"Particolare" sottospazio vettoriale
Chiedo lumi intorno allo svolgimento del seguente esercizio:
Si consideri l'insieme \(\displaystyle \mathcal{C}=\{ \chi \in \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(W,W) \; | \; \phi \circ \chi \circ \psi=0 \} \). Si dica se \(\displaystyle \mathcal{C} \) è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(W,W) \) e se ne determini la dimensione. In caso affermativo, esibire una base del sottospazio \(\displaystyle \alpha_{\mathcal{W},\mathcal{W}}(\mathcal{C}) \) di \(\displaystyle M_{4}(\mathbb{Q}) \).
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\(\displaystyle W \) (risp. \(\displaystyle V \)) è uno spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{Q} \) di dimensione \(\displaystyle 4 \) (risp. \(\displaystyle 3 \)) e \(\displaystyle \mathcal{W}=\{w_{1},\dots,w_{4}\} \) (risp. \(\displaystyle \mathcal{V}=\{v_{1},\dots,v_{3}\} \)) è una sua base.
Inoltre \(\displaystyle \phi:W \to V \) è un omomorfismo di matrice \[\displaystyle A=\alpha_{\mathcal{W},\mathcal{V}}(\phi)=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ -2 & 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}\] mentre \(\displaystyle \psi:V \to W \) è omomorfismo di matrice \[\displaystyle B=\alpha_{\mathcal{V},\mathcal{W}}(\psi)=\begin{pmatrix}2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]
Non ho problemi a stabilire la sua natura, quanto la sua dimensione ed una sua base. E' chiaro che \(\displaystyle \mathcal{C}\) può essere scritto come somma di altri due sottospazi: l'uno è formato dalle matrici che hanno come colonne le coordinate dei vettori di \(\displaystyle \text{ker} \; \phi \) e l'altro è composto dalle matrici che hanno come righe i vettori di \(\displaystyle (\text{im} \; \psi)^{\bot} \). Nel calcolo della dimensione si dovrà però tenere conto di una eventuale intersezione... Sarà la stanchezza, ma più di questo non son stato capace di osservare.
Qualche suggerimento? Ringrazio.
EDIT: la soluzione dice: \(\displaystyle \mathcal{C} \) è un sottospazio di \(\displaystyle \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(W,W) \) di dimensione \(\displaystyle 12 \), come si vede utilizzando opportunamente la condizione \(\displaystyle \text{im} \; (\chi \circ \psi) \subseteq \text{ker} \; \phi \)... Ma non riesco a capire come "usare opportunamente" questa condizione, e il perché della sua imposizione.
Si consideri l'insieme \(\displaystyle \mathcal{C}=\{ \chi \in \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(W,W) \; | \; \phi \circ \chi \circ \psi=0 \} \). Si dica se \(\displaystyle \mathcal{C} \) è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(W,W) \) e se ne determini la dimensione. In caso affermativo, esibire una base del sottospazio \(\displaystyle \alpha_{\mathcal{W},\mathcal{W}}(\mathcal{C}) \) di \(\displaystyle M_{4}(\mathbb{Q}) \).
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\(\displaystyle W \) (risp. \(\displaystyle V \)) è uno spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{Q} \) di dimensione \(\displaystyle 4 \) (risp. \(\displaystyle 3 \)) e \(\displaystyle \mathcal{W}=\{w_{1},\dots,w_{4}\} \) (risp. \(\displaystyle \mathcal{V}=\{v_{1},\dots,v_{3}\} \)) è una sua base.
Inoltre \(\displaystyle \phi:W \to V \) è un omomorfismo di matrice \[\displaystyle A=\alpha_{\mathcal{W},\mathcal{V}}(\phi)=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ -2 & 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}\] mentre \(\displaystyle \psi:V \to W \) è omomorfismo di matrice \[\displaystyle B=\alpha_{\mathcal{V},\mathcal{W}}(\psi)=\begin{pmatrix}2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]
Non ho problemi a stabilire la sua natura, quanto la sua dimensione ed una sua base. E' chiaro che \(\displaystyle \mathcal{C}\) può essere scritto come somma di altri due sottospazi: l'uno è formato dalle matrici che hanno come colonne le coordinate dei vettori di \(\displaystyle \text{ker} \; \phi \) e l'altro è composto dalle matrici che hanno come righe i vettori di \(\displaystyle (\text{im} \; \psi)^{\bot} \). Nel calcolo della dimensione si dovrà però tenere conto di una eventuale intersezione... Sarà la stanchezza, ma più di questo non son stato capace di osservare.
Qualche suggerimento? Ringrazio.
EDIT: la soluzione dice: \(\displaystyle \mathcal{C} \) è un sottospazio di \(\displaystyle \text{Hom}_{\mathbb{Q}}(W,W) \) di dimensione \(\displaystyle 12 \), come si vede utilizzando opportunamente la condizione \(\displaystyle \text{im} \; (\chi \circ \psi) \subseteq \text{ker} \; \phi \)... Ma non riesco a capire come "usare opportunamente" questa condizione, e il perché della sua imposizione.
Risposte
$\phi , \psi$ - che compaiono nella definizione di $\mathcal{C}$ - che applicazioni sono?
Mi autocito:
Non ho altre (quali?) informazioni.
"Delirium":
[...]
\(\displaystyle W \) (risp. \(\displaystyle V \)) è uno spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{Q} \) di dimensione \(\displaystyle 4 \) (risp. \(\displaystyle 3 \)) e \(\displaystyle \mathcal{W}=\{w_{1},\dots,w_{4}\} \) (risp. \(\displaystyle \mathcal{V}=\{v_{1},\dots,v_{3}\} \)) è una sua base.
Inoltre \(\displaystyle \phi:W \to V \) è un omomorfismo di matrice \[\displaystyle A=\alpha_{\mathcal{W},\mathcal{V}}(\phi)=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ -2 & 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}\] mentre \(\displaystyle \psi:V \to W \) è omomorfismo di matrice \[\displaystyle B=\alpha_{\mathcal{V},\mathcal{W}}(\psi)=\begin{pmatrix}2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]
[...]
Non ho altre (quali?) informazioni.
Scusa, avevo guardato solo la traccia.
Fa nulla. Hai qualche idea?
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