Caratteristica diversa da 2
ero curioso di sapere dove viene usato, nella teoria delle forme bilineari, per esempio nel teorema di sylvester, che il campo deve avere caratteristica diversa da 2...
cosa rende questa una condizione necessaria? perchè proprio 2? se per esempio fosse 1+1+1=0 questo non darebbe problemi per ilcaso considerato?
cosa rende questa una condizione necessaria? perchè proprio 2? se per esempio fosse 1+1+1=0 questo non darebbe problemi per ilcaso considerato?
Risposte
Il Teorema di Sylvester, per lo meno nella forma in cui lo conosco io, si occupa di forme bilineari su spazi vettoriali Reali.
E $mathbbR$ è un campo di caratteristica zero, appunto.
Semplicemente tutto parte dal fatto che il teorema [facile ma assolutamente nodale] "Ogni forma bilineare ammette una base diagonalizzante" è dimostrabile attraverso dei piccoli lemmi che richiedono al campo tale requisito . Sostanzialmente, nella dimostrazione ti rendi conto che ti serve avere nel campo l'elemento inverso di DUE. Nei campi di caratteristica DUE, questo elemento non esiste (in quanto elemento neutro).
Se vuoi un esempio concreto, tuttavia, che ti fa capire che il teorema NON vale in caratteristica 2,
considera uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $2$ sul campo $mathbbK=mathbbZ_2$.
Considera la forma bilineare $b:V times V -> mathbbZ_2$ associata alla matrice $((0,1),(1,0))$ rispetto a una base ${e_1,e_2}$ di V.
Prova tutte le altre basi possibili di V (sono poche eh..data la "scarsa generosità" del campo $mathbbK$ partendo dal dato che ${e_1,e_2}$ è una base, puoi costruire solo 4 vettori) e vedrai che rispetto a nessuna di queste basi, la matrice è diagonale (ovvero non c'è una base diagonalizzante (o "ortogonale") ovvero $b$ è una forma bilineare non diagonalizzabile)
Tornando a Sylvester, poichè parla di alcuni "indici" (la mia trattazione è molto sintetica eh!) ricavabili/individuabili solo dopo aver diagonalizzato la forma bilineare, siamo tranquilli perchè il campo è di caratteristica diversa da due e quindi si può sicuramente diagonalizzare.
E $mathbbR$ è un campo di caratteristica zero, appunto.
Semplicemente tutto parte dal fatto che il teorema [facile ma assolutamente nodale] "Ogni forma bilineare ammette una base diagonalizzante" è dimostrabile attraverso dei piccoli lemmi che richiedono al campo tale requisito . Sostanzialmente, nella dimostrazione ti rendi conto che ti serve avere nel campo l'elemento inverso di DUE. Nei campi di caratteristica DUE, questo elemento non esiste (in quanto elemento neutro).
Se vuoi un esempio concreto, tuttavia, che ti fa capire che il teorema NON vale in caratteristica 2,
considera uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $2$ sul campo $mathbbK=mathbbZ_2$.
Considera la forma bilineare $b:V times V -> mathbbZ_2$ associata alla matrice $((0,1),(1,0))$ rispetto a una base ${e_1,e_2}$ di V.
Prova tutte le altre basi possibili di V (sono poche eh..data la "scarsa generosità" del campo $mathbbK$ partendo dal dato che ${e_1,e_2}$ è una base, puoi costruire solo 4 vettori) e vedrai che rispetto a nessuna di queste basi, la matrice è diagonale (ovvero non c'è una base diagonalizzante (o "ortogonale") ovvero $b$ è una forma bilineare non diagonalizzabile)
Tornando a Sylvester, poichè parla di alcuni "indici" (la mia trattazione è molto sintetica eh!) ricavabili/individuabili solo dopo aver diagonalizzato la forma bilineare, siamo tranquilli perchè il campo è di caratteristica diversa da due e quindi si può sicuramente diagonalizzare.
In caratteristica $2$ non puoi completare i quadrati.
Intendo: qualcosa tipo $X^2 + XY$ = $(X+frac{1}{2}Y)^2 -frac{1}{4}Y^2$ non ha senso,
perche' non e' possibile dividere per $2=0$.
Di consequenza, in caratteristica $2$ la forma quadratica $XY$ non e' diagonalizzabile.
Il problema si pone solo in caratteristica $2$ e non per esempio in caratteristica $3$ perche'
il grado di una forma quadratica e' $2$ e non $3$.
Invece, in una teoria di forme trilineari anche la caratteristica $3$ sarebbe speciale.
Intendo: qualcosa tipo $X^2 + XY$ = $(X+frac{1}{2}Y)^2 -frac{1}{4}Y^2$ non ha senso,
perche' non e' possibile dividere per $2=0$.
Di consequenza, in caratteristica $2$ la forma quadratica $XY$ non e' diagonalizzabile.
Il problema si pone solo in caratteristica $2$ e non per esempio in caratteristica $3$ perche'
il grado di una forma quadratica e' $2$ e non $3$.
Invece, in una teoria di forme trilineari anche la caratteristica $3$ sarebbe speciale.
In caratteristica 2 una forma bilineare e' simmetrica se e solo se e' alternante, capisci che questo banalizza molto il loro studio...
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