Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buonasera!
Vorrei una mano con il secondo punto di questo esercizio:
Sia $E^2$ lo spazio euclideo numerico bidimensionale con coordinate canoniche $(x, y)$.
Al variare di $α ∈ R$, si consideri la conica
$ Cα = {(x, y) ∈ E^2 | x^2 + αy^2 + 2x − 2αy + 1 = 0} $
(i) Classificare $Cα$ a meno di affinita' di E^2 al variare di $α ∈ R$.
(ii) Per quali $α ∈ R$ la conica $Cα$ e' metricamente equivalente alla conica $C$ di equazione ...
Ciao, sto cercando di capire come ridurre una conica (analogo per le quadriche) in forma canonica.
Riesco a trovare la matrice diagonale e quella ortogonale che diagonalizza la conica.
Il problema è che non riesco a capire come trovare il vettore di traslazione $OO^1$. Negli appunti trovo scritto che nel caso di ellissi ed iperboli si trova risolvendo il sistema $Av=-b$, dove A è la matrice dei termini di secondo grado mentre b è il vettore dei termini di primo grado.
Nel ...
salve, come da titolo , la dimostrazione è questa: Sia V uno spazio vettoriale su k = R,C e v1,...,vn ∈ V vettori fissati. I vettori v1, . . . , vn si dicono linearmente dipendenti se esistono scalari α1,...,αn ∈ k non tutti nulli tali che
α1v1 + · · · + αnvn = 0V .
In caso contrario i vettori v1, . . . , vn si dicono linearmente indipendenti.
Quindi dei vettori v1,...,vn sono linearmente indipendenti se per ogni scelta di scalari α1, . . . , αn ∈ k non tutti nulli risulta
α1v1 + · · · + αnvn ...
Ciao a tutti, sto avendo alcune difficoltà per trovare una soluzione convincente di questo esercizio:
Sia S l'insieme di funzioni lineari
$ S={ f: R^3 -> R | span((1),(-1),(1)) sube Ker (f) } $
Dimostrare che $S$ é sottospazio di $ (R^3)^*$ (spazio duale di $R^3$ ) e che $ dim (S)=2$
Non so proprio come procedere, ho trovato un teorema che potrebbe essere utile, lo posto qui sotto:
Sia
$ H sube V $ e sia $v in V $ tale che $v notin H$,
allora
esiste una funzione ...
buongiorno mi servirebbe una mano a risolvere un esercizio che on mi è per niete chiaro,
ho studiato la parte dei prodotti scalari ma comunque trovo difficolta nel riolvere il seguente esercizio:
esiste un prodotto scalare indefinito e non degenere su R3 tale che
= -1
= 2
= -2 ?
grazie mille per l'aiuto
determinare la posizione reciproca piano-retta tra $ pi :2x-3y=0 $ e $ r:{ ( x+y=2 ),( x+z=0 ):} $ io ho pensato di portarmi all'equazione parametrica, quindi vedere se i direttori della retta e del ppiano sono l.d. o no, ma non ne sono affatto sicuro...
Sia V spazio vettoriale di dimensione finita sul corpo reale, in cui sia dato un prodotto
scalare definito positivo. Sia (v1,.....,vm) un insieme di elementi mutuamente ortogonali e di norma unitaria.
Si assuma che per ogni v appartenente a V si abbia
(||v||)^2= Sommatoria da i=1 a m di ()^2 ( norma di v al quadrato uguale sommatoria da i=1 a m dei prodotti scalari elevati al quadrato
dimostrare che (v1,....,vm) base di V
come posso fare ???
Buongiorno,
sono un programmatore di computer ed ho una domanda, a cui probabilmente potevo rispondere anche io qualche anno.
Dato un punto 3d, per esempio x:4 y:5 z: 4
Voglio trovare x e y con z = 0
Questo mi serve per un programma grafico 3d dove visualizzare una figura 3d sul piano dello schermo.
Potete aiutarmi con la formula per ottenere x e y ? Se potete, vi ringrazio molto se oltre alla formula, credo bisogna usare una equazione di secondo grado, mi potete presentare l'esempio con i ...
Salve, un esercizio che ho svolto mi chiedeva gli autovalori di f, relative ma e mg, base per ciascun autospazio, stabilire se f è diagonalizzabile e determinare i valori del parametro reale h tali che ( h,-4,4) sia autovettore di f.
Con f(x,y,z)€ R^3 (x+3z,4y+z,2x) € R^3
Ho svolto tutti i punti solo alcune cose non mi sono chiare:
Svolgendo l'esercizio mi trovo come autovalori t1=4 , t2=3 e t3=-2 tutti con molteplicità algebrica 1.
Ora sostituendo alla t nel polinomio caratteristico i tre ...
Ho una domanda teorica sulla matrici diagonalizzabili.
So che una matrice per essere diagonalizzabile deve essere quadrata e la sua molteplicità geometrica deve essere uguale a quella algebrica, ora se io ho una matrice 3x3 e due sue righe sono linearmente dipendenti essa non è diagonalizzabile a priori anche se ha 3 autovalori distinti?
Salve, mi trovo davanti ad un fatto apparentemente banale riguardante la coomologia di De Rahm e la sequenza di Mayer-Vietoris.
Ho studiato il Teorema seguente
Siano $U_1 , U_2 $ due aperti di di $\mathbb{R}^n$ e sia $U=U_1\cupU_2$. Per $\nu = 1,2$ siano $i_{\nu}: U_{\nu} \rightarrow U$ e $j_{\nu}:U_1\capU_2 \rightarrow U_{\nu}$ le rispettive inclusioni. Allora la sequenza
$0 \rightarrow \Omega^p(U) \rightarrow \Omega^p(U_1)\oplus \Omega^p(U_2) \rightarrow \Omega^p(U_1\capU_2) \rightarrow 0$
è esatta, con $I^p:\Omega^p(U) \rightarrow \Omega^p(U_1)\oplus \Omega^p(U_2)$ e $J^p: \Omega^p(U_1)\oplus \Omega^p(U_2)\rightarrow \Omega^p(U_1\capU_2)$ determinata come nella sequenza di Mayer-Vietoris
In particolare ...
Nello spazio vettoriale euclideo \(\displaystyle R^3 \)si considerino i vettori:
\(\displaystyle u (1,l,1) , v_l=(0,l,1) , w_l=(1,1,l)\)
1) Per quali valori di \(\displaystyle l \in R \) l'insieme ordinato \(\displaystyle S_l=(u,v_l,w_l) \) è un riferimento di \(\displaystyle R^3 \)
2) Se per \(\displaystyle l=2 \) l'insieme \(\displaystyle S_2=(u,v_2,w_2) \) è un riferimento di \(\displaystyle R^3 \), si determinino le componenti del vettore \(\displaystyle (2,3,2) \) rispetto a ...
Data l’applicazione lineare T : M2,2(R) → M2,2(R) tale che T(A) = A $ ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ + $ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ A
Scrivere la matrice associata
grazie a tutti
Salve, un esercizio suddiviso in tre punti mi chiedeva base e dimensione di U (fatto); rappresentazione cartesiana del sottospazio U+W(fatta), e quella del titolo ( ovvero dim e base u inters w).
La traccia :
U={(x,y,z,t)€R^4 x-z=0,-y+z+t=0,x-y+t=0}
W=L((0,1,1,0),(0,2,1,1))
La dimensione di U è 2 e una base da me calcolata (1,1,1,0) e (0,1,0,1) e mi trovo con la soluzione proposta.
Rappresentazione cartesiana di U+W --> -y+z+t=0 ( anche qui mi trovo)
Mentre il terzo punto calcolando ...
Ciao a tutti,
sono alle prese con esercizi che mi chiedono di indicare se è possibile completare ad una base un sistema di vettori e, in caso affermativo, esibirne un completamento.
Non ho mai fatto questo tipo di esercizi e sinceramente, navigando online, non ho trovato molta roba :/
potreste aiutarmi?
es, se volessi stabilire se è possibile completare ad una base di R^3 il sistema di vettori S={(0,1,-1),(0,1,0)} e in caso affermativo, esibirne un completamento, come dovrei fare?
tale ...
Buonasera non riesco a capire come svolgere questo problema:
In R^3 sia assegnato il prodotto scalare:
$ <X,Y> =x1y1+4x2y2+2x2y3+2x2y3+ 2 x3y2 $
Verficare che tale prodotto è definito positivo. Trovare una base ortonormale rispetto al dato prodotto scalare del sottospazio W generato dai vettori:
$ v1=(0,2,0) $
$ v2=(4,1,1) $ $ v3=(-4,5,-1) $
Per risolvere la prima parte scrivo la matrice:
$ S=( ( 1,0,0),( 0,4,2 ),( 0,2,2 ) ) $
Calcolo gli autovalori:
$ t1=(3+sqrt(5))/2 $
$ t2=(3-sqrt(5))/2 $
$ t3=1 $
Essendo ...
Ciao!
Devo stabilire se è vero o falso che la somma di due matrici $A,B in M(3,R)$ diagonalizzabili è diagonalizzabile: credo sia falso ma non sono riuscito a trovare degli esempi, qualcuno può darmi una mano per favore?
Sera ragazzi, mi si è presentato oggi tale problema :
Sapendo che \(\displaystyle (1,-1,2,3) \) è soluzione del sistema lineare \(\displaystyle AX=B \) con
\(\displaystyle A\in R^{3,4} \) e \(\displaystyle B\neq 0 \) dove \(\displaystyle 0 \) indica la matrice nulla, dire se le seguenti affermazioni sono vere :
-\(\displaystyle \mathop{\mathrm{rank}}(A)=4 , \)
-\(\displaystyle \mathop{\mathrm{rank}}(A)=\mathop{\mathrm{rank}}(A|B) , \) ;
-il sistema lineare ha una sola soluzione ...
Ciao ragazzi, avendo iniziato il corso di Geometria e algebra lineare da pochi giorni , sono nati i primi dubbi.
Questi dubbi si basano su degli esercizi che ci ha dato la professoressa tra cui la dimostrazione della proprietà commutativa rispetto alla somma. Io ho risolto in tal maniera e non so se è il modo corretto di procedere: definisco una struttura algebrica
\(\displaystyle R^{m,n} \) e due matrici \(\displaystyle A=(a_{i,j}) \in R^{m,n} \) e \(\displaystyle B=(b_{i,j}) \in R^{m,n} ...
Buongiorno a tutti e scusatemi per il disturbo .
Non ho ben chiara la seconda parte di questo esercizio e vorrei dunque una spiegazione, se possibile.
Stabilire se la matrice B=
$((3,0,0),(1,3,0),(1,0,1))$
risulta diagonalizzabile ed esibire un sistema indipendente massimale di autovettori di B.
Ora, data la matrice, gli autovettori dovrebbero essere dati dal determinante ($(3-\lambda)^2 (1-\lambda)$), ovvero 3 e 1(con molteplicità 2 e 1).
Tuttavia non mi trovo con le molteplicità geometriche(mi vengono ...
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