Geometria e Algebra Lineare

Siano A1,...,An matrici quadrate di dimensioni rispettive d1x d1, ...., dn x dn. Dimostrare che il determinante della matrice diagonale A di dimensioni n x n, con diagonale formate da A1,....,An , è D(A)= D(A1)*.....*D(An) Suggerimenti?

Salve a tutti, ho questo esercizio: Ambiente: $P^2(K) ,[K=R,C]$ Date le due rette sghembe $r: { (x_0+x_1=0),(x_1+x_2=0):} s:{(x_2=0),(x_3=0):}$ e il punto proiettivo $P=[1,0,0,1] \notin r \cup s$ trovare la retta t passante per $P$ e incidente $r$ e $s$ Mio svolgimento: ho parametrizzato i punti in $r$ come $R= ((a),(-a),(a),(b))$ e quelli in $s$ come $S= ((c),(d),(0),(0))$, quindi ho considerato la matrice $A=((x_0,x_1,x_2,x_3),(a,-a,a,b),(c,d,0,0),(1,0,0,1))$ per poi imporre $rgA=2$, e ho continuato ...

Buonasera! Vorrei una mano con il secondo punto di questo esercizio: Sia $E^2$ lo spazio euclideo numerico bidimensionale con coordinate canoniche $(x, y)$. Al variare di $α ∈ R$, si consideri la conica $ Cα = {(x, y) ∈ E^2 | x^2 + αy^2 + 2x − 2αy + 1 = 0} $ (i) Classificare $Cα$ a meno di affinita' di E^2 al variare di $α ∈ R$. (ii) Per quali $α ∈ R$ la conica $Cα$ e' metricamente equivalente alla conica $C$ di equazione ...

Ciao, sto cercando di capire come ridurre una conica (analogo per le quadriche) in forma canonica. Riesco a trovare la matrice diagonale e quella ortogonale che diagonalizza la conica. Il problema è che non riesco a capire come trovare il vettore di traslazione $OO^1$. Negli appunti trovo scritto che nel caso di ellissi ed iperboli si trova risolvendo il sistema $Av=-b$, dove A è la matrice dei termini di secondo grado mentre b è il vettore dei termini di primo grado. Nel ...

salve, come da titolo , la dimostrazione è questa: Sia V uno spazio vettoriale su k = R,C e v1,...,vn ∈ V vettori fissati. I vettori v1, . . . , vn si dicono linearmente dipendenti se esistono scalari α1,...,αn ∈ k non tutti nulli tali che α1v1 + · · · + αnvn = 0V . In caso contrario i vettori v1, . . . , vn si dicono linearmente indipendenti. Quindi dei vettori v1,...,vn sono linearmente indipendenti se per ogni scelta di scalari α1, . . . , αn ∈ k non tutti nulli risulta α1v1 + · · · + αnvn ...

Ciao a tutti, sto avendo alcune difficoltà per trovare una soluzione convincente di questo esercizio: Sia S l'insieme di funzioni lineari $ S={ f: R^3 -> R | span((1),(-1),(1)) sube Ker (f) } $ Dimostrare che $S$ é sottospazio di $ (R^3)^*$ (spazio duale di $R^3$ ) e che $ dim (S)=2$ Non so proprio come procedere, ho trovato un teorema che potrebbe essere utile, lo posto qui sotto: Sia $ H sube V $ e sia $v in V $ tale che $v notin H$, allora esiste una funzione ...

buongiorno mi servirebbe una mano a risolvere un esercizio che on mi è per niete chiaro, ho studiato la parte dei prodotti scalari ma comunque trovo difficolta nel riolvere il seguente esercizio: esiste un prodotto scalare indefinito e non degenere su R3 tale che = -1 = 2 = -2 ? grazie mille per l'aiuto

determinare la posizione reciproca piano-retta tra $ pi :2x-3y=0 $ e $ r:{ ( x+y=2 ),( x+z=0 ):} $ io ho pensato di portarmi all'equazione parametrica, quindi vedere se i direttori della retta e del ppiano sono l.d. o no, ma non ne sono affatto sicuro...

Sia V spazio vettoriale di dimensione finita sul corpo reale, in cui sia dato un prodotto scalare definito positivo. Sia (v1,.....,vm) un insieme di elementi mutuamente ortogonali e di norma unitaria. Si assuma che per ogni v appartenente a V si abbia (||v||)^2= Sommatoria da i=1 a m di ()^2 ( norma di v al quadrato uguale sommatoria da i=1 a m dei prodotti scalari elevati al quadrato dimostrare che (v1,....,vm) base di V come posso fare ???

Buongiorno, sono un programmatore di computer ed ho una domanda, a cui probabilmente potevo rispondere anche io qualche anno. Dato un punto 3d, per esempio x:4 y:5 z: 4 Voglio trovare x e y con z = 0 Questo mi serve per un programma grafico 3d dove visualizzare una figura 3d sul piano dello schermo. Potete aiutarmi con la formula per ottenere x e y ? Se potete, vi ringrazio molto se oltre alla formula, credo bisogna usare una equazione di secondo grado, mi potete presentare l'esempio con i ...

Salve, un esercizio che ho svolto mi chiedeva gli autovalori di f, relative ma e mg, base per ciascun autospazio, stabilire se f è diagonalizzabile e determinare i valori del parametro reale h tali che ( h,-4,4) sia autovettore di f. Con f(x,y,z)€ R^3 (x+3z,4y+z,2x) € R^3 Ho svolto tutti i punti solo alcune cose non mi sono chiare: Svolgendo l'esercizio mi trovo come autovalori t1=4 , t2=3 e t3=-2 tutti con molteplicità algebrica 1. Ora sostituendo alla t nel polinomio caratteristico i tre ...

Ho una domanda teorica sulla matrici diagonalizzabili. So che una matrice per essere diagonalizzabile deve essere quadrata e la sua molteplicità geometrica deve essere uguale a quella algebrica, ora se io ho una matrice 3x3 e due sue righe sono linearmente dipendenti essa non è diagonalizzabile a priori anche se ha 3 autovalori distinti?

Salve, mi trovo davanti ad un fatto apparentemente banale riguardante la coomologia di De Rahm e la sequenza di Mayer-Vietoris. Ho studiato il Teorema seguente Siano $U_1 , U_2 $ due aperti di di $\mathbb{R}^n$ e sia $U=U_1\cupU_2$. Per $\nu = 1,2$ siano $i_{\nu}: U_{\nu} \rightarrow U$ e $j_{\nu}:U_1\capU_2 \rightarrow U_{\nu}$ le rispettive inclusioni. Allora la sequenza $0 \rightarrow \Omega^p(U) \rightarrow \Omega^p(U_1)\oplus \Omega^p(U_2) \rightarrow \Omega^p(U_1\capU_2) \rightarrow 0$ è esatta, con $I^p:\Omega^p(U) \rightarrow \Omega^p(U_1)\oplus \Omega^p(U_2)$ e $J^p: \Omega^p(U_1)\oplus \Omega^p(U_2)\rightarrow \Omega^p(U_1\capU_2)$ determinata come nella sequenza di Mayer-Vietoris In particolare ...

Nello spazio vettoriale euclideo \(\displaystyle R^3 \)si considerino i vettori: \(\displaystyle u (1,l,1) , v_l=(0,l,1) , w_l=(1,1,l)\) 1) Per quali valori di \(\displaystyle l \in R \) l'insieme ordinato \(\displaystyle S_l=(u,v_l,w_l) \) è un riferimento di \(\displaystyle R^3 \) 2) Se per \(\displaystyle l=2 \) l'insieme \(\displaystyle S_2=(u,v_2,w_2) \) è un riferimento di \(\displaystyle R^3 \), si determinino le componenti del vettore \(\displaystyle (2,3,2) \) rispetto a ...

Data l’applicazione lineare T : M2,2(R) → M2,2(R) tale che T(A) = A $ ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ + $ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ A Scrivere la matrice associata grazie a tutti

Salve, un esercizio suddiviso in tre punti mi chiedeva base e dimensione di U (fatto); rappresentazione cartesiana del sottospazio U+W(fatta), e quella del titolo ( ovvero dim e base u inters w). La traccia : U={(x,y,z,t)€R^4 x-z=0,-y+z+t=0,x-y+t=0} W=L((0,1,1,0),(0,2,1,1)) La dimensione di U è 2 e una base da me calcolata (1,1,1,0) e (0,1,0,1) e mi trovo con la soluzione proposta. Rappresentazione cartesiana di U+W --> -y+z+t=0 ( anche qui mi trovo) Mentre il terzo punto calcolando ...

Ciao a tutti, sono alle prese con esercizi che mi chiedono di indicare se è possibile completare ad una base un sistema di vettori e, in caso affermativo, esibirne un completamento. Non ho mai fatto questo tipo di esercizi e sinceramente, navigando online, non ho trovato molta roba :/ potreste aiutarmi? es, se volessi stabilire se è possibile completare ad una base di R^3 il sistema di vettori S={(0,1,-1),(0,1,0)} e in caso affermativo, esibirne un completamento, come dovrei fare? tale ...

Buonasera non riesco a capire come svolgere questo problema: In R^3 sia assegnato il prodotto scalare: $ <X,Y> =x1y1+4x2y2+2x2y3+2x2y3+ 2 x3y2 $ Verficare che tale prodotto è definito positivo. Trovare una base ortonormale rispetto al dato prodotto scalare del sottospazio W generato dai vettori: $ v1=(0,2,0) $ $ v2=(4,1,1) $ $ v3=(-4,5,-1) $ Per risolvere la prima parte scrivo la matrice: $ S=( ( 1,0,0),( 0,4,2 ),( 0,2,2 ) ) $ Calcolo gli autovalori: $ t1=(3+sqrt(5))/2 $ $ t2=(3-sqrt(5))/2 $ $ t3=1 $ Essendo ...

Ciao! Devo stabilire se è vero o falso che la somma di due matrici $A,B in M(3,R)$ diagonalizzabili è diagonalizzabile: credo sia falso ma non sono riuscito a trovare degli esempi, qualcuno può darmi una mano per favore?

Sera ragazzi, mi si è presentato oggi tale problema : Sapendo che \(\displaystyle (1,-1,2,3) \) è soluzione del sistema lineare \(\displaystyle AX=B \) con \(\displaystyle A\in R^{3,4} \) e \(\displaystyle B\neq 0 \) dove \(\displaystyle 0 \) indica la matrice nulla, dire se le seguenti affermazioni sono vere : -\(\displaystyle \mathop{\mathrm{rank}}(A)=4 , \) -\(\displaystyle \mathop{\mathrm{rank}}(A)=\mathop{\mathrm{rank}}(A|B) , \) ; -il sistema lineare ha una sola soluzione ...