Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti!
Stavo provando a svolgere un esercizio di algebra lineare la cui traccia è la seguente:
Sia $K$ un campo di caratteristica 2; si provi che $((\alpha, \beta),(\beta, \alpha))$ in $K^(2x2)$ è diagonalizzabile in $K$ se e solo se $\beta = 0$
Per prima cosa ho calcolato il polinomio caratteristico:
$det (A - \lambda I) = det ((\alpha - \lambda, \beta), (\beta, \alpha - \lambda)) = (\alpha - \lambda)^2 - \beta^2 = 0 $
Da cui si ricavano i seguenti autovalori:
$\lambda_1 = \alpha - \beta$ e $\lambda_2 = \alpha + \beta$
Se $\beta != 0 $, si hanno due radici distinte per cui ...
Salve a tutti,
ho difficoltà nel capire questa dicitura.
Ho due punti nel piano $Q(x1,y1)$ e $Q'(x1,y1)$.
A partire da ciò ho bisogno di trovare la terna$a,b,c$ che individua la retta $r:ax+by+c=0$ passante per id ue punti $Q$ e $Q'$.
Il problema mi dice che se i due punti condividono la stessa ascissa ovvero sono allineati con l'asse dell ordinate, allora la reta $r$ è parallela all'asse $y$ e sarà individuata ...
Ciao a tutti, in un compito passato del mio professore ho trovato questo esercizio.
Determinare $ A^2016 $ dove $ A= ( ( sqrt(2)/2 , sqrt(2)/2 ),( -sqrt(2)/2 , sqrt(2)/2 ) ) $ .
Il risultato è $ A= ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ .
Lui dice di applicare il teorema di Hamilton-Cayley, ma in questo modo non trovo $ A^2 $ ? Io ho provato ad applicarlo seguendo vari esempi etc ma trovo comunque la matrice elevata al quadrato e non elevata a 2016... Dovrebbe essere un esercizio banale, ma io non lo capisco.
Grazie per l'aiuto.
Salve a tutti, in un esercizio mi chiede di determinare il piano passante per questi tre punti P=(3,-1,1), Q=(2,0,1), R=(2,3,2) e poi di determinare un vettore di norma 3 ortogonale al piano H.
Il piano H l'ho ricavato e viene H: x+y-3z=-1
il vettore di norma 3 non so come si ricava, come posso procedere?
Studiare l'endomorfismo $f_k:R^3->R^3$, al variare di $k$ in $R$, tale che $f(1,0,0)=(k,1,-k)$, $f(0,1,0)=(2,k-1,k-4)$, $f=(0,0,1)=(k,-1,k)$.
Avremo quindi la matrice A:
$((k,1,-k),(2,k-1,k-4),(k,-1,k))$
Come si studia al variare di k?
Forse bisogna calcolare il determinate della matrice e vedere per quali valori di $k$ si annulla il determinate e studiare l'endomorfismo per quei valori?
Domandina semplice semplice e veloce (penso).
Trovando gli zeri di un polinomio caratteristico, ipotizziamo di trovare 3 autovalori (ad esempio).
Perché una matrice sia diagonalizzabile, è necessario che TUTTI i "lambda" trovati abbiano moltep.Algebrica = moltep.Geometrica?
Ho il seguente problema: Nello spazio, nel quale è stato fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxyz, sono dati il punto $ P(0,3,1) $ e la retta $ r:{ ( x=t ),( y=2+2t),( z=t ):} $ . Determinare una rappresentazione cartesiana per la circonferenza di centro P e tangente ad r.
Io ho ragionato in questo modo: un vettore direzionale della retta r è $ Vr=(1,2,1) $ e un suo punto è per esempio $ (0,2,0) $
il piano $ K $ della crf è quello avente vettore ...
"Fra tutti i punti dello spazio che sono equidistanti da r e s ne esiste uno ed uno solo che ha la minima equidistanza. Dimostrare che tale punto è C=($-1/2 , 3/2 , 1/2$)
r: $\{(x=t),(y=t+2),(z=2t):}$ s: $\{(x+y=0),(2x+2y+z-1=0):}$"
Quello che avevo pensato di fare era un iperpiano passante per un generico punto (x',y',z') e ortogonale a r, dopodiché trovarmi l'intersezione tra questo piano ed r e trovare la distanza tra quel punto e il punto generico (dopodiché ripetere la stessa cosa per s e concludere ...
Ho messo insieme diverse informazioni e ora ho bisogno di un ultimo grandissimo gigantesco aiuto. Ho ancora moltissimi dubbi e vorrei chiarirli quasi tutti. Andiamo con ordine. (se possibile facciamo riferimento ai numeri così è più semplice risolvere i problemi!)
Legenda:
* - denota informazione acquisita con dubbio. Necessita conferma della comunità.
1/2/X - denota dubbio. Nessuna o poche informazioni acquisite. Inutile dire che serve aiuto.
[*:3amuluxe]Conica: figura geometrica espressa in ...
Salve. Sto cercando di risolvere questo sistema ma c'è qualcosa che non mi torna:
$\{(a + 2*b = 0),(b - c=0),(- a -2*c=0),(a + 3*b - c=0):}$
Dalla prima equazione posso scrivere che a=-2b, dalla seconda che c=b e quindi sostituisco tutto nell'ultima ottenendo:
-2b + 3b - b=0, quindi ottengo un'identità e b è uguale a 0?
Tuttavia nei risultati esistono delle soluzioni: a=2,b=-1,c=-1
Come si fa a risolvere questo sistema?
Ciao mi è venuto questo dubbio se io ho una matrice di questo tipo $((1),(5),(7))$ il rango è uno contanto il numero delle colonne o 3 contando le righe?
Grazie a tutti!
Ciao a tutti, vorrei chiedervi un aiuto su questo esercizio, è il primo quesito del primo esercizio del pdf che allego.
Non riesco a capire come trovi la matrice in base alle condizioni date.
Meglio, capisco come trova le prime due, ma la terza proprio no.
http://corsi.metid.polimi.it/col/data/s ... 022012.pdf
Spero mi possiate dare una mano, grazie a chi si interesserà
Ojama_
Salve a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come trovare una base dello spazio vettoriale generato dalla famiglia
\(U = {u_1(2,1,-3) u_2(1,1,-2) u_3(1,-2,1) u_4(-3,1,2)}\) ?
Grazie!
(so che devo trovare un insieme di vettori linearmente indipendenti tra questi 4, ho letto la guida di sergio nella sezione di geometria, ma non dice niente a riguardo.. passa oltre dando per scontata la fattibilità di questo caso, che per me non è per niente scontata)
Salve,
ho la seguente cubica avente equazione parametrica:
$x=(at)/(1+t^3)$ $y=(at^2)/(1+t^3)$ con $a$ numero reale positivo,
come faccio a esplicitarza sotto forma di un equazione cartesiana?
Ciao a tutti ,qualcuno può speigarmi ,in cosa consiste la definizione di operatore autoaggiunto
Data applicazione $ A:X->X $
$ A(u)*v=u*A(v) $ $ u,v in cc(X) $
corrispende ad una matrice per vettore??
magari con un esempio pratico ..
grazie
Potreste risolvere il seguente esercizio?? grazie in anticipo
Determinare e studiare il fascio di coniche passanti per P=(0,-1), aventi per asse la retta x=y e come diametro passante per P la retta 2x-y-1=0 .
Determinare inoltre:
- gli eventuali elementi di simmetria comuni a tutte le coniche del fascio;
- l'equazione della conica "gamma" passante per T=(0,-3) e l'equazione della retta tangente a "gamma" in T;
- il polo del diametro di "gamma" passante per T.
Grazie ancora, non riesco ...
Devo svolgere il seguente eserzio:
data la matrice
$M=$$((0,0,1,1,1,1),(0,0,-1,-1,-1,-1),(1,-1,0,0,0,0),(1,-1,0,0,0,0),(1,-1,0,0,0,0),(1,-1,0,0,0,0))$
1) trova gli autovalori la loro molteplicità e la dimensione del rispettivo autospazio
2) trova la matrice di jordan
so che con matrice simmetriche il numero degli autovalori non nulli è uguale al $rank(M)$, quindi in questo caso ho 2 autovalori non nulli e 4 nulli
esiste un metodo alternativo al polinomio caratteristico per trovare gli autovalori della matrice simmetrica???
Sto avendo alcuni problemi con questo esercizio vi posto l'immagine:
L'esercizio chiede la matrice associata alla base canonica.
Le dispense mi forniscono anche la sua soluzione, ma quello che proprio non capisco e come ci si arriva e mi servirebbe una soluzione commentata. Se c'è qualche anima pia.
Grazie!
Ciao a tutti, ho parecchi problemi con questo esercizio, a dirla tutta non so nemmeno da dove cominciare:
dovrei stabilire se la curva C nello spazio di equazioni
{ x-2y=0
{ $ (x)^(2) $ + $ (z)^(2) $-8x-2z=0
stabilire se è una circonferenza e in tal caso trovare centro e raggio
ho visto qualcosa di simile, nella si imponeva il passaggio da una sfera per poi trovare a e b.....
gentilmente vi prego di darmi una mano, perche ho veramente bisogno di questo esercizio....
Presa una matrice $M$ qualsiasi, come faccio a capire se la funzione $T$ ad essa associata è iniettiva/suriettiva/biettiva?
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