Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti Sono alle prese con il seguente esercizio:
Sia $U$ il sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^4$ determinato dai suoi generatori $<(1; 1; 0; 1); (0; 1/5; 0; 1/5)>$
e sia $V$ definito da ${(x_1; x_2; x_3; x_4) | x_1 + x_2 -2 x_3 = 0}$.
i.Si indichi una base di $U \cap V$ e la si completi ad una base di $\mathbb{R}^4$.
ii.Si scelga un endomorfismo $F$ di $\mathbb{R}^4$ tale che $F(U) \subset V$, $U \subset F(V)$, $F^2 = Id_(\mathbb{R}^4)$
Per il punto i) ho trovato ...
Salve a tutti,
sto avendo difficoltà a trovare un le coordinate del seguente punto.
Dato un piano voglio trovare i due punti giacenti sulla normale al piano passante per un punto O del piano a distanza D da O (o dal piano che dir si voglia).
Dato il piano
\(\displaystyle ax+by+cz+d=0 \)
e il punto O appartenente al piano
\(\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}) \)
l 'equazione parametrica della normale al piano passante da O è:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
& x=at+x_{0} & \\
& ...
Ciao ragazzi,
solitamente apro una discussione per ogni argomento, ma in questo caso si tratta di due domande veloci.
1 - Non mi è chiara una cosa, ogni applicazione lineare può essere, una volta fissate le basi, rappresentata da una (sola?) matrice. Il nucleo di una applicazione lineare corrisponde al nucleo di una matrice che la rappresenta. Ma quindi tutte le matrici che rappresentano l'applicazione lineare hanno lo stesso nucleo. Quindi, più banalmente, tutti i sistemi omogenei ...
Buongiorno a tutti!
Ci sarebbe qualcuno di così gentile da aiutarmi a capire come svolgere questo esercizio?
Grazie anticipatamente.
"1. Scrivere l'equazione vettoriale e le equazioni scalari della trasformazione lineare tale che f(i) = $((2),(1))$ e f(j) = $((3),(-2))$
2. Calcolare l'immagine di $\vec v$ = $((-1),(3))$
3.I vettori f(i) e f(j) sono linearmente indipendenti?"
Ragazzi,scusate vorrei farvi delle domande riguardo le applicazioni.
Non capisco perchè non posso avere applicazioni,che vanno da $ R^m->R^n $ con $ n>m $ ??
Probabilmente, perchè non ho trovato nulla che mi faccia capire il senso geometrico.
grazie
ps: ho cercato anche su Algebra for dummies ma senza risultato..
Ciao, amici! Sullo Strang, Algebra lineare, es. 28 dei problemi 2.2 (p. 92 dell'edizione Apogeo del 2008) -so che è un libro piuttosto usato e magari qualche forumista che passa di qua ha già studiato l'argomento-, trovo che una matrice $A\in M_{m,n}$ di rango $r$ (in cui suppongo non debbano essere permutate le righe per ottenere $R$, altrimenti direi che lo stesso vale $PA$ con $P$ matrice di permutazione) si può scrivere ...
Sia f l'applicazione definita da $f(x,y,z)= (-7x+10y+2z,kx-2ky-2z,ky+3z) $. con k parametro. Si stabilisca per quali valori di k l'applicazione è un isomorfismo. Avrei ragionato nel seguente modo: essendo una funzione di R3 in R3, se si dimostra che è lineare resta mostrato che è un isomorfismo. Inoltre dovrebbe essere un isomorfismo per ogni K.Grazie.
Salve
Chi può togliermi una curiosità riguardante la retta e i punti ?
Ecco qua:
SI può dire che una retta è costituita da infiniti punti,
nel senso che se non ci sono questi punti, non c'è neanche la retta ?
Se è così, dato che i punti hanno estensione nulla,
come fa un'infinità di questi punti generare un insieme di estensione non nulla ?
Ciò vuol dire che una retta contiene infiniti punti, ma è una cosa diversa da essi ?
Naturalmente questo vale anche per un segmento piccolissimo quanto ...
Salve a tutti,
mi trovo il seguente esecizio:
Siano $U$ il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $\bar u_1=(2,0,-1,0)$ e $\bar u_2=(1,1,0,1)$ e $V={(x,y,z,t) in RR^4| x-z=y-t , z-t=0}$. Si determini una base e la dimensione di $UnnV$. Si stabilisca, inoltre, se $RR^4=Uo+V$.
Risolta la prima parte dell'esercizio ho ottenuto come vettori di $V : v_1=(1,1,0,0)$ e $v_2=(0,2,1,1)$ e come base del sottospazio $UnnV$ l'unico vettore $w=(1,-1,1-1)$.
Per la seconda ...
buon giorno, stavo studiando per conto mio degli argomenti che non si sono fatti a lezioni, e ho trovato che esiste un significato geometrico alla trasposizione di una matrice.
purtroppo tale significato mi sfugge, per cui vi chiedo aiuto. so solo che ha a che fare con lo spazio duale $V*$, ossia con le applicazioni lineari del tipo $V\mapsto \mathbb K$.
insomma, alla seguente matrice
$((1,0),(1,2))$
io so dare un significato geometrico ben preciso: è l'applicazione che al punto ...
ciao a tutti
un esercizio mi da due sottospazi vettoriali e mi chiede di determinarne l intersezione della somma e dell intersezione
ora io so che sarebbe utile usare Grassman pero prima devo determinare una delle due incognite (intersezione o somma)
su quale potrei lavorare?
contando che di un sottospazio mi da i 3 vettori generatori
mentre l altro me lo da come equazioni cartesiane
grazie mille a tutti
Ciao a tutti.
Ho un dubbio riguardo al metodo di eliminazione di Gauss. Se ho una matrice che voglio ridurre a gradini, il risultato di tale riduzione cambia se durante il metodo applico o meno le operazioni elementari per righe e per colonne alla matrice data?
Quando svolgo un esercizio in cui è necessario ridurre la matrice a gradini molto spesso il risultato è diverso perché il libro porta lo scambio di una riga $y$ per una riga $j$, mentre io scambio la riga ...
Salve, ho queste 2 rette, devo determinare la comune perpendicolare. Allora
r':$\{(x=1+t'),(y=1-t'),(z=2t'):}$ ; r'': $\{(x=2),(y=-t"),(z=t''):}$
Allora si nota subito che non sono parallele;
Metto a sistema gli elementi della x, y, z delle 2 rette, ricavandomi t' e t'';
$\{(1+t'=2),(1-t'=-t"),(2t'=-t"):}$ da cui $t'=$1 e $t''=0$. Sostituendoli nelle equazioni delle rette ho
$\{(x=0),(y=0),(z=0):}$ e $\{(x=2),(y=0),(z=0):}$ e quindi le rette non essendo incidenti, sono sghembe. ok?
Sia \( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{1}&{2}&{1}&{2}\\{0}&-{3}&{1}&{2}\\{1}&{1}&{1}&{2}\\{2}&{1}&{1}&{1}}\right)} \)
e sia appartenente all'END(R(4)) definito da
\(\displaystyle f_A(X)=(trX)A+(tr(A^2))X\) ;
determinare autovalori e autovettori di \(\displaystyle f_A \) e discutere la diagonalizzabilità.
Non vi chiedo di risolvere tutto l'esercizio ma solo di arrivare alla matrice che descrive la funzione da cui poi posso trovare autovalori e autovettori.
Io ho provato a buttarmi a ...
Ciao a tutti, sono nuovo! Dopo aver cercato e letto in giro, mi sono finalmente deciso ad iscrivermi perchè non ho trovato un esercizio simile! =(
Ho diversi esercizi di queso tipo: clica qui per vedere!
Iniettività, suriettività, nucleo, ecc.
Quindi io ho pensato: se fosse stata senza parametro, io avrei cercato di trovare l'immagine delle 3 basi canoniche (100) (010) (001) e mettendole in colonna avrei trovato la matrice associata.
A quel punto posso trovare rango, dim kernel, iniettività, ecc ...
Salve a tutti.
Sto studiando un risultato di analisi funzionale che dice che un funzionale lineare $f$ definito su un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale $X$ a valori in $\mathbb{K}$ è continuo rispetto alla topologia debole su $X$ definita da una famiglia di funzionali lineari $(f_{\alpha})_{\alpha \in A}$ (dove $A$ è un insieme di indici) se e solo se $f$ sta nello spazio vettoriale generato dalla famiglia $(f_{\alpha})_{\alpha \in A}$.
Il ...
Ciao a tutti, ho tra le mani un esercizio che mi mette un po' in crisi.
Sia $U$ il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $(1,1,0,1)^t, (0,0,0,1)^t, (3,3,0,2)^t$.
Determinare la matrice $A$ a coefficienti reali tale che lo spazio delle soluzioni del sistema $Ax=0$ coincida con $U$.
Dunque, $dim(U)=2$ e precisamente $B_U={( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ); ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )}$
Dal teorema di Rouchè-Capelli, ottengo che $rg(A)=n-rg(U)=4-2=2$. Quindi la matrice $A$ ha rango ...
Carissimi piccoli Kronecker!
Se vi va, a tempo perso, mi dareste una controllatina a questo esercizio?
Mi interesserebbe molto perchè è una traccia d'esame di anni passati proprio del corso del mio attuale prof.
Non ho riscontri sui risultati, ma sono abbastanza fiducioso dei miei conti.
Ovviamente un altro parere è sempre prezioso!
Grazie!
Testo dell'esercizio:
Sia data la forma quadratica $q:mathbb(R)^3->mathbbR$ così definita
$q(x,y,z)=x^2 + lambda^2 y^2 + 4/3z^2 +2xy + 2lambdayz$ ;
a) Determinare per quali $lambda in mathbbR$ risulta ...
Ciao a tutti, ho bisogno che qualcuno mi corregga questo esercizio:
Sia data la matrice
$ A_k=( ( 10 , 0 , -7 ),( k-4 , 3 , 4 ),( 8 , 0 , -5 ) ) $
a) Discutere la diagonalizzabilità di $A_k$, al variare di $k$ in $RR$.
calcolo $det(A_K-lambdaI)=det( ( 10-lambda , 0 , -7 ),( k-4 , 3-lambda , 4 ),( 8 , 0 , -5-lambda ) )$
ottenendo $(3-lambda)(lambda-3)(lambda-2)$
Qui sono indeciso se dire che ho $lambda_1=3 rArr m.a=2 ; lambda_2=2 rArr m.a.=2$, oppure
$lambda_1=3 rArr m.a=1 ; lambda_2=3 rArr m.a.=1; lambda_2=2 rArr m.a.=2$.
Nel primo caso, devo studiare $m.g.$ per $lambda=3$:
$( ( 7 , 0 , -7 ),( k-4 , 0 , 4 ),( 8 , 0 , -8 ) ) rArr ( ( 7 , 0 , -7 ),( 0 , 0 , k ),( 0 , 0 , 0 ) )$
$rg(A_k)=2$ per ogni ...
Salve, devo determinare i valori di t per cui A è diagonalizzabile:
$((2,t^2),(1,t))$
dopo aver calcolato il determinante del polinomio caratteristico mi viene:
$(2- \lambda )(t- \lambda )-t^2=0$
da cui
$2t-2\lambda-\lambdat+\lambda^2-t^2=0$
ora?
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