Determinante matrici a coefficienti in dominio
Ciao, amici! Mi sono riletto i principali teoremi e risultati che il capitolo del Sernesi sui determinanti dimostra per matrici in \(M_{n}(K)\) per vedere se fossero validi in generale in \(M_{n}(D)\) con \(D\) dominio d'integrità e direi che, mentre vari risultati che utilizzano matrici inverse sono problematici, i seguenti risultati valgono in generale per \(\text{det}(A)\) con \(A\in M_{n}(D)\) e \(D\) dominio d'integrità:
-il determinante è lineare nelle righe e nelle colonne, cioè -per le colonne- se \(A=(A_{(1)}...A_{(i)}...A_{(n)})\) e \(A_{(i)}=cV+c'V'\) allora \(\text{det}(A)=c\text{det}(A_{(1)}...V...A_{(n)})+c' \text{det}(A_{(1)}...V'...A_{(n)}) \) con \(V\) e \(V'\) in \(i\)-esima posizione;
-una trasposizione di righe o colonne cambia il segno del determinante;
-\(\text{det}(I_n)=1\in D\);
-la linearità nelle colonne e le ultime due proprietà qui sopra caratterizzano univocamente la funzione determinante;
-\(\text{det}(A)=\text{det}(^{t}A)\) dove \(^{t}A\) è la trasposta di \(A\);
-\(\text{det}(AB)=\text{det}(A)\text{det}(B)\);
-se \(A\) è invertibile allora \(\text{det}(A^{-1})=(\text{det}(A))^{-1}\);
-se \(A\) ha una riga o una colonna nulla allora \(\text{det}(A)=0\in D\);
-aggiungendo ad una riga o colonna un multiplo scalare di un'altra, il determinante non cambia;
-vale lo sviluppo di Laplace;
-\(A ^{t}[\text{cof}(A)]=\text{det}(A)I_n\) dove \(^{t}[\text{cof}(A)]\) è la trasposta della matrice cofattore di \(A\).
Giusto?
Grazie di cuore a chi vorrà confermare o smentire!!!
-il determinante è lineare nelle righe e nelle colonne, cioè -per le colonne- se \(A=(A_{(1)}...A_{(i)}...A_{(n)})\) e \(A_{(i)}=cV+c'V'\) allora \(\text{det}(A)=c\text{det}(A_{(1)}...V...A_{(n)})+c' \text{det}(A_{(1)}...V'...A_{(n)}) \) con \(V\) e \(V'\) in \(i\)-esima posizione;
-una trasposizione di righe o colonne cambia il segno del determinante;
-\(\text{det}(I_n)=1\in D\);
-la linearità nelle colonne e le ultime due proprietà qui sopra caratterizzano univocamente la funzione determinante;
-\(\text{det}(A)=\text{det}(^{t}A)\) dove \(^{t}A\) è la trasposta di \(A\);
-\(\text{det}(AB)=\text{det}(A)\text{det}(B)\);
-se \(A\) è invertibile allora \(\text{det}(A^{-1})=(\text{det}(A))^{-1}\);
-se \(A\) ha una riga o una colonna nulla allora \(\text{det}(A)=0\in D\);
-aggiungendo ad una riga o colonna un multiplo scalare di un'altra, il determinante non cambia;
-vale lo sviluppo di Laplace;
-\(A ^{t}[\text{cof}(A)]=\text{det}(A)I_n\) dove \(^{t}[\text{cof}(A)]\) è la trasposta della matrice cofattore di \(A\).
Giusto?
Grazie di cuore a chi vorrà confermare o smentire!!!
Risposte
A me sembra che vada tutto bene però farei una precisazione.
Mi sembra più corretto affermare:
-se \(A\) è invertibile allora \(\displaystyle \text{det}(A) \) è invertibile e vale \(\text{det}(A^{-1})=(\text{det}(A))^{-1}\).
"DavideGenova":
-se \(A\) è invertibile allora \(\text{det}(A^{-1})=(\text{det}(A))^{-1}\)
Mi sembra più corretto affermare:
-se \(A\) è invertibile allora \(\displaystyle \text{det}(A) \) è invertibile e vale \(\text{det}(A^{-1})=(\text{det}(A))^{-1}\).
$+oo$ grazie!!!
Stavo inserendo "la linearità nelle colonne e le ultime due proprietà qui sopra caratterizzano univocamente la funzione determinante". Vale anche quello, no? Grazie ancora!!!!!
Stavo inserendo "la linearità nelle colonne e le ultime due proprietà qui sopra caratterizzano univocamente la funzione determinante". Vale anche quello, no? Grazie ancora!!!!!
Si', e' tutto vero (con la precisazione che ti e' stata appena fatta). Sai anche dimostrarlo? 
L'applicazione determinante $\det : K^n \to K$, dove $K$ e' un dominio di integrita', si puo' definire astrattamente come l'unico generatore di $\bigwedge^n(K^n)$ (spazio vettoriale delle applicazioni n-lineari alternanti, che per motivi combinatori ha dimensione 1) che vale 1 sulla base canonica.
Da qui discendono molte delle proprieta' che hai elencato, che in effetti sono "tutte" quelle che lo caratterizzano univocamente.
In modo piu' elementare, uno puo' fare tutto con la definizione esplicita
\[\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma_i}\]
dimenticandosi che sta lavorando su un anello e non su un campo, al netto del precisare che qui non tutti gli elementi non nulli di $K$ sono unita'...
L'applicazione determinante $\det : K^n \to K$, dove $K$ e' un dominio di integrita', si puo' definire astrattamente come l'unico generatore di $\bigwedge^n(K^n)$ (spazio vettoriale delle applicazioni n-lineari alternanti, che per motivi combinatori ha dimensione 1) che vale 1 sulla base canonica.
Da qui discendono molte delle proprieta' che hai elencato, che in effetti sono "tutte" quelle che lo caratterizzano univocamente.
In modo piu' elementare, uno puo' fare tutto con la definizione esplicita
\[\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma_i}\]
dimenticandosi che sta lavorando su un anello e non su un campo, al netto del precisare che qui non tutti gli elementi non nulli di $K$ sono unita'...
Beh, data l'elementarità (nel senso da scuole elementari o quasi) del mio livello ho semplicemente notato che la dimostrazione, basata appunto sulla definizione esplicita, fornita dal Lang in Algebra lineare calzava anche per \(A\in M_n(D)\) con \(D\) dominio d'integrità... 
\(+\infty\) grazie anche a te, killing_buddha!!!!
\(+\infty\) grazie anche a te, killing_buddha!!!!
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