Geometria e Algebra Lineare

Salve scusate, ho un amico che sta facendo un compito di prova di geometria a tempo e mi ha chiesto di cercare la seguente cosa: Si consideri i punti A(1.1.0) B(0.1.1). Calcolare le coordinate di un punto C tale che il triangolo di vertici ABC soddisfi le seguenti condizioni: sia rettangolo in A, abbia area $\sqrt2$ sia contenuto nel piano di equazione x+y+z-2 grazie

Ciao a tutti. Volevo scrivere questa traccia di tema d'esame di algebra che non so proprio risolvere, ovvero mi blocco dopo aver trovato la forma canonica razionale e quella di Jordan. Data la matrice A=$((4,-2,1),(-1,5,-1),(-6,10,-2))$, trovare la forma canonica razionale e quella di Jordan. Inoltre dire se esiste una matrice appartenente a GL(3,C) tale che $P^(-1)$CP=J. Allora io ho trovato la forma canonica razionale che è la seguente matrice C= $((0,0,7),(1,0,-16),(0,1,12))$ mentre la forma di ...

Ho uno spazio affine $A$ con spazio vettoriale associato $mathbb{R}^3$. Sia $\pi$ il piano di equazione $\pi: 3x+y-2z+2=0$. Trovare l'equazione di una retta ortogonale a tale piano. Poiché il vettore $v=3v_1+v_2-2v_3$ (con $B=\{v_1,v_2,v_3\}$ base di $mathbb{R}^3$) è ortogonale a tale piano, una retta può essere \[ \begin{cases} x=3t \\ y=t \\ z=-2t \end{cases} \] In quanto l'ortogonale a tale piano (una retta in $mathbb{R}^3$) ha come giacitura ...

Ciao a tutti! Qualcuno mi saprebbe dire un diffeomorfismo esplicito tra iperboloide iperbolico di equazioni $ (x / a)^2+(y / b)^2- (z / c)^2=1 $ e il cilindro di equazioni $ x^2+y^2=1 $ ? Grazie

Date le matrici A e B, determinare per quali valori di k la matrice A*B è invertibile. A=$((1,k),(2,k^2))$ B=$((k,1),(1,1))$ Allora ho fatto il prodotto delle matrici e mi viene: A*B=$((k,k),(2,k^2))$ ho calcolato il determinante e mi viene $det=k^3-2k$ che è uguale a $k(k^2-2)=0$ da cui k=0; k=2; k=-2 ho concluso dicendo che per K diverso da 0,2,-2, la matrice A*B è invertibile. Ho sbagliato?

Salve a tutti, non ci ho a che fare da diverso tempo ed ho alcune difficoltà a capire l'ordine delle operazioni in alcune equazioni in cui è presente l'operatore $\nabla$. Supponiamo infatti di avere due vettori generici $\vec u$ , $\vec v$ e di voler calcolare le seguenti quantità: $\vec u*\nabla\vec v$ $\vec u\nabla*vec v$ Il dubbio che io ho, e che sicuramente per molti di voi risulterà banale, riguarda la lettura di tali scritture, mi spiego meglio: il primo caso ...

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita e $f: V \to V$ lineare. Allora sappiamo che $V= \ker (T) \oplus Im(T)$. Possiamo dire che questo fatto continua a valere se $V$ ha dimensione infinita? Oppure quali sono le ipotesi da aggiungere affinchè valga in dimensione infinita?

L'esercizio consiste nel trovare una matrice quadrata tale che A^2=A, con A=I (matrice diagonale) e A=0. Una tale matrice ha det(A)$!=$0? Sono riuscito a risolverlo nel caso di una matrice 2x2: $((x,y),(z,t))*((x,y),(z,t))=((x,y),(z,t))$ $((x^2+yz,xy+yt),(xz+zt,yz+t^2))$ Con i dovuti calcoli ottengo: $x=1-t$ $y=(t-t^2)/z$ Quindi la matrice ottenuta è: $((1-t,(t-t^2)/z),(z,t))$ E ne posso ottenere una qualsiasi ponendo per esempio z=1(z=0 è impossibile) e t=0. Dopodiché, per rispondere alla seconda domanda, se il ...

Ciao a tutti, ho trovato questo esercizio svolto ed ho delle domande da porvi: Studiare la dipendenza o indipendenza lineare dei seguenti vettori di $RR^3$ $v1=(1, -3, 7),$ $v2=(2, -1, -1),$ $v3=(-4, 2, 2)$ Se risultano linearmente dipendenti esprimere, quando e possibile: v1 come combinazione lineare di v2 e v3 v2 come combinazione lineare di v1 e v3 v3 come combinazione lineare di v1 e v2 La risoluzione dell'equazione vettoriale $xv1 + yv2 + zv3 = 0$ permette di rispondere a ...

Salve a tutti, sto preparando l'esame orale di Geometria Affine. Volevo chiedervi: Sia $V$ uno spazio vettoriale con annesso un prodotto scalare $\cdot$ e $f: V \rightarrow V$ un endomorfismo simmetrico. Allora $f$ è diagonalizzabile ortogonalmente. Vi chiedo (poiché nei miei appunti ho così scritto senza dimostrazioni, ma solo come frase buttata lì, dunque potenzialmente come errore di trascrizione): un endomorfismo non simmetrico è necessariamente non ...

Salve a tutti. Sto svolgendo degli esercizi per un esame di geometria differenziale e ne ho trovato due che proprio non riesco a risolvere, ve li scrivo di seguito. Esercizio 1: Verificare che \[ X^{-1}_JX = \begin{pmatrix} z^1_1 & \dots & z^{i-1}_1 & 1 & z^{i+1}_1 & \dots & z^{j-1}_1 & 0 & z^{j+1}_1 & \dots & z^n_1 \\ z^1_2 & \dots & z^{i-1}_2 & 0 & z^{i+1}_2 & \dots & z^{j-1}_2 & 1 & z^{j+1}_2 & \dots & z^n_2 \end{pmatrix} \] dove \(X^{-1}_J\) è l'inversa della sottomatrice di X individuata ...

Salve, per trovare la comune perpendicolare di due rette: mi ricavo i vettori direttori di esse e ne faccio il loro prodotto vettoriale... è giusto come procedimento?? vale x tutti i tipi di rette?

Buonasera a tutti, avrei delle domande da porvi: 1) Cos'è uno spazio affine? ed un sottospazio affine? 2)Cos'è un riferimento affine? Grazie!

Ho una matrice $6x6$ di cui ho calcolato gli autovalori, che sono: $0$ con molteplicità $4$ $i sqrt(5)$ con molteplicità $1$ $-i sqrt(5)$ con molteplicità $1$ come viene la forma canonica di jordan?

Ciao, ho un dubbio riguardante il seguente esercizio: Si consideri la forma quadratica $q(x, y)=x^2+4y^2+4xy$. Determinare la matrice $M$ invertibile 2x2 tale che $((x'),(y'))=Mcdot((x),(y))$. Ho calcolato la forma canonica $q(x', y')$, considerando la matrice $A=((1, 2),(2, 4))$ associata a $q(x, y)$ nella base standard di $mathbb{R^2}$. Poi ho calcolato i suoi autovalori: $mathbb{p}_A(lambda)=lambda^2-5lambda=lambda(lambda-5)=0Leftrightarrowlambda=0veelambda=5$; $q(x', y')=0x'^2+5y'^2$ $Rightarrow$ $q$ semidefinita positiva. Per ...

Ciao, amici! Trovo sul mio testo di algebra lineare (lo Strang, esercizio 45 dei problemi 1.6) le seguenti espressioni delle inverse delle seguenti matrici $M$ e $B$ (ho rinominato rispetto al libro per chiarezza), dove con $\mathbf{u}$ indico una matrice $n×1$ e con $\mathbf{v}^T$ una matrice $1×n$ -lo Strang usa $M^T$ per la trasposta di $M$-: $M=I_n-\mathbf{u}\mathbf{v}^T \Rightarrow M^-1=I_n+\frac{\mathbf{u}\mathbf{v}^T}{1-\mathbf{v}^T\mathbf{u}}$ e se $B=A-UW^-1V$, con ...

Salvare ragazzi ho un es: determianre l' equazione del piano,parallelo alla retta r di eq sistema:\(\displaystyle (x=3z-1) \)e\(\displaystyle (y=2z+1) \) Perpendicolare al piano tangente \(\displaystyle x+3y-2z-3=0 \) e passante per il punto \(\displaystyle (2,-1,0) \) Io ho pensato di creare un sitema a tre equazione la prima è data sostituendo ax+by+cz (equazione del piano) al punto la seconda sapendo che i due piani sono perpendicolare aa'+bb'+cc'=0 e la terza mi sono calcolato il vettore ...

Salve a tutti! Sono alle prese con la dimostrazione riguardante l'indipendenza della proiezione ortogonale dalla base ortonormale scelta. Mi trovo nel caso ${RR}^2$ ed ho le due basi ortonormali B=($v_1$ , $v_2$) e W=($w_1$ , $w_2$) dello spazio vettoriale V. Ho considerato inoltre $w_1$=$x_{11}$$v_1$ + $x_{21}$$v_2$ e $w_2$=$x_{12}$$v_1$ + ...

Salve a tutti ragazzi, ho un problema con la dimostrazione della disuguaglianza du Schwarz. Allora, parto dall'avere $v,w in V$ ove $V$ è uno spazio vettoriale euclideo e $lambda in RR$. Ora, $0<=(v+lambdaw)*(v+lambdaw)=$ dopo vari passaggi algebrici $=(w*w)(lambda)^2+2(v*w)*lambda+v*v$ Ora, fin qui tutto ok, ma non capisco perchè poi venga detto se $w$ diverso da $0$ $w*w>0$ (e fin qui è ok) e l'equazione di secondo grado è sempre verificata se ...

il teorema di Grassman http://www.dmi.univ.trieste.it/geo-ing/ ... 131011.pdf pagina 35/36. Il teorema si impone di dimostrare che esiste una base di U+W costituiti da s+r-p elementi, con r = dim(U), s=dim(W) e p = dim(U ∩ W) Sia $(v1, . . . , vp)$ una base di $U ∩ W$; è possibile completare tale insieme libero per il teor. di completamento. ad una base $(v(1), . . . , v(p), u(1), . . . , u (r−p))$ di U e ad una base $(v(1), . . . , v(p), w(1), . . . , w(s−p))$ di W. Proviamo che $I = (v(1), . . . , v(p), u(1), . . . , u(r−p), w(1), . . . , w(s−p))$ è una base dello spazio vettoriale $U +W.$ Poichè ogni vettore di ...