Domande sulla diag. di endomorfismi

[g.longhi]

La matrice A, canonicamente associata ad un endomorfismo f di R^3 ha autovalori 2, 3 e 4.

i. Si può stabilire se f è diagonalizzabile?
ii. Si può calcolare il determinante di A?
iii. Si può stabilire se f è iniettiva o suriettiva?

Non sono proprio una cima ma io direi che:

i. Se il polinomio caratteristico ha radici reali e distinte, per essere diagonalizzabile l'altra condizione necessaria è che i relativi autospazi abbiamo dimensione = 1 (molt.geo = molt.alg).

ii. Avendo gli autovalori possiamo costruirci la matrice diagonale con gli stessi sulla diag. principale, chiamiamola D.
Questa sarà simile alla matrice A associata, e quindi $A = P^-1 D P$, dove P è la matrice diagonalizzante costituita dagli autovettori. $det P^-1 * det P = 1 -> det A = det D = 24$

iii. Visto che il determinante di A $!=0$ allora il rango di A è 3, quindi dim ker f = 0 e dim im f = 3.
Cioè è suriettiva e iniettiva.

Ho ragionato in modo corretto o mi sfugge qualcosa?
Vi ringrazio

[lordb]

i. Se la matrice $A$ associata ad un endomorfismo in $RR^N$ ha $N$ autovalori distinti allora è diagonalizzabile per similitudine.

[g.longhi]

"lordb":i. Se la matrice $A$ associata ad un endomorfismo in $RR^N$ ha $N$ autovalori distinti allora è diagonalizzabile per similitudine.

Dunque è diagonalizzabile. Questo risultato mi sfuggiva, ma sospettavo fosse per qualche ragione verificata la condizione sulle molteplicità. Ti ringrazio
Il resto è tutto ok?

[lordb]

La dimostrazione è questa:

Sia $(x_1,....x_n)$ la $text {n-pla}$ degli autovalori di $A$, poichè $AA i,j in (1,...,n) i!=j => x_i!=x_j$ per il teorema fondamentale dell'algebra si ottiene $sum_(i=1)^n ma(x_i)=N$.

Sfruttando il seguente risultato:

$1 <= sum_(i=1)^n mg(x_i) <= sum_(i=1)^n ma(x_i) <= N$

e sapendo che $AA i in (1,....,n)$:

$1 <= mg(x_i) <=ma(x_i) [=1]$

$mg(x_i)=1$

Allora:

$sum_(i=1)^n mg(x_i) = sum_(i=1)^n ma(x_i) = N$

Per il teorema spettrale allora $A$ è diagonalizzabile per similitudine.

Il resto mi sembra ok (nel punti ii hai scritto $text{"P è la matrice diagonalizzante"}$, forse volevi scrivere che $text{"D è la matrice diagonale"}$).

[g.longhi]

No, D è la matrice diagonale con gli autovalori. P è la matrice "diagonalizzante" (nel mio corso l'abbiam chiamata così almeno), dove P è formata dagli autovettori.

P è t.c. A= P^-1 * D * P.

Ti ringrazio comunque, gentilissimo

[lordb]

Ah ok non l'avevo mai sentito