Sistema di generatori

[Fab996]

Se un sistema di generatori di $R^(2)$ è ${(1,0),(0,1)}$ non capisco perchè $R^(2)$ si può scrivere come lo span dei vettori che compongono il sistema di generatori, ossia $R^(2)=<(1,0),(0,1)>$ ?

[donald_zeka]

Se si chiamano generatori è perchè "generano" $RR^2$, ossia generano ogni vettore di $RR^2$, quindi ogni vettore di $RR^2$ è combinazione lineare dei generatori.

[lollo6171]

Lo span è l'insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori di cui stai facendo lo span: un vettore di questo insieme è \(v= a(1,0) + b(0,1) \) con a e b in \(R\). E' chiaro poi che tutte le combinazioni lineari di almeno due vettori indipendenti di \( R^{2} \) lo generino , visto che \( dim R^{2} =2 \), e (1,0) e (0,1) sono indipendenti. In pratica hai due gradi di libertà: uno te lo dà (1,0) e l'altro (0,1). Puoi quindi scrivere ogni vettore possibile di \( R^{2} \).

[Camillo]

Non vorrei confondere però è bene precisare che anche i vettori $(1,0),(0,1 ),( 27,35 ) $ sono dei generatori di $RR^2 $ ma non ne sono una base .
Invece ad es. i vettori $ ( 12,45),( 7 , 3) $ sono dei generatori ma anche una base di $RR^2 $ .

[Fab996]

Grazie a tutti:)