Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ho uno spazio affine $A$ con spazio vettoriale associato $mathbb{R}^3$. Sia $\pi$ il piano di equazione $\pi: 3x+y-2z+2=0$. Trovare l'equazione di una retta ortogonale a tale piano.
Poiché il vettore $v=3v_1+v_2-2v_3$ (con $B=\{v_1,v_2,v_3\}$ base di $mathbb{R}^3$) è ortogonale a tale piano, una retta può essere
\[ \begin{cases} x=3t \\ y=t \\ z=-2t \end{cases} \]
In quanto l'ortogonale a tale piano (una retta in $mathbb{R}^3$) ha come giacitura ...
Ciao a tutti!
Qualcuno mi saprebbe dire un diffeomorfismo esplicito tra iperboloide iperbolico di equazioni $ (x / a)^2+(y / b)^2- (z / c)^2=1 $ e il cilindro di equazioni $ x^2+y^2=1 $ ?
Grazie
Date le matrici A e B, determinare per quali valori di k la matrice A*B è invertibile.
A=$((1,k),(2,k^2))$ B=$((k,1),(1,1))$
Allora ho fatto il prodotto delle matrici e mi viene:
A*B=$((k,k),(2,k^2))$
ho calcolato il determinante e mi viene
$det=k^3-2k$ che è uguale a $k(k^2-2)=0$ da cui k=0; k=2; k=-2
ho concluso dicendo che per K diverso da 0,2,-2, la matrice A*B è invertibile. Ho sbagliato?
Salve a tutti, non ci ho a che fare da diverso tempo ed ho alcune difficoltà a capire l'ordine delle operazioni in alcune equazioni in cui è presente l'operatore $\nabla$.
Supponiamo infatti di avere due vettori generici $\vec u$ , $\vec v$ e di voler calcolare le seguenti quantità:
$\vec u*\nabla\vec v$
$\vec u\nabla*vec v$
Il dubbio che io ho, e che sicuramente per molti di voi risulterà banale, riguarda la lettura di tali scritture, mi spiego meglio:
il primo caso ...
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita e $f: V \to V$ lineare. Allora sappiamo che $V= \ker (T) \oplus Im(T)$.
Possiamo dire che questo fatto continua a valere se $V$ ha dimensione infinita? Oppure quali sono le ipotesi da aggiungere affinchè valga in dimensione infinita?
L'esercizio consiste nel trovare una matrice quadrata tale che A^2=A, con A=I (matrice diagonale) e A=0. Una tale matrice ha det(A)$!=$0?
Sono riuscito a risolverlo nel caso di una matrice 2x2:
$((x,y),(z,t))*((x,y),(z,t))=((x,y),(z,t))$
$((x^2+yz,xy+yt),(xz+zt,yz+t^2))$
Con i dovuti calcoli ottengo:
$x=1-t$
$y=(t-t^2)/z$
Quindi la matrice ottenuta è:
$((1-t,(t-t^2)/z),(z,t))$
E ne posso ottenere una qualsiasi ponendo per esempio z=1(z=0 è impossibile) e t=0.
Dopodiché, per rispondere alla seconda domanda, se il ...
Ciao a tutti, ho trovato questo esercizio svolto ed ho delle domande da porvi:
Studiare la dipendenza o indipendenza lineare dei seguenti vettori di $RR^3$
$v1=(1, -3, 7),$ $v2=(2, -1, -1),$ $v3=(-4, 2, 2)$
Se risultano linearmente dipendenti esprimere, quando e possibile:
v1 come combinazione lineare di v2 e v3
v2 come combinazione lineare di v1 e v3
v3 come combinazione lineare di v1 e v2
La risoluzione dell'equazione vettoriale $xv1 + yv2 + zv3 = 0$ permette di rispondere a ...
Salve a tutti, sto preparando l'esame orale di Geometria Affine. Volevo chiedervi:
Sia $V$ uno spazio vettoriale con annesso un prodotto scalare $\cdot$ e $f: V \rightarrow V$ un endomorfismo simmetrico. Allora $f$ è diagonalizzabile ortogonalmente.
Vi chiedo (poiché nei miei appunti ho così scritto senza dimostrazioni, ma solo come frase buttata lì, dunque potenzialmente come errore di trascrizione): un endomorfismo non simmetrico è necessariamente non ...
Salve a tutti. Sto svolgendo degli esercizi per un esame di geometria differenziale e ne ho trovato due che proprio non riesco a risolvere, ve li scrivo di seguito.
Esercizio 1:
Verificare che
\[
X^{-1}_JX =
\begin{pmatrix}
z^1_1 & \dots & z^{i-1}_1 & 1 & z^{i+1}_1 & \dots & z^{j-1}_1 & 0 & z^{j+1}_1 & \dots & z^n_1 \\
z^1_2 & \dots & z^{i-1}_2 & 0 & z^{i+1}_2 & \dots & z^{j-1}_2 & 1 & z^{j+1}_2 & \dots & z^n_2
\end{pmatrix}
\]
dove \(X^{-1}_J\) è l'inversa della sottomatrice di X individuata ...
Salve, per trovare la comune perpendicolare di due rette:
mi ricavo i vettori direttori di esse e ne faccio il loro prodotto vettoriale...
è giusto come procedimento?? vale x tutti i tipi di rette?
Buonasera a tutti, avrei delle domande da porvi:
1) Cos'è uno spazio affine? ed un sottospazio affine?
2)Cos'è un riferimento affine?
Grazie!
Ho una matrice $6x6$ di cui ho calcolato gli autovalori, che sono:
$0$ con molteplicità $4$
$i sqrt(5)$ con molteplicità $1$
$-i sqrt(5)$ con molteplicità $1$
come viene la forma canonica di jordan?
Ciao, ho un dubbio riguardante il seguente esercizio:
Si consideri la forma quadratica $q(x, y)=x^2+4y^2+4xy$.
Determinare la matrice $M$ invertibile 2x2 tale che $((x'),(y'))=Mcdot((x),(y))$.
Ho calcolato la forma canonica $q(x', y')$, considerando la matrice $A=((1, 2),(2, 4))$ associata a $q(x, y)$ nella base standard di $mathbb{R^2}$. Poi ho calcolato i suoi autovalori: $mathbb{p}_A(lambda)=lambda^2-5lambda=lambda(lambda-5)=0Leftrightarrowlambda=0veelambda=5$;
$q(x', y')=0x'^2+5y'^2$ $Rightarrow$ $q$ semidefinita positiva.
Per ...
Ciao, amici! Trovo sul mio testo di algebra lineare (lo Strang, esercizio 45 dei problemi 1.6) le seguenti espressioni delle inverse delle seguenti matrici $M$ e $B$ (ho rinominato rispetto al libro per chiarezza), dove con $\mathbf{u}$ indico una matrice $n×1$ e con $\mathbf{v}^T$ una matrice $1×n$ -lo Strang usa $M^T$ per la trasposta di $M$-:
$M=I_n-\mathbf{u}\mathbf{v}^T \Rightarrow M^-1=I_n+\frac{\mathbf{u}\mathbf{v}^T}{1-\mathbf{v}^T\mathbf{u}}$
e se $B=A-UW^-1V$, con ...
Salvare ragazzi ho un es: determianre l' equazione del piano,parallelo alla retta r di eq sistema:\(\displaystyle (x=3z-1) \)e\(\displaystyle (y=2z+1) \)
Perpendicolare al piano tangente \(\displaystyle x+3y-2z-3=0 \) e passante per il punto \(\displaystyle (2,-1,0) \)
Io ho pensato di creare un sitema a tre equazione la prima è data sostituendo ax+by+cz (equazione del piano) al punto
la seconda sapendo che i due piani sono perpendicolare aa'+bb'+cc'=0
e la terza mi sono calcolato il vettore ...
Salve a tutti! Sono alle prese con la dimostrazione riguardante l'indipendenza della proiezione ortogonale dalla base ortonormale scelta.
Mi trovo nel caso ${RR}^2$ ed ho le due basi ortonormali B=($v_1$ , $v_2$) e W=($w_1$ , $w_2$) dello spazio vettoriale V. Ho considerato inoltre $w_1$=$x_{11}$$v_1$ + $x_{21}$$v_2$ e $w_2$=$x_{12}$$v_1$ + ...
Salve a tutti ragazzi,
ho un problema con la dimostrazione della disuguaglianza du Schwarz.
Allora, parto dall'avere $v,w in V$ ove $V$ è uno spazio vettoriale euclideo e $lambda in RR$.
Ora, $0<=(v+lambdaw)*(v+lambdaw)=$ dopo vari passaggi algebrici $=(w*w)(lambda)^2+2(v*w)*lambda+v*v$
Ora, fin qui tutto ok, ma non capisco perchè poi venga detto se $w$ diverso da $0$ $w*w>0$ (e fin qui è ok) e l'equazione di secondo grado è sempre verificata se ...
il teorema di Grassman
http://www.dmi.univ.trieste.it/geo-ing/ ... 131011.pdf
pagina 35/36.
Il teorema si impone di dimostrare che esiste una base di U+W costituiti da s+r-p elementi, con r = dim(U), s=dim(W) e p = dim(U ∩ W)
Sia $(v1, . . . , vp)$ una base di $U ∩ W$; è possibile completare tale insieme libero per il teor. di completamento.
ad una base $(v(1), . . . , v(p), u(1), . . . , u (r−p))$ di U e ad una base $(v(1), . . . , v(p), w(1), . . . , w(s−p))$ di W.
Proviamo che $I = (v(1), . . . , v(p), u(1), . . . , u(r−p), w(1), . . . , w(s−p))$ è una base dello spazio vettoriale $U +W.$
Poichè ogni vettore di ...
Si determini l'equazione del piano passante per r e perpendicolare al piano contenente le rette r ed s
$ r:{ ( y+2z+2=0 ),( x-3z-2=0 ):} $
$ s:{ ( x=6t ),( y=-4t+1 ),( z=2t ):} $
Procedimento di risoluzione:
vado ad individuare il fascio di piano che contiene le due rette, prendendo in considerazione la retta r per prima, quindi
$ F(r) : y+2z+2+K(x-3z-2)=0 $
individuato K, mediante il punto $ P in s $ cioè $ P(0,1,0) $
il piano $ α:kx+y+z(-3k+2)=0 $ con vettore direttore $ v(α)(3/2,1,-5/2) $
adesso ciò che non riesco a capire ...
Sia \(\displaystyle S={(1,1,0);(3/5,-2/5,1)} \), determinare l'equazione del laterale di S passante per P(1;2;3).
Riguardo alla definizione di laterale non sono riuscito a trovare nulla di interessante in rete, per cui come unico riferimento ho la definizione presa a lezione ovvero:
Definiamo laterale di W l'insieme:
$\bar x$ \(\displaystyle + W = \) {$\bar x$ + $\bar w$ \(\displaystyle | \) $\bar w$ $in$ \(\displaystyle W \)}.
Ho pensato di ...
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