Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
Ordina per
In evidenza
Buonasera,
Se $A, B, C$ sono matrici $3 xx 3$ a due a due distinti rArr può avvenire che $mathcal (L)(A, B, C)=M_3 mathbb (R^3)$
allora, a volte mi impiccio con le implicazioni.
In tanto non ho ben afferrato cosa si intenda con distinti: due matrici distinte sono di conseguenza non proporzionali ( ).
Io so che l'indipendenza lineare tramite la non proporzionalità vale se e solo se le matrici sono due, altrimenti il confronto non vale. Inoltre come devo considerare la ...
Salve, deve ricondurre a forma canonica questa quadrica x^2-2y^2 +6z^2 +12xy-16x-4y-36z +62 = 0, il risultato è Iperboloide iperbolico (rigato) CENTRO C (2;-1;1).
La risoluzione deve avvenire mediante trucchi algebrici, ad esempio all'inizio scriviamo x^2+12xy-16x come x^2+2x(6y-8) cioè (x+6y-8)^2 - (6y-8)^2 e dopo(x+6y-8)^2 lo si pone uguale a X e così via, ma alla fine mi escono numeri abbastanza grandi, chi mi aiuta?
Sia data la quadrica $ x^2+(y+z−1)^2−(y−z+3)^2−4x = 0$, dire a quale classe di quadriche appartiene, determinando a quale equazione canonica puo' essere ricondotta con metodi elementari non matriciali.
Nella risoluzione scrive:
Nell’equazione della quadrica, dopo l’abbinamento x^2−4x = x^2−4x+4−4 = (x−2)^2−4, bisogna resistere all’impulso di sviluppare i quadrati in quanto è meglio porre X =x, Y =(y+z−1)/√2, Z =(y−z+3)/√2 per avere un cambiamento di riferimento cartesiano (la matrice E delle x,y,z ha colonne ...
Salve ragazzi, sono una matricola del corso di laurea di fisica, e mi sto concentrando nello studio di algebra lineare e geometria.
Da completo principiante su questi argomenti, vorrei porvi una domanda che potrebbe anche sembrare stupida ai vostri occhi(spero di no ).
La nostra professoressa, quasi al termine del capitolo sulle matrici, ci ha parlato di alcuni insiemi particolari di esse, riguardabili come gruppi. Tra quelli elencati figura il cosiddetto "gruppo lineare generale", da lei ...
Sia data la matrice $ A =( ( 1 , -2 , 0 ),( 2 , -4 , 0 ),( -4 , 8 , 0 ) ) $ . Detto $ f $ l'endomorfismo la cui matrice matrice rappresentativa rispetto alla base canonica è A, determina una base del nucleo di $ f $.
Dunque, riducendo a scalini si vede che il rango della matrice è 1, quindi avrà una sola base formata da $ (2,1,0) $ . Però nelle soluzioni c'è anche un'altra base: $ (0,0,1) $ . Perché?
Grazie mille.
Buona sera!
Dovrei risolvere un'esercizio in cui mi viene richiesto di fornire un esempio di matrice 4x4 con spettro reale e due distinti autospazi di dimensione 2.
Io ho subito pensato ad una matrice formata da due blocchi di Jordan ma solo che non mi tornano i due autospazi di dimensione due.
Se tali autospazi devono essere distinti e di dimensione due, significa le molteplicità geometriche dei due autovalori associati agli autovettori che compongono gli autospazi sono pari a due. Di ...
Buonasera a tutti
Ho un problema a comprendere la definizione di derivata di Lie. Vi anticipo che la domanda potrà sembrare banale, ma proprio non riesco a capire.
Sia \(M\) una varietà differenziabile e \(V\) un campo vettoriale su M. L'equazione \( V^{\mu} =\frac{dx^{\mu}}{dt} \) definisce le curve che hanno come vettori tangenti, punto per punto, i vettori del campo \(V\). A questo punto entra in gioco un diffeomorfismo \(\phi_{t} ( p) \), dove p è un punto della varietà, ma non capisco ...
Qualcuno potrebbe gentilmente, spiegarmi in parole semplici la differenza tra il trovare un vettore ortogonale e il trovare uno spazio ortogonale ad un dato vettore per esempio u=(1,1) ????
Se un sistema di generatori di $R^(2)$ è ${(1,0),(0,1)}$ non capisco perchè $R^(2)$ si può scrivere come lo span dei vettori che compongono il sistema di generatori, ossia $R^(2)=<(1,0),(0,1)>$ ?
Salve ho un dubbio:
sia $H$ un sottospazio vettoriale di $RR^4$ di dimensione $ 3$.Sia $v\in RR^4$ un vettore linearmente indipendente tale che $v\notin H$. Allora $RR^4=H\oplus Span(v)$.
Ho ragionato cosi':
ho trovato che $H\cap Span(v) ={0}$
Dunque per la Formula di Grassmann:
$dim(H+Span(v))=dimH+dimSpan(V)=4$
e dunque posso dire che $RR^4\cong H+Span(v)$.
So che evidentemente: $RR^4\supset H+Span(v)$ ed essendo isomorfi concludo che sono uguali.
Ecco, il mio dubbio è ...
Ciao ragazzi, come da titolo mi stavo esercitando su una traccia di esame e mi sono trovato questo tipo di esercizio che è abbastanza completo (ho ritagliato solo questo pezzo) :
http://imgur.com/Qvw7hjG
allora per determinare dimensioni di Im(f) e ker(f) non ho avuto problemi:
$ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ e il det di questa matrice é 2 perche tutti i minori di ordine 3 hanno det=0 quindi il rango di questa matrice è 2 e la dim di Im(f) = 2 .
Per la base posso prendere ad esempio : $ B = { ( 1 \ \ 1 \ \ 0 \ \ 1 ) ; ( 0 \ \ 1 \ \ 1 \ \ 0 ) ; ( 1 \ \ 2 \ \ 1 \ \ 1 ) }$
(è ...
Salve ragazzi vi propongo un test tipo esame per capire se ho risolto bene i conti ed eventualmente di correggere i relativi errori.
$ \cdot $ La matrice A, canonicamente associata ad un endomorfismo f di $ R^3 $ , ha autovalori 2, 3 e 4.
i. Si può stabilire se f `e diagonalizzabile?
ii. Si può calcolare il determinante di A?
iii. Si può stabilire se f `e iniettiva o suriettiva?
iv. Si può stabilire il valore di $ det(A^T) · det(A^-1) + det(A × A^T) $ ?
v. Se A `e simmetrica, si può stabilire ...
Salve ragazzi ho cercato un pò sul forum e non ho trovato niente in merito a ciò che sto per postarvi...Nel caso in cui mi sia sbagliato chiedio venia.
Sia $ B = {v1 = (1,2,3), v2 = (1,0,−1), v3 = (0,0,2)} $ una base di $ R^3 $ e $ T : R^3 → R^3 $ l'endomorfismo riferito alla matrice $ MB(T) =( ( 0 , 4 , 2 ),( 6 , 0 , 0 ),( 0 , 8 , 4 ) ) $
Si determini la matrice associata a T rispetto alla base canonica di R^3.
Solitamente io mi trovo l'applicazione lineare associata alla matrice . Poi mi trovo l'immagine dei vettori in funzione di T Infine metto a ...
Salve a tutti ho un problema col calcolo della controimmagine di un vettore mediante una applicazione lineare.
la matrice associata (che chiamo A) è
$((1,1,-1),(1,-1,-1),(0,1,0))$
il vettore in questione (che preso come vettore colonna chiamo B) è
$(1,0,0)$
il problema è che cercando di risolvere $AX=B$
$\{(x + y - z = 1),(x - y - z = 0),( y = 0):}$
$\{(x = 1 + z),(1 + z - z = 0),( y = 0):}$
da cui $1=0$
penso che il problema sia più concettuale che di conto.
EDIT: ho capito che l'errore sta nel considerare ...
Rieccomi qui questa volta con un esercizio di geometria. La prima richiesta l'ho svolta anche se non so se correttamente, mentre per la seconda non so esattamente come vada svolta.
Considerati i fasci di piani $ F_1 $ e $ F_2 $ aventi per asse rispettivamente le rette $ r_1 $ e $ r_2 $:
$ r_1:{ ( x=-3+2t ),( y=1-4t ),( z=1+5t ):}<br />
<br />
tin R $
$ r_2:{ ( x=-2-t^{\prime} ),( y=2+3t^{\prime} ),( z=-1-4t^{\prime} ):}<br />
<br />
t^{\prime}in R $
1) Individuare, se possibile, un piano $ pi $ comune ai fasci $ F_1 $ e $ F_2 $ ;
2) ...
Ciao a tutti,
qualche quesito sugli esercizi su piani e rette:
1) retta passante per due punti. $(A,B,C)$ e $(D,E,F)$ basta fare $r: \vec{x}=t[(A,B,C)-(D,E,F)] + (A,B,C), t \in R$
2) retta ortogonale a un'altra passante per un punto. Supponiamo la retta a cui debba essere ortogonale sia $t(1,1,2)+(0,5,pi)$ mi basta fare $<(1,1,2),(a,b,c)>$$=0$? Ad esempio $a+b+2c=0 => a=-b-2c$ quindi $c=-1, b=2 => a=0 => (0,2,-1)$ da cui $t(0,2,-1)+(A,B,C)$ dovrebbero essere le rette ortogonali alla data passanti per (A,B,C)?
3) retta ...
Vorrei dimostrare che $(0,1]x(0,1]$ è omeomorfo a $(0,1]x[0,1]$ considerando la topologia euclidea e le rispettive topologie prodotto.
Se $(0,1]$ fosse stato omeomorfo a $[0,1]$ sarebbe stato banale implicare la tesi, ma dato che in $R$ l'immagine di un insieme chiuso per via di una funzione continua è un insieme chiuso allora questa strada è sbagliata.
Ho provato a cercare "a mano" qualche funzione biunivoca e bicontinua tra i due insiemi ma non riesco ...
Salve ragazzi, sto risolvendo un esercizio in cui la forma quadratica è :
$ Q(x) = −2x1x3 − 2x2x3 $
e nell' ultimo punto mi richiede : Determinare l’insieme I dei vettori isotropi di Q. I e un sottospazio vettoriale di V3?
La risposta è no e come giustificazione mi riporta:
I = {x = x1i + x2j + x3k ∈ V3 | x3(x1 + x2) = 0}.
Si tratta dell’unione di due sottospazi vettoriali distinti, quindi I non e un sottospazio vetto- `
riale (per esempio la somma dei due vettori isotropi (1, −1, 5) e (1, 1, ...
Salve a tutti, chi sarebbe così gentile da aiutarmi nello svolgimento di questo esercizio? non riesco proprio a capire da dove cominciare, ho cercato on line ma senza nessun risultato.
Studiare al variare dei parametri a,b Appartenenti a R la risolubilità del sistema lineare
ax+2y=b
x+y+(a-2)z=2a
Grazie mille in anticipo a chi mi darà una mano.
Buona sera. Pongo alla vostra attenzione un problema per sapere se il mio modo di ragionare è corretto.
E' dato il segmento AB (conosco sia le coordinate del punto A che di B) e una circonferenza di centro P (anche di questo sono note le coordinate) e raggio r.
Come posso sapere se sono presenti punti di contatto/intersezione (non mi interessa né il numero né la posizione di questi)?
La mia idea era quella di ricavare i due cateti di un generico triangolo isoscele di base AB e altezza r, ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo