Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia $R$ una matrice simmetrica e semi-definita positiva di ordine $n$ e $V(x)=x^TRx$ la relativa forma quadratica.
Dato $v\ne 0$ tale che $V(v)=0$, posso affermare che $v\in Ker(R)$ ?
Se sì, come posso dimostrare questo risultato?
Grazie in anticipo
Ciao a tutti, svolgendo un esercizio in cui devo trovare l'equazione di un piano passante per un punto e una retta, dopo aver fatto la combinazione lineare delle due equazioni della retta non sono riuscito ad andare avanti perché quando sostituisco x;y;z alle equazioni mi viene 0. Ho pensato che questo può essere dovuto al fatto che la retta passa già per quel punto e quindi basta fare la comb. lineare con due valori a caso. è giusto? Grazie.
Salve a tutti, sono nuovo di questo forum e volevo chiedere il vostro aiuto per un esercizio di algebra lineare per prepararmi all'esame.
[size=150]Questa è la traccia :[/size]
Per quali eventuali valori di h esiste un unico omomorfismo f :R3→R2 tale che
f $ [ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] $ = $ [ ( 2 ),( 1 ) ] $ , f $ [ ( 1 ),( 2 ),( h ) ] $ = $ [ ( 0 ),( 1 ) ] $ e $ [ ( 2 ),( 1 ) , ( h ) ] $ appartenga al nucleo? Per il più piccolo valore intero positivo di h per cui esiste un unico omomorfismo, determinarne la matrice ...
Bungiorno,stavo svolgendo questo esercizio :
3) Funzioni Lineari. Si consideri l’endomorfismo f : R3 → R3 definito da
f(x, y, z) = (y + z, x + z, −x − y − 2z).
(a) Determinare ker f e Imf.
(b) Provare che W = L((0, 1, −1),(0, 1, 0)) `e un sottospazio supplementare di ker f in R
3
(c) Trovare autovalori ed autovettori di f e dire se f `e semplice.
Ma al punto b) mi sto bloccando e vi sarei grato se mi poteste dare una mano visto che forse sto interpretando male la consegna stessa.
Da quello ...
Ciao, amici! Sto cercando di capire il teorema di riducibilità enunciato alla p. 36 di questo testo (p. 29 del .pdf), ma non sono certo di capire il senso di tale teorema per cui un sistema di vettori applicati di risultante \(\boldsymbol{R}\) e momento risultante \(\boldsymbol{M}_Q\) calcolato rispetto a un polo $Q$ è riducibile ad un solo vettore \(\boldsymbol{R}\) applicato in $Q$ e ad una coppia di momento \(\boldsymbol{M}_Q\). Infatti mi sono chiari gli stadi a e b (eccetto ...
Salve a tutti,
è noto che le matrici di rotazione non godono della proprietà commutativa (ovvero non fanno parte di un gruppo abeliano):
cioè dato un riferimento fisso nello spazio $OXYZ$ ed un riferimento mobile solidale ad un corpo $oxyz$ (con o punto del corpo) si ha
$[R_x][R_y]\ne[R_y][R_x]$
dove con $[R_x]$ si indica la rotazione attorno all'asse x del riferimento mobile.
Questo comporta che $[R_x][R_y][R_{-x}][R_{-y}]\ne<em>$
ma questo è anche vero che vale per "grandi ...
Salve, come posso procedere nella risoluzione del punto a) di questo esercizio?
Io ho supposto B base canonica di R[size=70]3[/size] e mi sono calcolato di conseguenza C, che mi torna essere composto dai seguenti elementi (1,1,4);(3,2,4);(2,1,k+2)
Mettendo in una matrice questi elementi ho trovato che essi formano una base di R[size=70]3[/size] quando k ≠ 14
Vorrei però sapere se nel passaggio iniziale quando ho supposto B base canonica ho perso la generalità dell'esercizio e in tal caso ...
Salve, vorrei chiedervi conferma per questo esercizio sulle coniche. Per le prime tre richieste ho scritto direttamente i risultati senza argomentarli particolarmente perchè credo mi siano chiare, sulla quarta richiesta non so esattamente cosa fare.
A) Si consideri la conica $ gamma _h $ definita in coordinate omogenee mediante l'equazione:
$ f_h(x,x)=hx_1^2-x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+2hx_1x_3=0 $
1) classificare $ gamma _h $ al variare di $ h $ ;
2) posto $ h=1 $ si calcoli la polare ...
Su una sfera, prendiamo la relazione R che identifica fra loro punti antipodali, cioè
$x R y\Leftrightarrow x=\pm y$
e restringiamola a un intorno dell'equatore U.
Come si prova che l'insieme quoziente è un nastro di Moebius, cioè è omeomorfo a alla superficie che si ottiene da un quadrato [-1,1]x[-1,1] identificando ogni punto (-1,y) con (1,-y)?
Ciao a tutti.
Ho la seguente applicazione lineare:
$f(a,b,c) = c +(a-b)x + (b+c)x^2$, definita da $R^3 -> R_2 [x]$
Ho le seguenti basi:
base canonica di $R^3$
base ${1,x,x^2}$ di $R_2 [x]$
Ho determinato la matrice A associata ad $f$:
$0 0 1$
$1 -1 0$
$0 1 1$
(come si inserisce la matrice nel forum?? è la prima vola che la uso).
La traccia mi chiede di determinare la matrice associata a: $f^(-1) : R_2 [x] -> R^3$
Basta semplicemente calcolare ...
Dire a quale classe di quadriche appartiene, determinando a quale equazione canonica può essere ricondotta con metodi
elementari non matriciali
$(x-2y)^2+2(x+z+1)^2-z^2+1 = 0$
Ora questa è la risoluzione:
Nell’equazione $(x-2y)^2+2(x+z+1)^2-z^2+1 = 0$ viene spontaneo porre $X = x-2y, Y = x+z+1, Z = z$, ottenendo la nuova
equazione $X^2 + 2Y^2 - Z^2 = -1$, che è canonica. Ma bisogna osservare che la matrice E dei coefficienti di x;y; z nella sostituzione in X,Y,Z è sì una matrice regolare, ma non è affatto una matrice ortogonale (seconda e ...
Ragazzi vi metto sotto la spiegazione del mio libro riguardo la dimostrazione del teorema spettrale di cui non ho ben capito come si dimostri :
1) che esista un vettore x di H ortogonale
2) dove sia l'assurdo
Grazie
Ciao ragazzi,non riesco proprio a venire alla soluzione di questo esercizio,mi potete dare una mano??
Sia data la forma bilineare fi su $ R^3 $
$ fi ((x,y,z);(x',y',z'))=xx'+xy'-xz'+yx'+2yy'-x'z+3zz' $
1) verificare che sia un prodotto scalare
La matrice associata alla forma bilineare e' $ ( (1,1,-1) , (1,2,0) , (-1,0,3) ) $ che e' simmetrica quindi e' un prodotto interno.Col metodo di Gauss Lagrange viene la matrice diagonale $ ( (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,2) )$ quindi autovalori tutti positivo,allora e un prodotto scalare.
2)Si determini una base di ...
Salve ho preso questo esercizio da un esame passato ma non riesco a capire come risolverlo
Devo trovare le equazioni di una retta r giacente su π a scelta del candidato. il piano in considerazione è $ pi :2x+5y+3z+4=0 $ Grazie per l'aiuto
Salve, come potrei risolvere un esercizio di questo tipo?
Assegnati i piani
$\pi$[size=50]1[/size]: x +y +z = 1
$\pi$[size=50]2[/size]: αx -3y +2αz = α
$\pi$[size=50]3[/size]: 2x +5y -4z = 2
$\pi$[size=50]4[/size]: -3αy -z = α^2 -2α +5
Discutere la loro posizione reciproca al variare di α
Non importa che mi risolviate l'esercizio con i calcoli, vorrei solo sapere quali le possibili configurazioni che 4 piani possono assumere (in un generico ...
Salve a tutti, avrei qualche dubbio sulla retta di minima distanza. Siamo in E[size=50]3[/size](\(\displaystyle \Re \)) so che la minima distanza è la retta che congiunge due rette sghembe nei loro punti di minimo, detta così blandamente.
Ora per calcolarlo ci hanno insegnato di prendere i parametri direttori dalle equazioni cartesiane delle rete r e s, fare il sistema e trovare i parametri direttori della retta ortogonale alle due rette di partenza; Prendere poi due punti generici sulle due ...
Ragazzi, io so che :
Sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale V, cioè una trasformazione lineare T:V\to V. Si dice che T è diagonalizzabile se esiste una base di V rispetto alla quale la matrice che rappresenta T è diagonale. In particolare, la base che diagonalizza T è composta da suoi autovettori.
E ciò si può verificare con P^-1AP= D
Ma questo perchè succede?
Qualcuno può spiegarmi in modo chiaro cosa sono e come funzionano le applicazioni lineari? Sinceramente sul libro proprio non riesco a capire e quando mi trovo davanti a degli esercizi non so mai da dove cominciare...
Salve ragazzi, non riesco a capire l'ultima parte di tale dimostrazione del teorema del rango, ovvero quando afferma che che $ \lambda $ 1 b1 + .... + $ \lambda $ b(n-h) può essere scritta con la base a1, a2 ... ah ? Qual è questa espressione esplicita e come facciamo da ciò a ricavare che i vettori siano linearmente indipendenti?
Ciao a tutti, stavo svolgendo un esercizio e a un certo punto mi sono bloccato perchè mi è sorto un dubbio. Intanto vi mostro l'esercizio
1)In $ mathbb(R^3) $ si scrivano le rette $ r_1 $ e $ r_2 $ passanti per il punto $ P=(8,2,1) $ e rispettivamente per i punti $ Q=(8,0,0) $ e $ R=(8,-1,1) $ . Quindi $ r_1 $ passa per P e Q, e $ r_2 $ passa per P e R
Calcolo la direzione di $ r_1 $ che è $ Q-P $ e quella di ...
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