Problemi classificazione quadriche
Ciao ragazzi,
volevo chiedervi un aiutino sulla classificazione di due quadriche prese da due compiti d'esame.
1) Classificare la quadrica al variare di t in R:
$x^2 + 2yz + 1 + t(y^2 + z^2 + xz + 2yz) = 0$
Da cui la matrice $ ( ( 1 , 0 , t/2 , 0 ),( 0 , t , t+1 , 0 ),( t/2 , t+1 , t , 0 ),( 0,0,0 , 1 ) ) $
Ora, la prima classificazione la faccio in base al rango della matrice completa, ma posso studiarmi il determinante della parte quadrica (la sottomatrice 3x3 cancellando 4 riga e 4 colonna), visto che in questo caso dipende solo da essa il rango.
Mi esce fuori $-t^3 -8t -4 = 0$, ma mi escono due radici complesse coniugate e una reale a dir poco improponibile, mi pare strano che in sede di esame tocca risolvere quella eq là. Ho sbagliato qualcosa? Come posso procedere ?
2) Classificare la quadrica al variare di k in R:
$ 4x^2 - ky^2 + kz^2 - 2xz + 2y -1 = 0$
La matrice associata: $ A = ( ( 4 , 0 , -1 , 0 ),( 0 , -k , 0 , 1 ),( -1 , 0 , k , 0 ),( 0,1,0 , -1 ) ) $
Con la riduzione di gauss trovo che il rango della matrice A = 3 per $ k = 1/4, k = 1$
Studio il det sottomatrice 3x3 nel caso $k=1/4, det A_44 = 0 $ -> Cilindro.
$k =1, det A_44 = 5 != 0 $ -> Cono.
Ma poi come tocca procedere? Non ho ben capito..
volevo chiedervi un aiutino sulla classificazione di due quadriche prese da due compiti d'esame.
1) Classificare la quadrica al variare di t in R:
$x^2 + 2yz + 1 + t(y^2 + z^2 + xz + 2yz) = 0$
Da cui la matrice $ ( ( 1 , 0 , t/2 , 0 ),( 0 , t , t+1 , 0 ),( t/2 , t+1 , t , 0 ),( 0,0,0 , 1 ) ) $
Ora, la prima classificazione la faccio in base al rango della matrice completa, ma posso studiarmi il determinante della parte quadrica (la sottomatrice 3x3 cancellando 4 riga e 4 colonna), visto che in questo caso dipende solo da essa il rango.
Mi esce fuori $-t^3 -8t -4 = 0$, ma mi escono due radici complesse coniugate e una reale a dir poco improponibile, mi pare strano che in sede di esame tocca risolvere quella eq là. Ho sbagliato qualcosa? Come posso procedere ?
2) Classificare la quadrica al variare di k in R:
$ 4x^2 - ky^2 + kz^2 - 2xz + 2y -1 = 0$
La matrice associata: $ A = ( ( 4 , 0 , -1 , 0 ),( 0 , -k , 0 , 1 ),( -1 , 0 , k , 0 ),( 0,1,0 , -1 ) ) $
Con la riduzione di gauss trovo che il rango della matrice A = 3 per $ k = 1/4, k = 1$
Studio il det sottomatrice 3x3 nel caso $k=1/4, det A_44 = 0 $ -> Cilindro.
$k =1, det A_44 = 5 != 0 $ -> Cono.
Ma poi come tocca procedere? Non ho ben capito..
Risposte
1) Puoi semplicemente affermare che esiste un valore $\alpha\in(-1,0)$ in cui i determinate della matrice della parte quadrica si annulla e da lì tirare fuori tutte le conclusioni possibili. Non ci vedo niente di anormale.
2)Perché non ti riduci di nuovo al calcolo dei determinanti delle matrici scusa? le condizioni si hanno su quelli: c'è un teorema che afferma che se i determinati sono fatti un un certo modo allora la quadrica è... ecc ecc!
2)Perché non ti riduci di nuovo al calcolo dei determinanti delle matrici scusa? le condizioni si hanno su quelli: c'è un teorema che afferma che se i determinati sono fatti un un certo modo allora la quadrica è... ecc ecc!
Ok penso di esserci, intendi il teorema di sylvester per vedere quando la matrice è def.positiva ?
E poi da li in base al parametro studiarmi tutti i casi possibili e classificarli?
E poi da li in base al parametro studiarmi tutti i casi possibili e classificarli?
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