_2=-2 text{(molteplicità 1)}$.
Nel calcolare gli autovalori, sostituisco alla matrice A - tI, prima 1, e poi -2.
Nel caso di t = 1, ottengo: $A-I = [[0,0,0],[1,-1,1],[-2,2,-2]]$. Come trovo ora gli autovettori? Il sistema è indeterminato, e se ...
Sia \({G}={\left(\matrix{{5}&{2}\\{2}&{1}}\right)} \) e sia g il prodotto scalare su R2
Descrivere S = (A appartenenti allo spazio delle matrici 2x2 \ Fa = trasposta di Fa)
essendo Fa definito da Fa(x) = AX ed essendo traccia di Fa il trasposto di Fa rispetto a g
Allora il prodotto scalare su R2 è definito da questa formula se non erro g(x,y)=(traspostoX)GY
inoltre tramite una serie di passaggi ho trovato una formula sul libro che mi dice che g(f(x),y) = g(x,traccia f(y))
Non ho ...
Questo è il secondo post sulla topologia! Ho pensato e ripensato a questi esercizi, ho fatto ricerche per cercare di risolverli... ma proprio non ci sono riuscita! spero che qualcuno mi potrà aiutare con qualche suggerimento
1) sia (R^2,A) uno spazio topologico, nel quale gli aperti sono $RR$, il vuoto e gli insiemi Aa= ${(x,y): y>ax^2}$ se a$>=$ 0 ed Aa=${(x,y):y<ax^2}$ se a
Il sistema lineare parametrico con 5 equazioni e 4 incognite è :
\[
\begin{cases}
x&+&z-&t&=&1\\
-x&-&y +&z+&t&=&1\\
2x&+&y +&3z+&4t&=4+k\\
(k-1)x+&y -&z+&t&=1\\
2x+&y+&4z+&(4+k)t&=8\\
\end{cases}
\]
il rango della matrice incompleta può essere al massimo 4,quindi consideriamo la prima 4x4,se il determinante è diverso da 0 il rango è 4 altrimanti dobbiamo considerare l'altra 4x4 e calcolare il determinante.
la 4x4 che ho considerato è:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 1 & ...
Se [tex]f\colon \mathbb R\to \mathbb R^2[/tex] e' continua e iniettiva, dimostrare che [tex]f(\mathbb R)[/tex] non puo' essere aperto in [tex]\mathbb R^2[/tex].
Mi sta facendo impazzire.
Ciao a tutti! Ho questo sistema lineare e sono un po' confuso
\(\displaystyle x + y + z = \alpha \)
\(\displaystyle \alpha x + y + 2z = 1 \)
\(\displaystyle x + \alpha y + 3z = 1 \)
Ho ridotto la matrice è ho calcolato il determinante della matrice non completa : \(\displaystyle (-\alpha+4)(\alpha-1) \)
Posso dire che la matrice non completa non ha rango massimo se alpha è uguale a 4 o a 1.
Ora, come confronto questi due valori con la matrice completa per poter discutere l'esistenza di ...
siano X ed Y i punti in cui un piano $b$ della stella che ha per centro il punto $P=(3,-1,2)$ incontra l'asse x e l'asse y . scrivere le equazioni dei piani della stella per i quali $OX=OY$ dove O è l'origine.
non riesco ad impostare questo problema so qual è l'eq. della stella di piani in generale ma come sfrutto il fatto che è noto il centro??? e i suoi piani come li ricavo??
mi servirebbe una mano:(
Ciao ragazzi, ho un dubbio abbastanza banale e credo di soluzione molto rapida:
ho questa matrice:
$ ( ( c , 0 , 0 ),( 0 , 13, c ),( 0 , c , 13 ) ) $
Devo scrivere la conica avente questa matrice come discrimante, allora faccio:
$ ( ( x , y , 1 ) ) x ( ( c , 0 , 0 ),( 0 , 13 , c ),( 0 , c , 13 ) ) x ( ( x ),( y ),( 1 ) ) $
e mi viene fuori:
$ c x^2+13 y^2+2c y+13=0 $
è giusto?
perchè su degli appunti che ho fa:
$ ( ( 1 , x , y ) )*( ( c , 0 , 0 ),( 0 , 13 , c ),( 0 , c , 13 ) )*( ( 1 ),( x ),( y ) ) $
e gli viene:
$ 13 x^2+2c xy +13 y^2+c=0 $
il chè non mi torna per niente!!
Se $F:RR^2 ->RR^2$ è un'applicazione tale che $F(1,0)=(2,0) , F(0,-1)=(2,0) , F(0,0)=(1,0) $può essere lineare?
Secondo me ,dato che un'applicazione lineare è completamente determinata dai valori che assume su una base del dominio, basta scegliere la base costituita da(1,0) e (0,-1), e ottenere così :$2x,2y$ dove i termini sono entrambi polinomi di primo grado nelle incognite x e y e quindi F è un'applicazione lineare.
Dopo tutto ciò poi si nota che applicando la funzione al vettore nullo non si ottiene ...
Salve. Chiedevo delucidazioni in merito alla dimostrazione di una delle seguenti risposte al quesito che riporto:
Rispetto ad un piano cartesiano $Oxy$, i punti del piano diversi dal punto $P-=(-1,2)$ sono tutti e soli i punti $(x,y)$ tali che:
A) $y!=2$;
B) $x*y!=-2$;
C) $x!=-1$;
D) $x!=-1$ oppure $x!=2$;
E) $x!=-1$ e $x!=2$;
Ci siamo che la risposta esatta è la D), ma non riesco a dimostrare ...
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